Theorem fo00 6881

Description: Onto mapping of the empty set. (Contributed by NM, 22-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fo00	⊢ (𝐹:∅⟶onto𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem fo00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofn 6817	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:∅⟶onto𝐴 → 𝐹 Fn ∅)
2		fn0 6689	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
3		f10 6878	. . . . . . . 8 ⊢ ∅:∅⟶1-1𝐴
4		f1eq1 6792	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹:∅⟶1-1𝐴 ↔ ∅:∅⟶1-1𝐴))
5	3, 4	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 = ∅ → 𝐹:∅⟶1-1𝐴)
6	2, 5	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn ∅ → 𝐹:∅⟶1-1𝐴)
7	1, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹:∅⟶onto𝐴 → 𝐹:∅⟶1-1𝐴)
8	7	ancri 559	. . . 4 ⊢ (𝐹:∅⟶onto𝐴 → (𝐹:∅⟶1-1𝐴 ∧ 𝐹:∅⟶onto𝐴))
9		df-f1o 6562	. . . 4 ⊢ (𝐹:∅⟶1-1onto𝐴 ↔ (𝐹:∅⟶1-1𝐴 ∧ 𝐹:∅⟶onto𝐴))
10	8, 9	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝐹:∅⟶onto𝐴 → 𝐹:∅⟶1-1onto𝐴)
11		f1ofo 6851	. . 3 ⊢ (𝐹:∅⟶1-1onto𝐴 → 𝐹:∅⟶onto𝐴)
12	10, 11	impbii 212	. 2 ⊢ (𝐹:∅⟶onto𝐴 ↔ 𝐹:∅⟶1-1onto𝐴)
13		f1o00 6880	. 2 ⊢ (𝐹:∅⟶1-1onto𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
14	12, 13	bitri 278	1 ⊢ (𝐹:∅⟶onto𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∅c0 4281   Fn wfn 6550  ⟶1-1wf1 6552  ⟶ontowfo 6553  ⟶1-1ontowf1o 6554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562

This theorem is used by:  fsumf1o  15915  fprodf1o  16139  0ramcl  17227  fullthinc  50788