Theorem fo00 6836

Description: Onto mapping of the empty set. (Contributed by NM, 22-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fo00	⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem fo00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofn 6774	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 → 𝐹 Fn ∅)
2		fn0 6649	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
3		f10 6833	. . . . . . . 8 ⊢ ∅:∅–1-1→𝐴
4		f1eq1 6751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹:∅–1-1→𝐴 ↔ ∅:∅–1-1→𝐴))
5	3, 4	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 = ∅ → 𝐹:∅–1-1→𝐴)
6	2, 5	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn ∅ → 𝐹:∅–1-1→𝐴)
7	1, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 → 𝐹:∅–1-1→𝐴)
8	7	ancri 549	. . . 4 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 → (𝐹:∅–1-1→𝐴 ∧ 𝐹:∅–onto→𝐴))
9		df-f1o 6518	. . . 4 ⊢ (𝐹:∅–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝐹:∅–1-1→𝐴 ∧ 𝐹:∅–onto→𝐴))
10	8, 9	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 → 𝐹:∅–1-1-onto→𝐴)
11		f1ofo 6807	. . 3 ⊢ (𝐹:∅–1-1-onto→𝐴 → 𝐹:∅–onto→𝐴)
12	10, 11	impbii 209	. 2 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 ↔ 𝐹:∅–1-1-onto→𝐴)
13		f1o00 6835	. 2 ⊢ (𝐹:∅–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
14	12, 13	bitri 275	1 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∅c0 4296   Fn wfn 6506  –1-1→wf1 6508  –onto→wfo 6509  –1-1-onto→wf1o 6510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518

This theorem is referenced by:  fsumf1o  15689  fprodf1o  15912  0ramcl  16994  fullthinc  49439