MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1imaeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1imaeq 7213
Description: Taking images under a one-to-one function preserves equality. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
f1imaeq ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) = (𝐹𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1imaeq
StepHypRef Expression
1 f1imass 7212 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ↔ 𝐶𝐷))
2 f1imass 7212 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐷𝐴𝐶𝐴)) → ((𝐹𝐷) ⊆ (𝐹𝐶) ↔ 𝐷𝐶))
32ancom2s 649 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐷) ⊆ (𝐹𝐶) ↔ 𝐷𝐶))
41, 3anbi12d 632 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ∧ (𝐹𝐷) ⊆ (𝐹𝐶)) ↔ (𝐶𝐷𝐷𝐶)))
5 eqss 3960 . 2 ((𝐹𝐶) = (𝐹𝐷) ↔ ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ∧ (𝐹𝐷) ⊆ (𝐹𝐶)))
6 eqss 3960 . 2 (𝐶 = 𝐷 ↔ (𝐶𝐷𝐷𝐶))
74, 5, 63bitr4g 314 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) = (𝐹𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wss 3911  cima 5637  1-1wf1 6494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fv 6505
This theorem is referenced by:  f1imapss  7214  dfac12lem2  10085  hmeoimaf1o  23137  imasf1oxms  23861  isomuspgrlem2c  46108
  Copyright terms: Public domain W3C validator