Theorem inpreima 7010

Description: Preimage of an intersection. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
inpreima	⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ 𝐵)))

Proof of Theorem inpreima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcnvcnv 6559	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun ◡◡𝐹)
2		imain 6577	. 2 ⊢ (Fun ◡◡𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ 𝐵)))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∩ cin 3889  ^◡ccnv 5623   “ cima 5627  Fun wfun 6486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-fun 6494

This theorem is referenced by:  cnvimainrn  7013  sspreima  7014  fimacnvinrn  7017  fsuppeq  8118  fsuppeqg  8119  ofco2  22426  cnrest2  23261  cnhaus  23329  kgencn3  23533  qtoptop2  23674  basqtop  23686  ismbfd  25616  mbfimaopn2  25634  i1fima  25655  i1fima2  25656  i1fd  25658  disjpreima  32669  smfco  47248  predisj  49298