Theorem ffnafv 44550

Description: A function maps to a class to which all values belong, analogous to ffnfv 6974. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ffnafv	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem ffnafv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6584	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fafvelrn 44549	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵)
3	2	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵)
4	1, 3	jca 511	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵))
5		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
6		afvelrnb0 44543	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) = 𝑦))
7		nfra1 3142	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵
8		nfv 1918	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐵
9		rsp 3129	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵))
10		eleq1 2826	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹'''𝑥) = 𝑦 → ((𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
11	10	biimpcd 248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵 → ((𝐹'''𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐵))
12	9, 11	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐹'''𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐵)))
13	7, 8, 12	rexlimd 3245	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐵))
14	6, 13	sylan9 507	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ran 𝐹 → 𝑦 ∈ 𝐵))
15	14	ssrdv 3923	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
16		df-f 6422	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
17	5, 15, 16	sylanbrc 582	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
18	4, 17	impbii 208	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹'''𝑥) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883  ran crn 5581   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  '''cafv 44496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-aiota 44464  df-dfat 44498  df-afv 44499

This theorem is referenced by:  ffnaov  44578