Theorem 0ramcl 16652

Description: Lemma for ramcl 16658: Existence of the Ramsey number when 𝑀 = 0. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0ramcl	⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem 0ramcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → 𝐹 Fn 𝑅)
2		dffn4 6678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn 𝑅 ↔ 𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹)
3	1, 2	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → 𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹)
4	3	ad2antlr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → 𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹)
5		foeq2 6669	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = ∅ → (𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹 ↔ 𝐹:∅–onto→ran 𝐹))
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → (𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹 ↔ 𝐹:∅–onto→ran 𝐹))
7	4, 6	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → 𝐹:∅–onto→ran 𝐹)
8		fo00 6735	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:∅–onto→ran 𝐹 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ ran 𝐹 = ∅))
9	8	simplbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝐹:∅–onto→ran 𝐹 → 𝐹 = ∅)
10	7, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → 𝐹 = ∅)
11	10	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → (0 Ramsey 𝐹) = (0 Ramsey ∅))
12		0nn0 12178	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		ram0 16651	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (0 Ramsey ∅) = 0)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 Ramsey ∅) = 0
15	14, 12	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ (0 Ramsey ∅) ∈ ℕ0
16	11, 15	eqeltrdi 2847	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
17		0ram2 16650	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
18		frn 6591	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → ran 𝐹 ⊆ ℕ0)
19	18	3ad2ant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ⊆ ℕ0)
20		nn0ssz 12271	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
21	19, 20	sstrdi 3929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ⊆ ℤ)
22		fdm 6593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → dom 𝐹 = 𝑅)
23	22	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → dom 𝐹 = 𝑅)
24		simp2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝑅 ≠ ∅)
25	23, 24	eqnetrd 3010	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → dom 𝐹 ≠ ∅)
26		dm0rn0 5823	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ ↔ ran 𝐹 = ∅)
27	26	necon3bii 2995	. . . . . . . 8 ⊢ (dom 𝐹 ≠ ∅ ↔ ran 𝐹 ≠ ∅)
28	25, 27	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ≠ ∅)
29		nn0ssre 12167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
30	19, 29	sstrdi 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
31		simp1 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝑅 ∈ Fin)
32	3	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹)
33		fofi 9035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹) → ran 𝐹 ∈ Fin)
34	31, 32, 33	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ∈ Fin)
35		fimaxre 11849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)
36	30, 34, 28, 35	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)
37		ssrexv 3984	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ℤ → (∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥))
38	21, 36, 37	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)
39		suprzcl2 12607	. . . . . . 7 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ ℤ ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
40	21, 28, 38, 39	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
41	19, 40	sseldd 3918	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℕ0)
42	17, 41	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
43	42	3expa 1116	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅) ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
44	43	an32s 648	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
45	16, 44	pm2.61dane 3031	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  ran crn 5581   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  –onto→wfo 6416  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  supcsup 9129  ℝcr 10801  0cc0 10802   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249   Ramsey cram 16628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-seq 13650  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-ram 16630

This theorem is referenced by:  ramcl  16658