Theorem fafvelcdm 48240

Description: A function's value belongs to its codomain, analogous to ffvelcdm 7081. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fafvelcdm	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹'''𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fafvelcdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6709	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnafvelrn 48239	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹'''𝐶) ∈ ran 𝐹)
3	1, 2	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹'''𝐶) ∈ ran 𝐹)
4		frn 6717	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
5	4	sseld 3907	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹'''𝐶) ∈ ran 𝐹 → (𝐹'''𝐶) ∈ 𝐵))
6	5	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹'''𝐶) ∈ ran 𝐹 → (𝐹'''𝐶) ∈ 𝐵))
7	3, 6	mpd 16	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹'''𝐶) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ran crn 5651   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  '''cafv 48187

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-aiota 48155  df-dfat 48189  df-afv 48190

This theorem is used by:  ffnafv  48241