Theorem 0ramcl 16188

Description: Lemma for ramcl 16194: Existence of the Ramsey number when 𝑀 = 0. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0ramcl	⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem 0ramcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → 𝐹 Fn 𝑅)
2		dffn4 6464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn 𝑅 ↔ 𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹)
3	1, 2	sylib 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → 𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹)
4	3	ad2antlr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → 𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹)
5		foeq2 6455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = ∅ → (𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹 ↔ 𝐹:∅–onto→ran 𝐹))
6	5	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → (𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹 ↔ 𝐹:∅–onto→ran 𝐹))
7	4, 6	mpbid 233	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → 𝐹:∅–onto→ran 𝐹)
8		fo00 6518	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:∅–onto→ran 𝐹 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ ran 𝐹 = ∅))
9	8	simplbi 498	. . . . 5 ⊢ (𝐹:∅–onto→ran 𝐹 → 𝐹 = ∅)
10	7, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → 𝐹 = ∅)
11	10	oveq2d 7032	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → (0 Ramsey 𝐹) = (0 Ramsey ∅))
12		0nn0 11760	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		ram0 16187	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (0 Ramsey ∅) = 0)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 Ramsey ∅) = 0
15	14, 12	eqeltri 2879	. . 3 ⊢ (0 Ramsey ∅) ∈ ℕ0
16	11, 15	syl6eqel 2891	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
17		0ram2 16186	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
18		frn 6388	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → ran 𝐹 ⊆ ℕ0)
19	18	3ad2ant3 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ⊆ ℕ0)
20		nn0ssz 11852	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
21	19, 20	syl6ss 3901	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ⊆ ℤ)
22		fdm 6390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → dom 𝐹 = 𝑅)
23	22	3ad2ant3 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → dom 𝐹 = 𝑅)
24		simp2 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝑅 ≠ ∅)
25	23, 24	eqnetrd 3051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → dom 𝐹 ≠ ∅)
26		dm0rn0 5679	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ ↔ ran 𝐹 = ∅)
27	26	necon3bii 3036	. . . . . . . 8 ⊢ (dom 𝐹 ≠ ∅ ↔ ran 𝐹 ≠ ∅)
28	25, 27	sylib 219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ≠ ∅)
29		nn0ssre 11749	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
30	19, 29	syl6ss 3901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
31		simp1 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝑅 ∈ Fin)
32	3	3ad2ant3 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹)
33		fofi 8656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹) → ran 𝐹 ∈ Fin)
34	31, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ∈ Fin)
35		fimaxre 11432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)
36	30, 34, 28, 35	syl3anc 1364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)
37		ssrexv 3955	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ℤ → (∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥))
38	21, 36, 37	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)
39		suprzcl2 12187	. . . . . . 7 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ ℤ ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
40	21, 28, 38, 39	syl3anc 1364	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
41	19, 40	sseldd 3890	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℕ0)
42	17, 41	eqeltrd 2883	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
43	42	3expa 1111	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅) ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
44	43	an32s 648	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
45	16, 44	pm2.61dane 3072	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ∀wral 3105  ∃wrex 3106   ⊆ wss 3859  ∅c0 4211   class class class wbr 4962  dom cdm 5443  ran crn 5444   Fn wfn 6220  ⟶wf 6221  –onto→wfo 6223  (class class class)co 7016  Fincfn 8357  supcsup 8750  ℝcr 10382  0cc0 10383   < clt 10521   ≤ cle 10522  ℕ₀cn0 11745  ℤcz 11829   Ramsey cram 16164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-dju 9176  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-n0 11746  df-xnn0 11816  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-seq 13220  df-fac 13484  df-bc 13513  df-hash 13541  df-ram 16166

This theorem is referenced by:  ramcl  16194