Theorem inpreima 7068

Description: Preimage of an intersection. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
inpreima	⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ 𝐵)))

Proof of Theorem inpreima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcnvcnv 6615	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun ◡◡𝐹)
2		imain 6633	. 2 ⊢ (Fun ◡◡𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ 𝐵)))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∩ cin 3944  ^◡ccnv 5672   “ cima 5676  Fun wfun 6537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5424

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-fun 6545

This theorem is referenced by:  cnvimainrn  7071  sspreima  7072  fimacnvinrn  7076  fsuppeq  8174  fsuppeqg  8175  ofco2  22347  cnrest2  23184  cnhaus  23252  kgencn3  23456  qtoptop2  23597  basqtop  23609  ismbfd  25562  mbfimaopn2  25580  i1fima  25601  i1fima2  25602  i1fd  25604  disjpreima  32368  smfco  46181  predisj  47872