Theorem inpreima 7054

Description: Preimage of an intersection. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
inpreima	⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ 𝐵)))

Proof of Theorem inpreima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcnvcnv 6603	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun ◡◡𝐹)
2		imain 6621	. 2 ⊢ (Fun ◡◡𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ 𝐵)))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∩ cin 3925  ^◡ccnv 5653   “ cima 5657  Fun wfun 6525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-fun 6533

This theorem is referenced by:  cnvimainrn  7057  sspreima  7058  fimacnvinrn  7061  fsuppeq  8174  fsuppeqg  8175  ofco2  22389  cnrest2  23224  cnhaus  23292  kgencn3  23496  qtoptop2  23637  basqtop  23649  ismbfd  25592  mbfimaopn2  25610  i1fima  25631  i1fima2  25632  i1fd  25634  disjpreima  32565  smfco  46831  predisj  48789