MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1imass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1imass 7207
Description: Taking images under a one-to-one function preserves subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
f1imass ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ↔ 𝐶𝐷))

Proof of Theorem f1imass
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrl 775 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) → 𝐶𝐴)
21sseld 3941 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) → (𝑎𝐶𝑎𝐴))
3 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷))
43sseld 3941 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐶) → (𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷)))
5 simplll 773 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
6 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎𝐴)
7 simp1rl 1238 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐶𝐴)
873expa 1118 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐶𝐴)
9 f1elima 7206 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝑎𝐴𝐶𝐴) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐶) ↔ 𝑎𝐶))
105, 6, 8, 9syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐶) ↔ 𝑎𝐶))
11 simp1rr 1239 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐷𝐴)
12113expa 1118 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐷𝐴)
13 f1elima 7206 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝑎𝐴𝐷𝐴) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷) ↔ 𝑎𝐷))
145, 6, 12, 13syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷) ↔ 𝑎𝐷))
154, 10, 143imtr3d 292 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎𝐶𝑎𝐷))
1615ex 413 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) → (𝑎𝐴 → (𝑎𝐶𝑎𝐷)))
172, 16syld 47 . . . . 5 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) → (𝑎𝐶 → (𝑎𝐶𝑎𝐷)))
1817pm2.43d 53 . . . 4 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) → (𝑎𝐶𝑎𝐷))
1918ssrdv 3948 . . 3 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) → 𝐶𝐷)
2019ex 413 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) → 𝐶𝐷))
21 imass2 6052 . 2 (𝐶𝐷 → (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷))
2220, 21impbid1 224 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ↔ 𝐶𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  wss 3908  cima 5634  1-1wf1 6490  cfv 6493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fv 6501
This theorem is referenced by:  f1imaeq  7208  f1imapss  7209  enfin2i  10215  tsmsf1o  23448
  Copyright terms: Public domain W3C validator