Theorem ffnafv 48062

Description: A function maps to a class to which all values belong, analogous to ffnfv 7113. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ffnafv	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem ffnafv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6703	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fafvelcdm 48061	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵)
3	2	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵)
4	1, 3	jca 521	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵))
5		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
6		afvelrnb0 48055	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) = 𝑦))
7		nfra1 3286	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵
8		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐵
9		rsp 3250	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵))
10		eleq1 2848	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹'''𝑥) = 𝑦 → ((𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
11	10	biimpcd 252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵 → ((𝐹'''𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐵))
12	9, 11	syl6 36	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐹'''𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐵)))
13	7, 8, 12	rexlimd 3269	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐵))
14	6, 13	sylan9 517	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ran 𝐹 → 𝑦 ∈ 𝐵))
15	14	ssrdv 3937	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
16		df-f 6537	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
17	5, 15, 16	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
18	4, 17	impbii 212	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899  ran crn 5656   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  '''cafv 48008

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-aiota 47976  df-dfat 48010  df-afv 48011

This theorem is used by:  ffnaov  48090