Theorem 0ramcl 17245

Description: Lemma for ramcl 17251: Existence of the Ramsey number when 𝑀 = 0. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0ramcl	⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem 0ramcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → 𝐹 Fn 𝑅)
2		dffn4 6832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn 𝑅 ↔ 𝐹:𝑅⟶ontoran 𝐹)
3	1, 2	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → 𝐹:𝑅⟶ontoran 𝐹)
4	3	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → 𝐹:𝑅⟶ontoran 𝐹)
5		foeq2 6823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = ∅ → (𝐹:𝑅⟶ontoran 𝐹 ↔ 𝐹:∅⟶ontoran 𝐹))
6	5	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → (𝐹:𝑅⟶ontoran 𝐹 ↔ 𝐹:∅⟶ontoran 𝐹))
7	4, 6	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → 𝐹:∅⟶ontoran 𝐹)
8		fo00 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:∅⟶ontoran 𝐹 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ ran 𝐹 = ∅))
9	8	simplbi 502	. . . . 5 ⊢ (𝐹:∅⟶ontoran 𝐹 → 𝐹 = ∅)
10	7, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → 𝐹 = ∅)
11	10	oveq2d 7467	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → (0 Ramsey 𝐹) = (0 Ramsey ∅))
12		0nn0 12661	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		ram0 17244	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (0 Ramsey ∅) = 0)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 Ramsey ∅) = 0
15	14, 12	eqeltri 2860	. . 3 ⊢ (0 Ramsey ∅) ∈ ℕ0
16	11, 15	eqeltrdi 2872	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
17		0ram2 17243	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
18		frn 6747	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → ran 𝐹 ⊆ ℕ0)
19	18	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ⊆ ℕ0)
20		nn0ssz 12756	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
21	19, 20	sstrdi 3925	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ⊆ ℤ)
22		fdm 6749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → dom 𝐹 = 𝑅)
23	22	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → dom 𝐹 = 𝑅)
24		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝑅 ≠ ∅)
25	23, 24	eqnetrd 3026	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → dom 𝐹 ≠ ∅)
26		dm0rn0 5918	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ ↔ ran 𝐹 = ∅)
27	26	necon3bii 3011	. . . . . . . 8 ⊢ (dom 𝐹 ≠ ∅ ↔ ran 𝐹 ≠ ∅)
28	25, 27	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ≠ ∅)
29		nn0ssre 12650	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
30	19, 29	sstrdi 3925	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
31		simp1 1154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝑅 ∈ Fin)
32	3	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝐹:𝑅⟶ontoran 𝐹)
33		fofi 9343	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ontoran 𝐹) → ran 𝐹 ∈ Fin)
34	31, 32, 33	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ∈ Fin)
35		fimaxre 12301	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)
36	30, 34, 28, 35	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)
37		ssrexv 3983	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ℤ → (∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥))
38	21, 36, 37	sylc 66	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)
39		suprzcl2 13105	. . . . . . 7 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ ℤ ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
40	21, 28, 38, 39	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
41	19, 40	sseldd 3914	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℕ0)
42	17, 41	eqeltrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
43	42	3expa 1136	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅) ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
44	43	an32s 665	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
45	16, 44	pm2.61dane 3046	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   class class class wbr 5108  dom cdm 5658  ran crn 5659   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562  ⟶ontowfo 6564  (class class class)co 7451  Fincfn 9011  supcsup 9469  ℝcr 11238  0cc0 11239   < clt 11382   ≤ cle 11383  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733   Ramsey cram 17221

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-seq 14185  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-ram 17223

This theorem is used by:  ramcl  17251