MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ramcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 0ramcl 16956
Description: Lemma for ramcl 16962: Existence of the Ramsey number when 𝑀 = 0. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
0ramcl ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ (0 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
Proof of Theorem 0ramcl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 6718 . . . . . . . 8 (𝐹:π‘…βŸΆβ„•0 β†’ 𝐹 Fn 𝑅)
2 dffn4 6812 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝑅 ↔ 𝐹:𝑅–ontoβ†’ran 𝐹)
31, 2sylib 217 . . . . . . 7 (𝐹:π‘…βŸΆβ„•0 β†’ 𝐹:𝑅–ontoβ†’ran 𝐹)
43ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑅 = βˆ…) β†’ 𝐹:𝑅–ontoβ†’ran 𝐹)
5 foeq2 6803 . . . . . . 7 (𝑅 = βˆ… β†’ (𝐹:𝑅–ontoβ†’ran 𝐹 ↔ 𝐹:βˆ…β€“ontoβ†’ran 𝐹))
65adantl 483 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑅 = βˆ…) β†’ (𝐹:𝑅–ontoβ†’ran 𝐹 ↔ 𝐹:βˆ…β€“ontoβ†’ran 𝐹))
74, 6mpbid 231 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑅 = βˆ…) β†’ 𝐹:βˆ…β€“ontoβ†’ran 𝐹)
8 fo00 6870 . . . . . 6 (𝐹:βˆ…β€“ontoβ†’ran 𝐹 ↔ (𝐹 = βˆ… ∧ ran 𝐹 = βˆ…))
98simplbi 499 . . . . 5 (𝐹:βˆ…β€“ontoβ†’ran 𝐹 β†’ 𝐹 = βˆ…)
107, 9syl 17 . . . 4 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑅 = βˆ…) β†’ 𝐹 = βˆ…)
1110oveq2d 7425 . . 3 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑅 = βˆ…) β†’ (0 Ramsey 𝐹) = (0 Ramsey βˆ…))
12 0nn0 12487 . . . . 5 0 ∈ β„•0
13 ram0 16955 . . . . 5 (0 ∈ β„•0 β†’ (0 Ramsey βˆ…) = 0)
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 (0 Ramsey βˆ…) = 0
1514, 12eqeltri 2830 . . 3 (0 Ramsey βˆ…) ∈ β„•0
1611, 15eqeltrdi 2842 . 2 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑅 = βˆ…) β†’ (0 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
17 0ram2 16954 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ (0 Ramsey 𝐹) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
18 frn 6725 . . . . . . 7 (𝐹:π‘…βŸΆβ„•0 β†’ ran 𝐹 βŠ† β„•0)
19183ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ ran 𝐹 βŠ† β„•0)
20 nn0ssz 12581 . . . . . . . 8 β„•0 βŠ† β„€
2119, 20sstrdi 3995 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ ran 𝐹 βŠ† β„€)
22 fdm 6727 . . . . . . . . . 10 (𝐹:π‘…βŸΆβ„•0 β†’ dom 𝐹 = 𝑅)
23223ad2ant3 1136 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ dom 𝐹 = 𝑅)
24 simp2 1138 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ 𝑅 β‰  βˆ…)
2523, 24eqnetrd 3009 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ dom 𝐹 β‰  βˆ…)
26 dm0rn0 5925 . . . . . . . . 9 (dom 𝐹 = βˆ… ↔ ran 𝐹 = βˆ…)
2726necon3bii 2994 . . . . . . . 8 (dom 𝐹 β‰  βˆ… ↔ ran 𝐹 β‰  βˆ…)
2825, 27sylib 217 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ ran 𝐹 β‰  βˆ…)
29 nn0ssre 12476 . . . . . . . . . 10 β„•0 βŠ† ℝ
3019, 29sstrdi 3995 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
31 simp1 1137 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ 𝑅 ∈ Fin)
3233ad2ant3 1136 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ 𝐹:𝑅–ontoβ†’ran 𝐹)
33 fofi 9338 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅–ontoβ†’ran 𝐹) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
3431, 32, 33syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
35 fimaxre 12158 . . . . . . . . 9 ((ran 𝐹 βŠ† ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯)
3630, 34, 28, 35syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯)
37 ssrexv 4052 . . . . . . . 8 (ran 𝐹 βŠ† β„€ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯))
3821, 36, 37sylc 65 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯)
39 suprzcl2 12922 . . . . . . 7 ((ran 𝐹 βŠ† β„€ ∧ ran 𝐹 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
4021, 28, 38, 39syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
4119, 40sseldd 3984 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ β„•0)
4217, 41eqeltrd 2834 . . . 4 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ (0 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
43423expa 1119 . . 3 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 β‰  βˆ…) ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ (0 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
4443an32s 651 . 2 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑅 β‰  βˆ…) β†’ (0 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
4516, 44pm2.61dane 3030 1 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ (0 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ran crn 5678   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  supcsup 9435  β„cr 11109  0cc0 11110   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558   Ramsey cram 16932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-ram 16934
This theorem is referenced by:  ramcl  16962
  Copyright terms: Public domain W3C validator