Theorem fo00 6858

Description: Onto mapping of the empty set. (Contributed by NM, 22-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fo00	⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem fo00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofn 6795	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 → 𝐹 Fn ∅)
2		fn0 6667	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
3		f10 6855	. . . . . . . 8 ⊢ ∅:∅–1-1→𝐴
4		f1eq1 6770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹:∅–1-1→𝐴 ↔ ∅:∅–1-1→𝐴))
5	3, 4	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 = ∅ → 𝐹:∅–1-1→𝐴)
6	2, 5	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn ∅ → 𝐹:∅–1-1→𝐴)
7	1, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 → 𝐹:∅–1-1→𝐴)
8	7	ancri 559	. . . 4 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 → (𝐹:∅–1-1→𝐴 ∧ 𝐹:∅–onto→𝐴))
9		df-f1o 6544	. . . 4 ⊢ (𝐹:∅–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝐹:∅–1-1→𝐴 ∧ 𝐹:∅–onto→𝐴))
10	8, 9	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 → 𝐹:∅–1-1-onto→𝐴)
11		f1ofo 6829	. . 3 ⊢ (𝐹:∅–1-1-onto→𝐴 → 𝐹:∅–onto→𝐴)
12	10, 11	impbii 212	. 2 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 ↔ 𝐹:∅–1-1-onto→𝐴)
13		f1o00 6857	. 2 ⊢ (𝐹:∅–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
14	12, 13	bitri 278	1 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∅c0 4282   Fn wfn 6532  –1-1→wf1 6534  –onto→wfo 6535  –1-1-onto→wf1o 6536

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2566  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544

This theorem is used by:  fsumf1o  15809  fprodf1o  16035  0ramcl  17117  fullthinc  50361