MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1imapss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1imapss 6795
Description: Taking images under a one-to-one function preserves proper subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
f1imapss ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) ⊊ (𝐹𝐷) ↔ 𝐶𝐷))

Proof of Theorem f1imapss
StepHypRef Expression
1 f1imass 6793 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ↔ 𝐶𝐷))
2 f1imaeq 6794 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) = (𝐹𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))
32notbid 310 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (¬ (𝐹𝐶) = (𝐹𝐷) ↔ ¬ 𝐶 = 𝐷))
41, 3anbi12d 624 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ∧ ¬ (𝐹𝐶) = (𝐹𝐷)) ↔ (𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐷)))
5 dfpss2 3914 . 2 ((𝐹𝐶) ⊊ (𝐹𝐷) ↔ ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ∧ ¬ (𝐹𝐶) = (𝐹𝐷)))
6 dfpss2 3914 . 2 (𝐶𝐷 ↔ (𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐷))
74, 5, 63bitr4g 306 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) ⊊ (𝐹𝐷) ↔ 𝐶𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wss 3792  wpss 3793  cima 5358  1-1wf1 6132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pr 5138
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fv 6143
This theorem is referenced by:  fin4en1  9466
  Copyright terms: Public domain W3C validator