MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumf1o 15669
Description: Re-index a finite sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumf1o.1 (π‘˜ = 𝐺 β†’ 𝐡 = 𝐷)
fsumf1o.2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Fin)
fsumf1o.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐢–1-1-onto→𝐴)
fsumf1o.4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = 𝐺)
fsumf1o.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
fsumf1o (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,𝐴   𝐡,𝑛   𝐢,𝑛   𝐷,π‘˜   𝑛,𝐹   π‘˜,𝐺   πœ‘,π‘˜,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘˜)   𝐢(π‘˜)   𝐷(𝑛)   𝐹(π‘˜)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fsumf1o
Dummy variables 𝑓 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sum0 15667 . . . 4 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 = 0
2 fsumf1o.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐢–1-1-onto→𝐴)
3 f1oeq2 6823 . . . . . . . 8 (𝐢 = βˆ… β†’ (𝐹:𝐢–1-1-onto→𝐴 ↔ 𝐹:βˆ…β€“1-1-onto→𝐴))
42, 3syl5ibcom 244 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 = βˆ… β†’ 𝐹:βˆ…β€“1-1-onto→𝐴))
54imp 408 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = βˆ…) β†’ 𝐹:βˆ…β€“1-1-onto→𝐴)
6 f1ofo 6841 . . . . . 6 (𝐹:βˆ…β€“1-1-onto→𝐴 β†’ 𝐹:βˆ…β€“onto→𝐴)
7 fo00 6870 . . . . . . 7 (𝐹:βˆ…β€“onto→𝐴 ↔ (𝐹 = βˆ… ∧ 𝐴 = βˆ…))
87simprbi 498 . . . . . 6 (𝐹:βˆ…β€“onto→𝐴 β†’ 𝐴 = βˆ…)
95, 6, 83syl 18 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = βˆ…) β†’ 𝐴 = βˆ…)
109sumeq1d 15647 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = βˆ…) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡)
11 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = βˆ…) β†’ 𝐢 = βˆ…)
1211sumeq1d 15647 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = βˆ…) β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷 = Σ𝑛 ∈ βˆ… 𝐷)
13 sum0 15667 . . . . 5 Σ𝑛 ∈ βˆ… 𝐷 = 0
1412, 13eqtrdi 2789 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = βˆ…) β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷 = 0)
151, 10, 143eqtr4a 2799 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = βˆ…) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷)
1615ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷))
17 2fveq3 6897 . . . . . . . 8 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘›))))
18 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ (β™―β€˜πΆ) ∈ β„•)
19 simprr 772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)
20 f1of 6834 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐢–1-1-onto→𝐴 β†’ 𝐹:𝐢⟢𝐴)
212, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐢⟢𝐴)
2221ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝐴)
23 fsumf1o.5 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2423fmpttd 7115 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
2524ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
2622, 25syldan 592 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐢) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
2726adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) ∧ π‘š ∈ 𝐢) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
28 f1oco 6857 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐢–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐴)
292, 19, 28syl2an2r 684 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐴)
30 f1of 6834 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐴 β†’ (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜πΆ))⟢𝐴)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜πΆ))⟢𝐴)
32 fvco3 6991 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜πΆ))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜πΆ))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘›)))
3331, 32sylan 581 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜πΆ))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘›)))
34 f1of 6834 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢 β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))⟢𝐢)
3534ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))⟢𝐢)
36 fvco3 6991 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))⟢𝐢 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜πΆ))) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘›)))
3735, 36sylan 581 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜πΆ))) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘›)))
3837fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜πΆ))) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘›)) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘›))))
3933, 38eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜πΆ))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘›))))
4017, 18, 19, 27, 39fsum 15666 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐢 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)) = (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓)))β€˜(β™―β€˜πΆ)))
41 fsumf1o.4 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = 𝐺)
4221ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝐴)
4341, 42eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐢) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
44 fsumf1o.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝐺 β†’ 𝐡 = 𝐷)
45 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
4644, 45fvmpti 6998 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ 𝐴 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜πΊ) = ( I β€˜π·))
4743, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜πΊ) = ( I β€˜π·))
4841fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘›)) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜πΊ))
49 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷) = (𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)
5049fvmpt2i 7009 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ 𝐢 β†’ ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘›) = ( I β€˜π·))
5150adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐢) β†’ ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘›) = ( I β€˜π·))
5247, 48, 513eqtr4rd 2784 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐢) β†’ ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
5352ralrimiva 3147 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝐢 ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
54 nffvmpt1 6903 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š)
5554nfeq1 2919 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š))
56 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘›) = ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š))
57 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘›)) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)))
5856, 57eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ (((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š))))
5955, 58rspc 3601 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ 𝐢 β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝐢 ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘›)) β†’ ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š))))
6053, 59mpan9 508 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐢) β†’ ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)))
6160adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) ∧ π‘š ∈ 𝐢) β†’ ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)))
6261sumeq2dv 15649 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐢 ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š) = Ξ£π‘š ∈ 𝐢 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)))
63 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘š = ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘›)))
6424adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
6564ffvelcdmda 7087 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
6663, 18, 29, 65, 33fsum 15666 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓)))β€˜(β™―β€˜πΆ)))
6740, 62, 663eqtr4rd 2784 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = Ξ£π‘š ∈ 𝐢 ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š))
68 sumfc 15655 . . . . . 6 Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡
69 sumfc 15655 . . . . . 6 Ξ£π‘š ∈ 𝐢 ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š) = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷
7067, 68, 693eqtr3g 2796 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷)
7170expr 458 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜πΆ) ∈ β„•) β†’ (𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷))
7271exlimdv 1937 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜πΆ) ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷))
7372expimpd 455 . 2 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷))
74 fsumf1o.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Fin)
75 fz1f1o 15656 . . 3 (𝐢 ∈ Fin β†’ (𝐢 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)))
7674, 75syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)))
7716, 73, 76mpjaod 859 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆ…c0 4323   ↦ cmpt 5232   I cid 5574   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  β„•cn 12212  ...cfz 13484  seqcseq 13966  β™―chash 14290  Ξ£csu 15632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633
This theorem is referenced by:  fsumss  15671  fsum2dlem  15716  fsumcnv  15719  fsumrev  15725  fsumshft  15726  ackbijnn  15774  incexclem  15782  phisum  16723  ovoliunlem1  25019  ovolicc2lem4  25037  itg1addlem4  25216  itg1addlem4OLD  25217  itg1mulc  25222  basellem3  26587  basellem5  26589  fsumdvdscom  26689  dvdsflsumcom  26692  musum  26695  fsumdvdsmul  26699  sgmppw  26700  fsumvma  26716  dchrsum2  26771  sumdchr2  26773  dchrisumlem1  26992  dchrisum0flblem1  27011  dchrisum0fno1  27014  fsumiunle  32035  eulerpartlemgs2  33379  reprpmtf1o  33638  breprexplema  33642  hgt750lemb  33668  hgt750lema  33669  sticksstones17  40979  sticksstones18  40980  fsumf1of  44290  sumnnodd  44346  dvnprodlem2  44663
  Copyright terms: Public domain W3C validator