MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtoprest Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtoprest 23441
Description: If 𝐴 is a saturated open or closed set (where saturated means that 𝐴 = (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) for some π‘ˆ), then the restriction of the quotient map 𝐹 to 𝐴 is a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtoprest.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
qtoprest.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ)
qtoprest.4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† π‘Œ)
qtoprest.5 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))
qtoprest.6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝐽 ∨ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)))
Assertion
Ref Expression
qtoprest (πœ‘ β†’ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) = ((𝐽 β†Ύt 𝐴) qTop (𝐹 β†Ύ 𝐴)))

Proof of Theorem qtoprest
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtoprest.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2 qtoprest.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ)
3 fofn 6806 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
42, 3syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
5 qtopid 23429 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 Fn 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐽 qTop 𝐹)))
61, 4, 5syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐽 qTop 𝐹)))
7 qtoprest.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))
8 cnvimass 6079 . . . . . . . 8 (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† dom 𝐹
94fndmd 6653 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
108, 9sseqtrid 4033 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† 𝑋)
117, 10eqsstrd 4019 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
12 toponuni 22636 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
131, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1411, 13sseqtrd 4021 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽)
15 eqid 2730 . . . . . 6 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1615cnrest 23009 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐽 qTop 𝐹)) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐽 qTop 𝐹)))
176, 14, 16syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐽 qTop 𝐹)))
18 qtoptopon 23428 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
191, 2, 18syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
20 df-ima 5688 . . . . . . 7 (𝐹 β€œ 𝐴) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐴)
217imaeq2d 6058 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) = (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)))
22 qtoprest.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† π‘Œ)
23 foimacnv 6849 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ π‘ˆ βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)) = π‘ˆ)
242, 22, 23syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)) = π‘ˆ)
2521, 24eqtrd 2770 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) = π‘ˆ)
2620, 25eqtr3id 2784 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) = π‘ˆ)
27 eqimss 4039 . . . . . 6 (ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) = π‘ˆ β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† π‘ˆ)
2826, 27syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† π‘ˆ)
29 cnrest2 23010 . . . . 5 (((𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† π‘Œ) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐽 qTop 𝐹)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))))
3019, 28, 22, 29syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐽 qTop 𝐹)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))))
3117, 30mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ)))
32 resttopon 22885 . . . 4 (((𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ π‘ˆ βŠ† π‘Œ) β†’ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) ∈ (TopOnβ€˜π‘ˆ))
3319, 22, 32syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) ∈ (TopOnβ€˜π‘ˆ))
34 qtopss 23439 . . 3 (((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ)) ∧ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) ∈ (TopOnβ€˜π‘ˆ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) = π‘ˆ) β†’ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) βŠ† ((𝐽 β†Ύt 𝐴) qTop (𝐹 β†Ύ 𝐴)))
3531, 33, 26, 34syl3anc 1369 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) βŠ† ((𝐽 β†Ύt 𝐴) qTop (𝐹 β†Ύ 𝐴)))
36 resttopon 22885 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
371, 11, 36syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
38 fnfun 6648 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ Fun 𝐹)
394, 38syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
4011, 9sseqtrrd 4022 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† dom 𝐹)
41 fores 6814 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴))
4239, 40, 41syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴))
43 foeq3 6802 . . . . . . 7 ((𝐹 β€œ 𝐴) = π‘ˆ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’π‘ˆ))
4425, 43syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’π‘ˆ))
4542, 44mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’π‘ˆ)
46 elqtop3 23427 . . . . 5 (((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) qTop (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ↔ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))))
4737, 45, 46syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) qTop (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ↔ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))))
48 cnvresima 6228 . . . . . . . 8 (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) = ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ 𝐴)
49 imass2 6100 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ βŠ† π‘ˆ β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))
5049adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))
517adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐴 = (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))
5250, 51sseqtrrd 4022 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝐴)
53 df-ss 3964 . . . . . . . . 9 ((◑𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝐴 ↔ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ 𝐴) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
5452, 53sylib 217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ 𝐴) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
5548, 54eqtrid 2782 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
5655eleq1d 2816 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ ((β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ↔ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)))
57 simplrl 773 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ βŠ† π‘ˆ)
58 df-ss 3964 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ↔ (π‘₯ ∩ π‘ˆ) = π‘₯)
5957, 58sylib 217 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∩ π‘ˆ) = π‘₯)
60 topontop 22635 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
6119, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
6261ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
63 toponmax 22648 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
641, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
65 focdmex 7944 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝐽 β†’ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ β†’ π‘Œ ∈ V))
6664, 2, 65sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ V)
6766, 22ssexd 5323 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ V)
6867ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ π‘ˆ ∈ V)
6922ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ π‘ˆ βŠ† π‘Œ)
7057, 69sstrd 3991 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ βŠ† π‘Œ)
71 topontop 22635 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
721, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
73 restopn2 22901 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ↔ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽 ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝐴)))
7472, 73sylan 578 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ↔ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽 ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝐴)))
7574simprbda 497 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)
7675adantrl 712 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)
7776an32s 648 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)
78 elqtop3 23427 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (π‘₯ βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
791, 2, 78syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (π‘₯ βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
8079ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (π‘₯ βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
8170, 77, 80mpbir2and 709 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
82 elrestr 17378 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top ∧ π‘ˆ ∈ V ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 qTop 𝐹)) β†’ (π‘₯ ∩ π‘ˆ) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))
8362, 68, 81, 82syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∩ π‘ˆ) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))
8459, 83eqeltrrd 2832 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))
8533ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) ∈ (TopOnβ€˜π‘ˆ))
86 toponuni 22636 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) ∈ (TopOnβ€˜π‘ˆ) β†’ π‘ˆ = βˆͺ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘ˆ = βˆͺ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))
8887difeq1d 4120 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (π‘ˆ βˆ– π‘₯) = (βˆͺ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) βˆ– π‘₯))
8922ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘ˆ βŠ† π‘Œ)
9019ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
91 toponuni 22636 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹))
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹))
9389, 92sseqtrd 4021 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘ˆ βŠ† βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹))
9489ssdifssd 4141 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (π‘ˆ βˆ– π‘₯) βŠ† π‘Œ)
9539ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ Fun 𝐹)
96 funcnvcnv 6614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun 𝐹 β†’ Fun ◑◑𝐹)
97 imadif 6631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun ◑◑𝐹 β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘ˆ βˆ– π‘₯)) = ((◑𝐹 β€œ π‘ˆ) βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
9895, 96, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘ˆ βˆ– π‘₯)) = ((◑𝐹 β€œ π‘ˆ) βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
997ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ 𝐴 = (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))
10099difeq1d 4120 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)) = ((◑𝐹 β€œ π‘ˆ) βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
10198, 100eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘ˆ βˆ– π‘₯)) = (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
102 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½))
10337ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
104 toponuni 22636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
106105difeq1d 4120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)) = (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
107 topontop 22635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
108103, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
109 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
110 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)
111110opncld 22757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) β†’ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴)))
112108, 109, 111syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴)))
113106, 112eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴)))
114 restcldr 22898 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))) β†’ (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
115102, 113, 114syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
116101, 115eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘ˆ βˆ– π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
117 qtopcld 23437 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ ((π‘ˆ βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹)) ↔ ((π‘ˆ βˆ– π‘₯) βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ (π‘ˆ βˆ– π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))))
1181, 2, 117syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹)) ↔ ((π‘ˆ βˆ– π‘₯) βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ (π‘ˆ βˆ– π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))))
119118ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ ((π‘ˆ βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹)) ↔ ((π‘ˆ βˆ– π‘₯) βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ (π‘ˆ βˆ– π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))))
12094, 116, 119mpbir2and 709 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (π‘ˆ βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹)))
121 difssd 4131 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (π‘ˆ βˆ– π‘₯) βŠ† π‘ˆ)
122 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹) = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)
123122restcldi 22897 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ βŠ† βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹) ∧ (π‘ˆ βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹)) ∧ (π‘ˆ βˆ– π‘₯) βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ)))
12493, 120, 121, 123syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (π‘ˆ βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ)))
12588, 124eqeltrrd 2832 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ)))
126 topontop 22635 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) ∈ (TopOnβ€˜π‘ˆ) β†’ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) ∈ Top)
12785, 126syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) ∈ Top)
128 simplrl 773 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘₯ βŠ† π‘ˆ)
129128, 87sseqtrd 4021 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))
130 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) = βˆͺ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ)
131130isopn2 22756 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) ∈ Top ∧ π‘₯ βŠ† βˆͺ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) ↔ (βˆͺ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))))
132127, 129, 131syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) ↔ (βˆͺ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))))
133125, 132mpbird 256 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))
134 qtoprest.6 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝐽 ∨ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)))
135134adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) β†’ (𝐴 ∈ 𝐽 ∨ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)))
13684, 133, 135mpjaodan 955 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))
137136expr 455 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ)))
13856, 137sylbid 239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ ((β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ)))
139138expimpd 452 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ)))
14047, 139sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) qTop (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ)))
141140ssrdv 3987 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) qTop (𝐹 β†Ύ 𝐴)) βŠ† ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))
14235, 141eqssd 3998 1 (πœ‘ β†’ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) = ((𝐽 β†Ύt 𝐴) qTop (𝐹 β†Ύ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4907  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   β†Ύt crest 17370   qTop cqtop 17453  Topctop 22615  TopOnctopon 22632  Clsdccld 22740   Cn ccn 22948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8824  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-qtop 17457  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cld 22743  df-cn 22951
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator