Theorem fafvelcdm 47358

Description: A function's value belongs to its codomain, analogous to ffvelcdm 7024. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fafvelcdm	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹'''𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fafvelcdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6660	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnafvelrn 47357	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹'''𝐶) ∈ ran 𝐹)
3	1, 2	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹'''𝐶) ∈ ran 𝐹)
4		frn 6667	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
5	4	sseld 3930	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹'''𝐶) ∈ ran 𝐹 → (𝐹'''𝐶) ∈ 𝐵))
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹'''𝐶) ∈ ran 𝐹 → (𝐹'''𝐶) ∈ 𝐵))
7	3, 6	mpd 15	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹'''𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ran crn 5623   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  '''cafv 47305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-br 5097  df-opab 5159  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-aiota 47273  df-dfat 47307  df-afv 47308

This theorem is referenced by:  ffnafv  47359