Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumf1o 15075
 Description: Re-index a finite sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumf1o.1 (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
fsumf1o.2 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
fsumf1o.3 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
fsumf1o.4 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
fsumf1o.5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumf1o (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑘   𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fsumf1o
Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sum0 15073 . . . 4 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
2 fsumf1o.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
3 f1oeq2 6584 . . . . . . . 8 (𝐶 = ∅ → (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:∅–1-1-onto𝐴))
42, 3syl5ibcom 248 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 = ∅ → 𝐹:∅–1-1-onto𝐴))
54imp 410 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 = ∅) → 𝐹:∅–1-1-onto𝐴)
6 f1ofo 6601 . . . . . 6 (𝐹:∅–1-1-onto𝐴𝐹:∅–onto𝐴)
7 fo00 6629 . . . . . . 7 (𝐹:∅–onto𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
87simprbi 500 . . . . . 6 (𝐹:∅–onto𝐴𝐴 = ∅)
95, 6, 83syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = ∅) → 𝐴 = ∅)
109sumeq1d 15053 . . . 4 ((𝜑𝐶 = ∅) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
11 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 = ∅) → 𝐶 = ∅)
1211sumeq1d 15053 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = ∅) → Σ𝑛𝐶 𝐷 = Σ𝑛 ∈ ∅ 𝐷)
13 sum0 15073 . . . . 5 Σ𝑛 ∈ ∅ 𝐷 = 0
1412, 13eqtrdi 2852 . . . 4 ((𝜑𝐶 = ∅) → Σ𝑛𝐶 𝐷 = 0)
151, 10, 143eqtr4a 2862 . . 3 ((𝜑𝐶 = ∅) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
1615ex 416 . 2 (𝜑 → (𝐶 = ∅ → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷))
17 2fveq3 6654 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑓𝑛) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹‘(𝑓𝑛))))
18 simprl 770 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → (♯‘𝐶) ∈ ℕ)
19 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)
20 f1of 6594 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐶𝐴)
212, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐶𝐴)
2221ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝐶) → (𝐹𝑚) ∈ 𝐴)
23 fsumf1o.5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2423fmpttd 6860 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
2524ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)) ∈ ℂ)
2622, 25syldan 594 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐶) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)) ∈ ℂ)
2726adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑚𝐶) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)) ∈ ℂ)
28 f1oco 6616 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶) → (𝐹𝑓):(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐴)
292, 19, 28syl2an2r 684 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → (𝐹𝑓):(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐴)
30 f1of 6594 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑓):(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐴 → (𝐹𝑓):(1...(♯‘𝐶))⟶𝐴)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → (𝐹𝑓):(1...(♯‘𝐶))⟶𝐴)
32 fvco3 6741 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑓):(1...(♯‘𝐶))⟶𝐴𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ (𝐹𝑓))‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘((𝐹𝑓)‘𝑛)))
3331, 32sylan 583 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ (𝐹𝑓))‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘((𝐹𝑓)‘𝑛)))
34 f1of 6594 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶𝑓:(1...(♯‘𝐶))⟶𝐶)
3534ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐶))⟶𝐶)
36 fvco3 6741 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(♯‘𝐶))⟶𝐶𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → ((𝐹𝑓)‘𝑛) = (𝐹‘(𝑓𝑛)))
3735, 36sylan 583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → ((𝐹𝑓)‘𝑛) = (𝐹‘(𝑓𝑛)))
3837fveq2d 6653 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → ((𝑘𝐴𝐵)‘((𝐹𝑓)‘𝑛)) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹‘(𝑓𝑛))))
3933, 38eqtrd 2836 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ (𝐹𝑓))‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹‘(𝑓𝑛))))
4017, 18, 19, 27, 39fsum 15072 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑚𝐶 ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)) = (seq1( + , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ (𝐹𝑓)))‘(♯‘𝐶)))
41 fsumf1o.4 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
4221ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) ∈ 𝐴)
4341, 42eqeltrrd 2894 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝐶) → 𝐺𝐴)
44 fsumf1o.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
45 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
4644, 45fvmpti 6748 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺𝐴 → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝐺) = ( I ‘𝐷))
4743, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐶) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝐺) = ( I ‘𝐷))
4841fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐶) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑛)) = ((𝑘𝐴𝐵)‘𝐺))
49 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝐶𝐷) = (𝑛𝐶𝐷)
5049fvmpt2i 6759 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝐶 → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = ( I ‘𝐷))
5150adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐶) → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = ( I ‘𝐷))
5247, 48, 513eqtr4rd 2847 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐶) → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑛)))
5352ralrimiva 3152 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑛𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑛)))
54 nffvmpt1 6660 . . . . . . . . . . . 12 𝑛((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚)
5554nfeq1 2973 . . . . . . . . . . 11 𝑛((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚))
56 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚))
57 2fveq3 6654 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑛)) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)))
5856, 57eqeq12d 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑛)) ↔ ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚))))
5955, 58rspc 3562 . . . . . . . . . 10 (𝑚𝐶 → (∀𝑛𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑛)) → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚))))
6053, 59mpan9 510 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐶) → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)))
6160adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑚𝐶) → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)))
6261sumeq2dv 15055 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑚𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = Σ𝑚𝐶 ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)))
63 fveq2 6649 . . . . . . . 8 (𝑚 = ((𝐹𝑓)‘𝑛) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘((𝐹𝑓)‘𝑛)))
6424adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
6564ffvelrnda 6832 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
6663, 18, 29, 65, 33fsum 15072 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = (seq1( + , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ (𝐹𝑓)))‘(♯‘𝐶)))
6740, 62, 663eqtr4rd 2847 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = Σ𝑚𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚))
68 sumfc 15061 . . . . . 6 Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = Σ𝑘𝐴 𝐵
69 sumfc 15061 . . . . . 6 Σ𝑚𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = Σ𝑛𝐶 𝐷
7067, 68, 693eqtr3g 2859 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
7170expr 460 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐶) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷))
7271exlimdv 1934 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐶) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷))
7372expimpd 457 . 2 (𝜑 → (((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷))
74 fsumf1o.2 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
75 fz1f1o 15062 . . 3 (𝐶 ∈ Fin → (𝐶 = ∅ ∨ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)))
7674, 75syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐶 = ∅ ∨ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)))
7716, 73, 76mpjaod 857 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∅c0 4246   ↦ cmpt 5113   I cid 5427   ∘ ccom 5527  ⟶wf 6324  –onto→wfo 6326  –1-1-onto→wf1o 6327  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  ℂcc 10528  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533  ℕcn 11629  ...cfz 12889  seqcseq 13368  ♯chash 13690  Σcsu 15037 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038 This theorem is referenced by:  fsumss  15077  fsum2dlem  15120  fsumcnv  15123  fsumrev  15129  fsumshft  15130  ackbijnn  15178  incexclem  15186  phisum  16120  ovoliunlem1  24109  ovolicc2lem4  24127  itg1addlem4  24306  itg1mulc  24311  basellem3  25671  basellem5  25673  fsumdvdscom  25773  dvdsflsumcom  25776  musum  25779  fsumdvdsmul  25783  sgmppw  25784  fsumvma  25800  dchrsum2  25855  sumdchr2  25857  dchrisumlem1  26076  dchrisum0flblem1  26095  dchrisum0fno1  26098  fsumiunle  30574  eulerpartlemgs2  31746  reprpmtf1o  32005  breprexplema  32009  hgt750lemb  32035  hgt750lema  32036  fsumf1of  42203  sumnnodd  42259  dvnprodlem2  42576
 Copyright terms: Public domain W3C validator