Theorem fo00 6861

Description: Onto mapping of the empty set. (Contributed by NM, 22-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fo00	⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem fo00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofn 6798	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 → 𝐹 Fn ∅)
2		fn0 6670	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
3		f10 6858	. . . . . . . 8 ⊢ ∅:∅–1-1→𝐴
4		f1eq1 6773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹:∅–1-1→𝐴 ↔ ∅:∅–1-1→𝐴))
5	3, 4	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 = ∅ → 𝐹:∅–1-1→𝐴)
6	2, 5	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn ∅ → 𝐹:∅–1-1→𝐴)
7	1, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 → 𝐹:∅–1-1→𝐴)
8	7	ancri 559	. . . 4 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 → (𝐹:∅–1-1→𝐴 ∧ 𝐹:∅–onto→𝐴))
9		df-f1o 6545	. . . 4 ⊢ (𝐹:∅–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝐹:∅–1-1→𝐴 ∧ 𝐹:∅–onto→𝐴))
10	8, 9	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 → 𝐹:∅–1-1-onto→𝐴)
11		f1ofo 6832	. . 3 ⊢ (𝐹:∅–1-1-onto→𝐴 → 𝐹:∅–onto→𝐴)
12	10, 11	impbii 212	. 2 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 ↔ 𝐹:∅–1-1-onto→𝐴)
13		f1o00 6860	. 2 ⊢ (𝐹:∅–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
14	12, 13	bitri 278	1 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∅c0 4278   Fn wfn 6533  –1-1→wf1 6535  –onto→wfo 6536  –1-1-onto→wf1o 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-mo 2564  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545

This theorem is used by:  fsumf1o  15889  fprodf1o  16113  0ramcl  17201  fullthinc  50558