MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ramcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ramcl 17056
Description: Lemma for ramcl 17062: Existence of the Ramsey number when 𝑀 = 0. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
0ramcl ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem 0ramcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 6736 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑅⟶ℕ0𝐹 Fn 𝑅)
2 dffn4 6826 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝑅𝐹:𝑅onto→ran 𝐹)
31, 2sylib 218 . . . . . . 7 (𝐹:𝑅⟶ℕ0𝐹:𝑅onto→ran 𝐹)
43ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → 𝐹:𝑅onto→ran 𝐹)
5 foeq2 6817 . . . . . . 7 (𝑅 = ∅ → (𝐹:𝑅onto→ran 𝐹𝐹:∅–onto→ran 𝐹))
65adantl 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → (𝐹:𝑅onto→ran 𝐹𝐹:∅–onto→ran 𝐹))
74, 6mpbid 232 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → 𝐹:∅–onto→ran 𝐹)
8 fo00 6884 . . . . . 6 (𝐹:∅–onto→ran 𝐹 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ ran 𝐹 = ∅))
98simplbi 497 . . . . 5 (𝐹:∅–onto→ran 𝐹𝐹 = ∅)
107, 9syl 17 . . . 4 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → 𝐹 = ∅)
1110oveq2d 7446 . . 3 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → (0 Ramsey 𝐹) = (0 Ramsey ∅))
12 0nn0 12538 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
13 ram0 17055 . . . . 5 (0 ∈ ℕ0 → (0 Ramsey ∅) = 0)
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 (0 Ramsey ∅) = 0
1514, 12eqeltri 2834 . . 3 (0 Ramsey ∅) ∈ ℕ0
1611, 15eqeltrdi 2846 . 2 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
17 0ram2 17054 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
18 frn 6743 . . . . . . 7 (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → ran 𝐹 ⊆ ℕ0)
19183ad2ant3 1134 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ⊆ ℕ0)
20 nn0ssz 12633 . . . . . . . 8 0 ⊆ ℤ
2119, 20sstrdi 4007 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ⊆ ℤ)
22 fdm 6745 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → dom 𝐹 = 𝑅)
23223ad2ant3 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → dom 𝐹 = 𝑅)
24 simp2 1136 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝑅 ≠ ∅)
2523, 24eqnetrd 3005 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → dom 𝐹 ≠ ∅)
26 dm0rn0 5937 . . . . . . . . 9 (dom 𝐹 = ∅ ↔ ran 𝐹 = ∅)
2726necon3bii 2990 . . . . . . . 8 (dom 𝐹 ≠ ∅ ↔ ran 𝐹 ≠ ∅)
2825, 27sylib 218 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ≠ ∅)
29 nn0ssre 12527 . . . . . . . . . 10 0 ⊆ ℝ
3019, 29sstrdi 4007 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
31 simp1 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝑅 ∈ Fin)
3233ad2ant3 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝐹:𝑅onto→ran 𝐹)
33 fofi 9348 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅onto→ran 𝐹) → ran 𝐹 ∈ Fin)
3431, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ∈ Fin)
35 fimaxre 12209 . . . . . . . . 9 ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦𝑥)
3630, 34, 28, 35syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦𝑥)
37 ssrexv 4064 . . . . . . . 8 (ran 𝐹 ⊆ ℤ → (∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦𝑥))
3821, 36, 37sylc 65 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦𝑥)
39 suprzcl2 12977 . . . . . . 7 ((ran 𝐹 ⊆ ℤ ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦𝑥) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
4021, 28, 38, 39syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
4119, 40sseldd 3995 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℕ0)
4217, 41eqeltrd 2838 . . . 4 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
43423expa 1117 . . 3 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅) ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
4443an32s 652 . 2 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
4516, 44pm2.61dane 3026 1 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  wss 3962  c0 4338   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  ran crn 5689   Fn wfn 6557  wf 6558  ontowfo 6560  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  supcsup 9477  cr 11151  0cc0 11152   < clt 11292  cle 11293  0cn0 12523  cz 12610   Ramsey cram 17032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-seq 14039  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-ram 17034
This theorem is referenced by:  ramcl  17062
  Copyright terms: Public domain W3C validator