MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inpreima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inpreima 7064
Description: Preimage of an intersection. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
inpreima (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝐴𝐵)) = ((𝐹𝐴) ∩ (𝐹𝐵)))

Proof of Theorem inpreima
StepHypRef Expression
1 funcnvcnv 6614 . 2 (Fun 𝐹 → Fun 𝐹)
2 imain 6632 . 2 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝐴𝐵)) = ((𝐹𝐴) ∩ (𝐹𝐵)))
31, 2syl 17 1 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝐴𝐵)) = ((𝐹𝐴) ∩ (𝐹𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  cin 3946  ccnv 5674  cima 5678  Fun wfun 6536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-fun 6544
This theorem is referenced by:  cnvimainrn  7067  sspreima  7068  fimacnvinrn  7072  fsuppeq  8162  fsuppeqg  8163  ofco2  22173  cnrest2  23010  cnhaus  23078  kgencn3  23282  qtoptop2  23423  basqtop  23435  ismbfd  25388  mbfimaopn2  25406  i1fima  25427  i1fima2  25428  i1fd  25430  disjpreima  32082  smfco  45816  predisj  47582
  Copyright terms: Public domain W3C validator