Theorem fo00 6752

Description: Onto mapping of the empty set. (Contributed by NM, 22-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fo00	⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem fo00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofn 6690	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 → 𝐹 Fn ∅)
2		fn0 6564	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
3		f10 6749	. . . . . . . 8 ⊢ ∅:∅–1-1→𝐴
4		f1eq1 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹:∅–1-1→𝐴 ↔ ∅:∅–1-1→𝐴))
5	3, 4	mpbiri 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 = ∅ → 𝐹:∅–1-1→𝐴)
6	2, 5	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn ∅ → 𝐹:∅–1-1→𝐴)
7	1, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 → 𝐹:∅–1-1→𝐴)
8	7	ancri 550	. . . 4 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 → (𝐹:∅–1-1→𝐴 ∧ 𝐹:∅–onto→𝐴))
9		df-f1o 6440	. . . 4 ⊢ (𝐹:∅–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝐹:∅–1-1→𝐴 ∧ 𝐹:∅–onto→𝐴))
10	8, 9	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 → 𝐹:∅–1-1-onto→𝐴)
11		f1ofo 6723	. . 3 ⊢ (𝐹:∅–1-1-onto→𝐴 → 𝐹:∅–onto→𝐴)
12	10, 11	impbii 208	. 2 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 ↔ 𝐹:∅–1-1-onto→𝐴)
13		f1o00 6751	. 2 ⊢ (𝐹:∅–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
14	12, 13	bitri 274	1 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∅c0 4256   Fn wfn 6428  –1-1→wf1 6430  –onto→wfo 6431  –1-1-onto→wf1o 6432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440

This theorem is referenced by:  fsumf1o  15435  fprodf1o  15656  0ramcl  16724  fullthinc  46327