MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumf1o 15609
Description: Re-index a finite sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumf1o.1 (π‘˜ = 𝐺 β†’ 𝐡 = 𝐷)
fsumf1o.2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Fin)
fsumf1o.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐢–1-1-onto→𝐴)
fsumf1o.4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = 𝐺)
fsumf1o.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
fsumf1o (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,𝐴   𝐡,𝑛   𝐢,𝑛   𝐷,π‘˜   𝑛,𝐹   π‘˜,𝐺   πœ‘,π‘˜,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘˜)   𝐢(π‘˜)   𝐷(𝑛)   𝐹(π‘˜)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fsumf1o
Dummy variables 𝑓 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sum0 15607 . . . 4 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 = 0
2 fsumf1o.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐢–1-1-onto→𝐴)
3 f1oeq2 6774 . . . . . . . 8 (𝐢 = βˆ… β†’ (𝐹:𝐢–1-1-onto→𝐴 ↔ 𝐹:βˆ…β€“1-1-onto→𝐴))
42, 3syl5ibcom 244 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 = βˆ… β†’ 𝐹:βˆ…β€“1-1-onto→𝐴))
54imp 408 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = βˆ…) β†’ 𝐹:βˆ…β€“1-1-onto→𝐴)
6 f1ofo 6792 . . . . . 6 (𝐹:βˆ…β€“1-1-onto→𝐴 β†’ 𝐹:βˆ…β€“onto→𝐴)
7 fo00 6821 . . . . . . 7 (𝐹:βˆ…β€“onto→𝐴 ↔ (𝐹 = βˆ… ∧ 𝐴 = βˆ…))
87simprbi 498 . . . . . 6 (𝐹:βˆ…β€“onto→𝐴 β†’ 𝐴 = βˆ…)
95, 6, 83syl 18 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = βˆ…) β†’ 𝐴 = βˆ…)
109sumeq1d 15587 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = βˆ…) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡)
11 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = βˆ…) β†’ 𝐢 = βˆ…)
1211sumeq1d 15587 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = βˆ…) β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷 = Σ𝑛 ∈ βˆ… 𝐷)
13 sum0 15607 . . . . 5 Σ𝑛 ∈ βˆ… 𝐷 = 0
1412, 13eqtrdi 2793 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = βˆ…) β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷 = 0)
151, 10, 143eqtr4a 2803 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = βˆ…) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷)
1615ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷))
17 2fveq3 6848 . . . . . . . 8 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘›))))
18 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ (β™―β€˜πΆ) ∈ β„•)
19 simprr 772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)
20 f1of 6785 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐢–1-1-onto→𝐴 β†’ 𝐹:𝐢⟢𝐴)
212, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐢⟢𝐴)
2221ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝐴)
23 fsumf1o.5 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2423fmpttd 7064 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
2524ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
2622, 25syldan 592 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐢) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
2726adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) ∧ π‘š ∈ 𝐢) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
28 f1oco 6808 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐢–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐴)
292, 19, 28syl2an2r 684 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐴)
30 f1of 6785 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐴 β†’ (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜πΆ))⟢𝐴)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜πΆ))⟢𝐴)
32 fvco3 6941 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜πΆ))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜πΆ))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘›)))
3331, 32sylan 581 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜πΆ))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘›)))
34 f1of 6785 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢 β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))⟢𝐢)
3534ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))⟢𝐢)
36 fvco3 6941 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))⟢𝐢 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜πΆ))) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘›)))
3735, 36sylan 581 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜πΆ))) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘›)))
3837fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜πΆ))) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘›)) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘›))))
3933, 38eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜πΆ))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘›))))
4017, 18, 19, 27, 39fsum 15606 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐢 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)) = (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓)))β€˜(β™―β€˜πΆ)))
41 fsumf1o.4 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = 𝐺)
4221ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝐴)
4341, 42eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐢) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
44 fsumf1o.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝐺 β†’ 𝐡 = 𝐷)
45 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
4644, 45fvmpti 6948 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ 𝐴 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜πΊ) = ( I β€˜π·))
4743, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜πΊ) = ( I β€˜π·))
4841fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘›)) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜πΊ))
49 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷) = (𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)
5049fvmpt2i 6959 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ 𝐢 β†’ ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘›) = ( I β€˜π·))
5150adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐢) β†’ ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘›) = ( I β€˜π·))
5247, 48, 513eqtr4rd 2788 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐢) β†’ ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
5352ralrimiva 3144 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝐢 ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
54 nffvmpt1 6854 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š)
5554nfeq1 2923 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š))
56 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘›) = ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š))
57 2fveq3 6848 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘›)) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)))
5856, 57eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ (((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š))))
5955, 58rspc 3570 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ 𝐢 β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝐢 ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘›)) β†’ ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š))))
6053, 59mpan9 508 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐢) β†’ ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)))
6160adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) ∧ π‘š ∈ 𝐢) β†’ ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)))
6261sumeq2dv 15589 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐢 ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š) = Ξ£π‘š ∈ 𝐢 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(πΉβ€˜π‘š)))
63 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (π‘š = ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘›)))
6424adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
6564ffvelcdmda 7036 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
6663, 18, 29, 65, 33fsum 15606 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓)))β€˜(β™―β€˜πΆ)))
6740, 62, 663eqtr4rd 2788 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = Ξ£π‘š ∈ 𝐢 ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š))
68 sumfc 15595 . . . . . 6 Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡
69 sumfc 15595 . . . . . 6 Ξ£π‘š ∈ 𝐢 ((𝑛 ∈ 𝐢 ↦ 𝐷)β€˜π‘š) = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷
7067, 68, 693eqtr3g 2800 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷)
7170expr 458 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜πΆ) ∈ β„•) β†’ (𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷))
7271exlimdv 1937 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜πΆ) ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷))
7372expimpd 455 . 2 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷))
74 fsumf1o.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Fin)
75 fz1f1o 15596 . . 3 (𝐢 ∈ Fin β†’ (𝐢 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)))
7674, 75syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜πΆ) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜πΆ))–1-1-onto→𝐢)))
7716, 73, 76mpjaod 859 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑛 ∈ 𝐢 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆ…c0 4283   ↦ cmpt 5189   I cid 5531   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  β„‚cc 11050  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055  β„•cn 12154  ...cfz 13425  seqcseq 13907  β™―chash 14231  Ξ£csu 15571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-oi 9447  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572
This theorem is referenced by:  fsumss  15611  fsum2dlem  15656  fsumcnv  15659  fsumrev  15665  fsumshft  15666  ackbijnn  15714  incexclem  15722  phisum  16663  ovoliunlem1  24869  ovolicc2lem4  24887  itg1addlem4  25066  itg1addlem4OLD  25067  itg1mulc  25072  basellem3  26435  basellem5  26437  fsumdvdscom  26537  dvdsflsumcom  26540  musum  26543  fsumdvdsmul  26547  sgmppw  26548  fsumvma  26564  dchrsum2  26619  sumdchr2  26621  dchrisumlem1  26840  dchrisum0flblem1  26859  dchrisum0fno1  26862  fsumiunle  31728  eulerpartlemgs2  32983  reprpmtf1o  33242  breprexplema  33246  hgt750lemb  33272  hgt750lema  33273  sticksstones17  40574  sticksstones18  40575  fsumf1of  43822  sumnnodd  43878  dvnprodlem2  44195
  Copyright terms: Public domain W3C validator