MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtoprest Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtoprest 23071
Description: If 𝐴 is a saturated open or closed set (where saturated means that 𝐴 = (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) for some π‘ˆ), then the restriction of the quotient map 𝐹 to 𝐴 is a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtoprest.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
qtoprest.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ)
qtoprest.4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† π‘Œ)
qtoprest.5 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))
qtoprest.6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝐽 ∨ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)))
Assertion
Ref Expression
qtoprest (πœ‘ β†’ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) = ((𝐽 β†Ύt 𝐴) qTop (𝐹 β†Ύ 𝐴)))

Proof of Theorem qtoprest
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtoprest.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2 qtoprest.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ)
3 fofn 6759 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
42, 3syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
5 qtopid 23059 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 Fn 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐽 qTop 𝐹)))
61, 4, 5syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐽 qTop 𝐹)))
7 qtoprest.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))
8 cnvimass 6034 . . . . . . . 8 (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† dom 𝐹
94fndmd 6608 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
108, 9sseqtrid 3997 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† 𝑋)
117, 10eqsstrd 3983 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
12 toponuni 22266 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
131, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1411, 13sseqtrd 3985 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽)
15 eqid 2737 . . . . . 6 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1615cnrest 22639 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐽 qTop 𝐹)) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐽 qTop 𝐹)))
176, 14, 16syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐽 qTop 𝐹)))
18 qtoptopon 23058 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
191, 2, 18syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
20 df-ima 5647 . . . . . . 7 (𝐹 β€œ 𝐴) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐴)
217imaeq2d 6014 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) = (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)))
22 qtoprest.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† π‘Œ)
23 foimacnv 6802 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ π‘ˆ βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)) = π‘ˆ)
242, 22, 23syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)) = π‘ˆ)
2521, 24eqtrd 2777 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) = π‘ˆ)
2620, 25eqtr3id 2791 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) = π‘ˆ)
27 eqimss 4001 . . . . . 6 (ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) = π‘ˆ β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† π‘ˆ)
2826, 27syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† π‘ˆ)
29 cnrest2 22640 . . . . 5 (((𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† π‘Œ) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐽 qTop 𝐹)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))))
3019, 28, 22, 29syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐽 qTop 𝐹)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))))
3117, 30mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ)))
32 resttopon 22515 . . . 4 (((𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ π‘ˆ βŠ† π‘Œ) β†’ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) ∈ (TopOnβ€˜π‘ˆ))
3319, 22, 32syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) ∈ (TopOnβ€˜π‘ˆ))
34 qtopss 23069 . . 3 (((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ)) ∧ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) ∈ (TopOnβ€˜π‘ˆ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) = π‘ˆ) β†’ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) βŠ† ((𝐽 β†Ύt 𝐴) qTop (𝐹 β†Ύ 𝐴)))
3531, 33, 26, 34syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) βŠ† ((𝐽 β†Ύt 𝐴) qTop (𝐹 β†Ύ 𝐴)))
36 resttopon 22515 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
371, 11, 36syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
38 fnfun 6603 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ Fun 𝐹)
394, 38syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
4011, 9sseqtrrd 3986 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† dom 𝐹)
41 fores 6767 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴))
4239, 40, 41syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴))
43 foeq3 6755 . . . . . . 7 ((𝐹 β€œ 𝐴) = π‘ˆ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’π‘ˆ))
4425, 43syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’π‘ˆ))
4542, 44mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’π‘ˆ)
46 elqtop3 23057 . . . . 5 (((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) qTop (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ↔ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))))
4737, 45, 46syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) qTop (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ↔ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))))
48 cnvresima 6183 . . . . . . . 8 (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) = ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ 𝐴)
49 imass2 6055 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ βŠ† π‘ˆ β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))
5049adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))
517adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐴 = (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))
5250, 51sseqtrrd 3986 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝐴)
53 df-ss 3928 . . . . . . . . 9 ((◑𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝐴 ↔ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ 𝐴) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
5452, 53sylib 217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ 𝐴) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
5548, 54eqtrid 2789 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
5655eleq1d 2823 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ ((β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ↔ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)))
57 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ βŠ† π‘ˆ)
58 df-ss 3928 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ↔ (π‘₯ ∩ π‘ˆ) = π‘₯)
5957, 58sylib 217 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∩ π‘ˆ) = π‘₯)
60 topontop 22265 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
6119, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
6261ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
63 toponmax 22278 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
641, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
65 focdmex 7889 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝐽 β†’ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ β†’ π‘Œ ∈ V))
6664, 2, 65sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ V)
6766, 22ssexd 5282 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ V)
6867ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ π‘ˆ ∈ V)
6922ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ π‘ˆ βŠ† π‘Œ)
7057, 69sstrd 3955 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ βŠ† π‘Œ)
71 topontop 22265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
721, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
73 restopn2 22531 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ↔ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽 ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝐴)))
7472, 73sylan 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ↔ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽 ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝐴)))
7574simprbda 500 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)
7675adantrl 715 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)
7776an32s 651 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)
78 elqtop3 23057 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (π‘₯ βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
791, 2, 78syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (π‘₯ βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
8079ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (π‘₯ βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
8170, 77, 80mpbir2and 712 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
82 elrestr 17311 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top ∧ π‘ˆ ∈ V ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 qTop 𝐹)) β†’ (π‘₯ ∩ π‘ˆ) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))
8362, 68, 81, 82syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∩ π‘ˆ) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))
8459, 83eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))
8533ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) ∈ (TopOnβ€˜π‘ˆ))
86 toponuni 22266 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) ∈ (TopOnβ€˜π‘ˆ) β†’ π‘ˆ = βˆͺ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘ˆ = βˆͺ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))
8887difeq1d 4082 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (π‘ˆ βˆ– π‘₯) = (βˆͺ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) βˆ– π‘₯))
8922ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘ˆ βŠ† π‘Œ)
9019ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
91 toponuni 22266 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹))
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹))
9389, 92sseqtrd 3985 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘ˆ βŠ† βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹))
9489ssdifssd 4103 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (π‘ˆ βˆ– π‘₯) βŠ† π‘Œ)
9539ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ Fun 𝐹)
96 funcnvcnv 6569 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun 𝐹 β†’ Fun ◑◑𝐹)
97 imadif 6586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun ◑◑𝐹 β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘ˆ βˆ– π‘₯)) = ((◑𝐹 β€œ π‘ˆ) βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
9895, 96, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘ˆ βˆ– π‘₯)) = ((◑𝐹 β€œ π‘ˆ) βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
997ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ 𝐴 = (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))
10099difeq1d 4082 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)) = ((◑𝐹 β€œ π‘ˆ) βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
10198, 100eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘ˆ βˆ– π‘₯)) = (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
102 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½))
10337ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
104 toponuni 22266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
106105difeq1d 4082 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)) = (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
107 topontop 22265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
108103, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
109 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
110 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)
111110opncld 22387 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) β†’ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴)))
112108, 109, 111syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴)))
113106, 112eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴)))
114 restcldr 22528 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))) β†’ (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
115102, 113, 114syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
116101, 115eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘ˆ βˆ– π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
117 qtopcld 23067 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ ((π‘ˆ βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹)) ↔ ((π‘ˆ βˆ– π‘₯) βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ (π‘ˆ βˆ– π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))))
1181, 2, 117syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹)) ↔ ((π‘ˆ βˆ– π‘₯) βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ (π‘ˆ βˆ– π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))))
119118ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ ((π‘ˆ βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹)) ↔ ((π‘ˆ βˆ– π‘₯) βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ (π‘ˆ βˆ– π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))))
12094, 116, 119mpbir2and 712 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (π‘ˆ βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹)))
121 difssd 4093 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (π‘ˆ βˆ– π‘₯) βŠ† π‘ˆ)
122 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹) = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)
123122restcldi 22527 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ βŠ† βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹) ∧ (π‘ˆ βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹)) ∧ (π‘ˆ βˆ– π‘₯) βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ)))
12493, 120, 121, 123syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (π‘ˆ βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ)))
12588, 124eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ)))
126 topontop 22265 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) ∈ (TopOnβ€˜π‘ˆ) β†’ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) ∈ Top)
12785, 126syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) ∈ Top)
128 simplrl 776 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘₯ βŠ† π‘ˆ)
129128, 87sseqtrd 3985 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))
130 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) = βˆͺ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ)
131130isopn2 22386 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) ∈ Top ∧ π‘₯ βŠ† βˆͺ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) ↔ (βˆͺ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))))
132127, 129, 131syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) ↔ (βˆͺ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))))
133125, 132mpbird 257 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))
134 qtoprest.6 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝐽 ∨ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)))
135134adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) β†’ (𝐴 ∈ 𝐽 ∨ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)))
13684, 133, 135mpjaodan 958 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))
137136expr 458 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ)))
13856, 137sylbid 239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ ((β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ)))
139138expimpd 455 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ)))
14047, 139sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) qTop (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ)))
141140ssrdv 3951 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) qTop (𝐹 β†Ύ 𝐴)) βŠ† ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ))
14235, 141eqssd 3962 1 (πœ‘ β†’ ((𝐽 qTop 𝐹) β†Ύt π‘ˆ) = ((𝐽 β†Ύt 𝐴) qTop (𝐹 β†Ύ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446   βˆ– cdif 3908   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆͺ cuni 4866  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   β†Ύt crest 17303   qTop cqtop 17386  Topctop 22245  TopOnctopon 22262  Clsdccld 22370   Cn ccn 22578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-map 8768  df-en 8885  df-fin 8888  df-fi 9348  df-rest 17305  df-topgen 17326  df-qtop 17390  df-top 22246  df-topon 22263  df-bases 22299  df-cld 22373  df-cn 22581
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator