MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumf1o 15673
Description: Re-index a finite sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumf1o.1 (π‘˜ = 𝐺 β†’ 𝐡 = 𝐷)
fsumf1o.2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Fin)
fsumf1o.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐢–1-1-onto→𝐴)
fsumf1o.4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = 𝐺)
fsumf1o.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
fsumf1o (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,𝐴   𝐡,𝑛   𝐢,𝑛   𝐷,π‘˜   𝑛,𝐹   π‘˜,𝐺   πœ‘,π‘˜,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘˜)   𝐢(π‘˜)   𝐷(𝑛)   𝐹(π‘˜)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fsumf1o
Dummy variables 𝑓 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sum0 15671 . . . 4 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 = 0
2 fsumf1o.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐢–1-1-onto→𝐴)
3 f1oeq2 6821 . . . . . . . 8 (𝐢 = βˆ… β†’ (𝐹:𝐢–1-1-onto→𝐴 ↔ 𝐹:βˆ…β€“1-1-onto→𝐴))
42, 3syl5ibcom 244 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 = βˆ… β†’ 𝐹:βˆ…β€“1-1-onto→𝐴))
54imp 405 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = βˆ…) β†’ 𝐹:βˆ…β€“1-1-onto→𝐴)
6 f1ofo 6839 . . . . . 6 (𝐹:βˆ…β€“1-1-onto→𝐴 β†’ 𝐹:βˆ…β€“onto→𝐴)
7 fo00 6868 . . . . . . 7 (𝐹:βˆ…β€“onto→𝐴 ↔ (𝐹 = βˆ… ∧ 𝐴 = βˆ…))
87simprbi 495 . . . . . 6 (𝐹:βˆ…β€“onto→𝐴 β†’ 𝐴 = βˆ…)
95, 6, 83syl 18 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = βˆ…) β†’ 𝐴 = βˆ…)
109sumeq1d 15651 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = βˆ…) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡)
11 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = βˆ…) β†’ 𝐢 = βˆ…)
1211sumeq1d 15651 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = βˆ…) β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷 = Σ𝑛 ∈ βˆ… 𝐷)
13 sum0 15671 . . . . 5 Σ𝑛 ∈ βˆ… 𝐷 = 0
1412, 13eqtrdi 2786 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = βˆ…) β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷 = 0)
151, 10, 143eqtr4a 2796 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = βˆ…) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷)
1615ex 411 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷))
17 2fveq3 6895 . . . . . . . 8 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘›))))
18 simprl 767 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ (β™―β€˜πΆ) ∈ β„•)
19 simprr 769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)
20 f1of 6832 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐢–1-1-onto→𝐴 β†’ 𝐹:𝐢⟢𝐴)
212, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐢⟢𝐴)
2221ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝐴)
23 fsumf1o.5 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2423fmpttd 7115 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
2524ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
2622, 25syldan 589 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐢) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
2726adantlr 711 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) ∧ π‘š ∈ 𝐢) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
28 f1oco 6855 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐢–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐴)
292, 19, 28syl2an2r 681 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐴)
30 f1of 6832 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐴 β†’ (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜πΆ))⟢𝐴)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜πΆ))⟢𝐴)
32 fvco3 6989 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜πΆ))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜πΆ))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘›)))
3331, 32sylan 578 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜πΆ))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘›)))
34 f1of 6832 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢 β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))⟢𝐢)
3534ad2antll 725 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))⟢𝐢)
36 fvco3 6989 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))⟢𝐢 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜πΆ))) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘›)))
3735, 36sylan 578 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜πΆ))) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘›)))
3837fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜πΆ))) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘›)) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘›))))
3933, 38eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜πΆ))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘›))))
4017, 18, 19, 27, 39fsum 15670 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐢 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)) = (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓)))β€˜(β™―β€˜πΆ)))
41 fsumf1o.4 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = 𝐺)
4221ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝐴)
4341, 42eqeltrrd 2832 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐢) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
44 fsumf1o.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝐺 β†’ 𝐡 = 𝐷)
45 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
4644, 45fvmpti 6996 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ 𝐴 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜πΊ) = ( I β€˜π·))
4743, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜πΊ) = ( I β€˜π·))
4841fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘›)) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜πΊ))
49 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷) = (𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)
5049fvmpt2i 7007 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ 𝐢 β†’ ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘›) = ( I β€˜π·))
5150adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐢) β†’ ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘›) = ( I β€˜π·))
5247, 48, 513eqtr4rd 2781 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐢) β†’ ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
5352ralrimiva 3144 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝐢 ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
54 nffvmpt1 6901 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š)
5554nfeq1 2916 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š))
56 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘›) = ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š))
57 2fveq3 6895 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘›)) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)))
5856, 57eqeq12d 2746 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ (((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š))))
5955, 58rspc 3599 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ 𝐢 β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝐢 ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘›)) β†’ ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š))))
6053, 59mpan9 505 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐢) β†’ ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)))
6160adantlr 711 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) ∧ π‘š ∈ 𝐢) β†’ ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)))
6261sumeq2dv 15653 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐢 ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š) = Ξ£π‘š ∈ 𝐢 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)))
63 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (π‘š = ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘›)))
6424adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
6564ffvelcdmda 7085 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
6663, 18, 29, 65, 33fsum 15670 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓)))β€˜(β™―β€˜πΆ)))
6740, 62, 663eqtr4rd 2781 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = Ξ£π‘š ∈ 𝐢 ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š))
68 sumfc 15659 . . . . . 6 Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡
69 sumfc 15659 . . . . . 6 Ξ£π‘š ∈ 𝐢 ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š) = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷
7067, 68, 693eqtr3g 2793 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷)
7170expr 455 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜πΆ) ∈ β„•) β†’ (𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷))
7271exlimdv 1934 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜πΆ) ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷))
7372expimpd 452 . 2 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷))
74 fsumf1o.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Fin)
75 fz1f1o 15660 . . 3 (𝐢 ∈ Fin β†’ (𝐢 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)))
7674, 75syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)))
7716, 73, 76mpjaod 856 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆ…c0 4321   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6538  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„•cn 12216  ...cfz 13488  seqcseq 13970  β™―chash 14294  Ξ£csu 15636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637
This theorem is referenced by:  fsumss  15675  fsum2dlem  15720  fsumcnv  15723  fsumrev  15729  fsumshft  15730  ackbijnn  15778  incexclem  15786  phisum  16727  ovoliunlem1  25251  ovolicc2lem4  25269  itg1addlem4  25448  itg1addlem4OLD  25449  itg1mulc  25454  basellem3  26823  basellem5  26825  fsumdvdscom  26925  dvdsflsumcom  26928  musum  26931  fsumdvdsmul  26935  sgmppw  26936  fsumvma  26952  dchrsum2  27007  sumdchr2  27009  dchrisumlem1  27228  dchrisum0flblem1  27247  dchrisum0fno1  27250  fsumiunle  32302  eulerpartlemgs2  33677  reprpmtf1o  33936  breprexplema  33940  hgt750lemb  33966  hgt750lema  33967  sticksstones17  41285  sticksstones18  41286  fsumf1of  44588  sumnnodd  44644  dvnprodlem2  44961
  Copyright terms: Public domain W3C validator