Theorem fsumf1o 15770

Description: Re-index a finite sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumf1o.1	⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
fsumf1o.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
fsumf1o.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
fsumf1o.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
fsumf1o.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumf1o	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑘   𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fsumf1o

Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 15768	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
2		fsumf1o.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
3		f1oeq2 6809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = ∅ → (𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴 ↔ 𝐹:∅–1-1-onto→𝐴))
4	2, 3	syl5ibcom 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 = ∅ → 𝐹:∅–1-1-onto→𝐴))
5	4	imp 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐹:∅–1-1-onto→𝐴)
6		f1ofo 6828	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:∅–1-1-onto→𝐴 → 𝐹:∅–onto→𝐴)
7		fo00 6857	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
8	7	simprbi 502	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 → 𝐴 = ∅)
9	5, 6, 8	3syl 19	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐴 = ∅)
10	9	sumeq1d 15747	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = ∅) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
11		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐶 = ∅)
12	11	sumeq1d 15747	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = ∅) → Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷 = Σ𝑛 ∈ ∅ 𝐷)
13		sum0 15768	. . . . 5 ⊢ Σ𝑛 ∈ ∅ 𝐷 = 0
14	12, 13	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = ∅) → Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷 = 0)
15	1, 10, 14	3eqtr4a 2824	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = ∅) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)
16	15	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷))
17		2fveq3 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑓‘𝑛) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘(𝑓‘𝑛))))
18		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → (♯‘𝐶) ∈ ℕ)
19		simprr 784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)
20		f1of 6820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴 → 𝐹:𝐶⟶𝐴)
21	2, 20	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐴)
22	21	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑚) ∈ 𝐴)
23		fsumf1o.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	23	fmpttd 7110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
25	24	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)) ∈ ℂ)
26	22, 25	syldan 602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐶) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)) ∈ ℂ)
27	26	adantlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐶) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)) ∈ ℂ)
28		f1oco 6844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶) → (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐴)
29	2, 19, 28	syl2an2r 697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐴)
30		f1of 6820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐴 → (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐶))⟶𝐴)
31	29, 30	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐶))⟶𝐴)
32		fvco3 6981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐶))⟶𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑛)))
33	31, 32	sylan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑛)))
34		f1of 6820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶 → 𝑓:(1...(♯‘𝐶))⟶𝐶)
35	34	ad2antll 741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐶))⟶𝐶)
36		fvco3 6981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:(1...(♯‘𝐶))⟶𝐶 ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑛) = (𝐹‘(𝑓‘𝑛)))
37	35, 36	sylan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑛) = (𝐹‘(𝑓‘𝑛)))
38	37	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑛)) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘(𝑓‘𝑛))))
39	33, 38	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘(𝑓‘𝑛))))
40	17, 18, 19, 27, 39	fsum 15767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → Σ𝑚 ∈ 𝐶 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)) = (seq1( + , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓)))‘(♯‘𝐶)))
41		fsumf1o.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
42	21	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝐴)
43	41, 42	eqeltrrd 2864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ 𝐴)
44		fsumf1o.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
45		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
46	44, 45	fvmpti 6988	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝐺) = ( I ‘𝐷))
47	43, 46	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝐺) = ( I ‘𝐷))
48	41	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑛)) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝐺))
49		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) = (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)
50	49	fvmpt2i 7000	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐶 → ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑛) = ( I ‘𝐷))
51	50	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑛) = ( I ‘𝐷))
52	47, 48, 51	3eqtr4rd 2809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑛)))
53	52	ralrimiva 3157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐶 ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑛)))
54		nffvmpt1 6892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚)
55	54	nfeq1 2940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚))
56		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑛) = ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚))
57		2fveq3 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑛)) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)))
58	56, 57	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑛)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚))))
59	55, 58	rspc 3569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐶 → (∀𝑛 ∈ 𝐶 ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑛)) → ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚))))
60	53, 59	mpan9 515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐶) → ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)))
61	60	adantlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐶) → ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)))
62	61	sumeq2dv 15749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → Σ𝑚 ∈ 𝐶 ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ 𝐶 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)))
63		fveq2 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑛) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑛)))
64	24	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
65	64	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
66	63, 18, 29, 65, 33	fsum 15767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = (seq1( + , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓)))‘(♯‘𝐶)))
67	40, 62, 66	3eqtr4rd 2809	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ 𝐶 ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚))
68		sumfc 15756	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
69		sumfc 15756	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑚 ∈ 𝐶 ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚) = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷
70	67, 68, 69	3eqtr3g 2821	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)
71	70	expr 461	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐶) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷))
72	71	exlimdv 1963	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐶) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷))
73	72	expimpd 458	. 2 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷))
74		fsumf1o.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
75		fz1f1o 15757	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Fin → (𝐶 = ∅ ∨ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)))
76	74, 75	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 = ∅ ∨ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)))
77	16, 73, 76	mpjaod 873	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∅c0 4286   ↦ cmpt 5192   I cid 5555   ∘ ccom 5665  ⟶wf 6532  –onto→wfo 6534  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  ℂcc 11093  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098  ℕcn 12228  ...cfz 13530  seqcseq 14033  ♯chash 14362  Σcsu 15733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734

This theorem is referenced by:  fsumss  15772  fsum2dlem  15817  fsumcnv  15820  fsumrev  15826  fsumshft  15827  ackbijnn  15878  incexclem  15886  phisum  16845  ovoliunlem1  25661  ovolicc2lem4  25679  itg1addlem4  25858  itg1mulc  25863  basellem3  27247  basellem5  27249  fsumdvdscom  27349  dvdsflsumcom  27352  musum  27355  fsumdvdsmul  27359  sgmppw  27361  fsumvma  27377  dchrsum2  27432  sumdchr2  27434  dchrisumlem1  27653  dchrisum0flblem1  27672  dchrisum0fno1  27675  fsumiunle  33173  eulerpartlemgs2  34770  reprpmtf1o  35013  breprexplema  35017  hgt750lemb  35043  hgt750lema  35044  sticksstones17  42930  sticksstones18  42931  fsumf1of  46290  sumnnodd  46346  dvnprodlem2  46661