Theorem inpreima 7066

Description: Preimage of an intersection. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
inpreima	⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ 𝐵)))

Proof of Theorem inpreima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcnvcnv 6610	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun ◡◡𝐹)
2		imain 6628	. 2 ⊢ (Fun ◡◡𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ 𝐵)))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∩ cin 3907  ^◡ccnv 5665   “ cima 5669  Fun wfun 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5115  df-opab 5179  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-fun 6545

This theorem is used by:  cnvimainrn  7069  sspreima  7070  fimacnvinrn  7073  fsuppeq  8180  fsuppeqg  8181  ofco2  22645  cnrest2  23480  cnhaus  23548  kgencn3  23752  qtoptop2  23893  basqtop  23905  ismbfd  25835  mbfimaopn2  25853  i1fima  25874  i1fima2  25875  i1fd  25877  disjpreima  32966  smfco  47557  predisj  49630