Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsummpt2co Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummpt2co 30885
Description: Split a finite sum into a sum of a collection of sums over disjoint subsets. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummpt2co.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
gsummpt2co.z 0 = (0g𝑊)
gsummpt2co.w (𝜑𝑊 ∈ CMnd)
gsummpt2co.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsummpt2co.e (𝜑𝐸𝑉)
gsummpt2co.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
gsummpt2co.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐸)
gsummpt2co.3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐷)
Assertion
Ref Expression
gsummpt2co (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝑊 Σg (𝑦𝐸 ↦ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑦}) ↦ 𝐶)))))
Distinct variable groups:   𝑥, 0 ,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐶   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑦,𝑉   𝑥,𝑊,𝑦   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem gsummpt2co
Dummy variables 𝑧 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcsb1v 3814 . . . 4 𝑥(2nd𝑝) / 𝑥𝐶
2 gsummpt2co.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
3 gsummpt2co.z . . . 4 0 = (0g𝑊)
4 csbeq1a 3804 . . . 4 (𝑥 = (2nd𝑝) → 𝐶 = (2nd𝑝) / 𝑥𝐶)
5 gsummpt2co.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ CMnd)
6 gsummpt2co.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7 ssidd 3900 . . . 4 (𝜑𝐵𝐵)
8 gsummpt2co.1 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
9 elcnv 5719 . . . . . 6 (𝑝𝐹 ↔ ∃𝑧𝑥(𝑝 = ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∧ 𝑥𝐹𝑧))
10 vex 3402 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
11 vex 3402 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
1210, 11op2ndd 7725 . . . . . . . . 9 (𝑝 = ⟨𝑧, 𝑥⟩ → (2nd𝑝) = 𝑥)
1312adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑝 = ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∧ 𝑥𝐹𝑧) → (2nd𝑝) = 𝑥)
14 gsummpt2co.3 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑥𝐴𝐷)
1514dmmptss 6073 . . . . . . . . . 10 dom 𝐹𝐴
1611, 10breldm 5751 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐹𝑧𝑥 ∈ dom 𝐹)
1715, 16sseldi 3875 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐴)
1817adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑝 = ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∧ 𝑥𝐹𝑧) → 𝑥𝐴)
1913, 18eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((𝑝 = ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∧ 𝑥𝐹𝑧) → (2nd𝑝) ∈ 𝐴)
2019exlimivv 1939 . . . . . 6 (∃𝑧𝑥(𝑝 = ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∧ 𝑥𝐹𝑧) → (2nd𝑝) ∈ 𝐴)
219, 20sylbi 220 . . . . 5 (𝑝𝐹 → (2nd𝑝) ∈ 𝐴)
2221adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑝𝐹) → (2nd𝑝) ∈ 𝐴)
2314funmpt2 6378 . . . . . . 7 Fun 𝐹
24 funcnvcnv 6406 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → Fun 𝐹)
2523, 24ax-mp 5 . . . . . 6 Fun 𝐹
2625a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → Fun 𝐹)
27 dfdm4 5738 . . . . . . . 8 dom 𝐹 = ran 𝐹
2814dmeqi 5747 . . . . . . . . 9 dom 𝐹 = dom (𝑥𝐴𝐷)
29 gsummpt2co.2 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐸)
3029ralrimiva 3096 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐷𝐸)
31 dmmptg 6074 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐴 𝐷𝐸 → dom (𝑥𝐴𝐷) = 𝐴)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐷) = 𝐴)
3328, 32syl5eq 2785 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
3427, 33eqtr3id 2787 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐴)
3534eleq2d 2818 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran 𝐹𝑥𝐴))
3635biimpar 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ran 𝐹)
37 relcnv 5941 . . . . . 6 Rel 𝐹
38 fcnvgreu 30585 . . . . . 6 (((Rel 𝐹 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹) → ∃!𝑝 𝐹𝑥 = (2nd𝑝))
3937, 38mpanl1 700 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ ran 𝐹) → ∃!𝑝 𝐹𝑥 = (2nd𝑝))
4026, 36, 39syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃!𝑝 𝐹𝑥 = (2nd𝑝))
411, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 22, 40gsummptf1o 19202 . . 3 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝑊 Σg (𝑝𝐹(2nd𝑝) / 𝑥𝐶)))
4214rnmptss 6896 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐴 𝐷𝐸 → ran 𝐹𝐸)
4330, 42syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐹𝐸)
44 dfcnv2 30588 . . . . . . 7 (ran 𝐹𝐸𝐹 = 𝑧𝐸 ({𝑧} × (𝐹 “ {𝑧})))
4543, 44syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = 𝑧𝐸 ({𝑧} × (𝐹 “ {𝑧})))
4645mpteq1d 5119 . . . . 5 (𝜑 → (𝑝𝐹(2nd𝑝) / 𝑥𝐶) = (𝑝 𝑧𝐸 ({𝑧} × (𝐹 “ {𝑧})) ↦ (2nd𝑝) / 𝑥𝐶))
47 nfcv 2899 . . . . . 6 𝑧(2nd𝑝) / 𝑥𝐶
48 csbeq1 3793 . . . . . . . 8 ((2nd𝑝) = 𝑥(2nd𝑝) / 𝑥𝐶 = 𝑥 / 𝑥𝐶)
4912, 48syl 17 . . . . . . 7 (𝑝 = ⟨𝑧, 𝑥⟩ → (2nd𝑝) / 𝑥𝐶 = 𝑥 / 𝑥𝐶)
50 csbid 3803 . . . . . . 7 𝑥 / 𝑥𝐶 = 𝐶
5149, 50eqtrdi 2789 . . . . . 6 (𝑝 = ⟨𝑧, 𝑥⟩ → (2nd𝑝) / 𝑥𝐶 = 𝐶)
5247, 1, 51mpomptxf 30591 . . . . 5 (𝑝 𝑧𝐸 ({𝑧} × (𝐹 “ {𝑧})) ↦ (2nd𝑝) / 𝑥𝐶) = (𝑧𝐸, 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) ↦ 𝐶)
5346, 52eqtrdi 2789 . . . 4 (𝜑 → (𝑝𝐹(2nd𝑝) / 𝑥𝐶) = (𝑧𝐸, 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) ↦ 𝐶))
5453oveq2d 7186 . . 3 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑝𝐹(2nd𝑝) / 𝑥𝐶)) = (𝑊 Σg (𝑧𝐸, 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) ↦ 𝐶)))
55 gsummpt2co.e . . . 4 (𝜑𝐸𝑉)
56 mptfi 8896 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → (𝑥𝐴𝐷) ∈ Fin)
5714, 56eqeltrid 2837 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → 𝐹 ∈ Fin)
58 cnvfi 8777 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Fin → 𝐹 ∈ Fin)
596, 57, 583syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ Fin)
60 imaexg 7646 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Fin → (𝐹 “ {𝑧}) ∈ V)
6159, 60syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ {𝑧}) ∈ V)
6261adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐸) → (𝐹 “ {𝑧}) ∈ V)
63 simpll 767 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝐸) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧})) → 𝜑)
64 imassrn 5914 . . . . . . . . 9 (𝐹 “ {𝑧}) ⊆ ran 𝐹
6564, 27sseqtrri 3914 . . . . . . . 8 (𝐹 “ {𝑧}) ⊆ dom 𝐹
6665, 15sstri 3886 . . . . . . 7 (𝐹 “ {𝑧}) ⊆ 𝐴
6710, 11elimasn 5928 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) ↔ ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∈ 𝐹)
6867biimpi 219 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) → ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∈ 𝐹)
6968adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐸) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧})) → ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∈ 𝐹)
7069, 67sylibr 237 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐸) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧})) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}))
7166, 70sseldi 3875 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝐸) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧})) → 𝑥𝐴)
7263, 71, 8syl2anc 587 . . . . 5 (((𝜑𝑧𝐸) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧})) → 𝐶𝐵)
7372anasss 470 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐸𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}))) → 𝐶𝐵)
74 df-br 5031 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐹𝑥 ↔ ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∈ 𝐹)
7569, 74sylibr 237 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐸) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧})) → 𝑧𝐹𝑥)
7675anasss 470 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐸𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}))) → 𝑧𝐹𝑥)
7776pm2.24d 154 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐸𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}))) → (¬ 𝑧𝐹𝑥𝐶 = 0 ))
7877imp 410 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐸𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}))) ∧ ¬ 𝑧𝐹𝑥) → 𝐶 = 0 )
7978anasss 470 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝐸𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧})) ∧ ¬ 𝑧𝐹𝑥)) → 𝐶 = 0 )
802, 3, 5, 55, 62, 73, 59, 79gsum2d2 19213 . . 3 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑧𝐸, 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) ↦ 𝐶)) = (𝑊 Σg (𝑧𝐸 ↦ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) ↦ 𝐶)))))
8141, 54, 803eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝑊 Σg (𝑧𝐸 ↦ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) ↦ 𝐶)))))
82 nfcv 2899 . . . 4 𝑧(𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑦}) ↦ 𝐶))
83 nfcv 2899 . . . 4 𝑦(𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) ↦ 𝐶))
84 sneq 4526 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → {𝑦} = {𝑧})
8584imaeq2d 5903 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹 “ {𝑦}) = (𝐹 “ {𝑧}))
8685mpteq1d 5119 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑦}) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) ↦ 𝐶))
8786oveq2d 7186 . . . 4 (𝑦 = 𝑧 → (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑦}) ↦ 𝐶)) = (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) ↦ 𝐶)))
8882, 83, 87cbvmpt 5131 . . 3 (𝑦𝐸 ↦ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑦}) ↦ 𝐶))) = (𝑧𝐸 ↦ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) ↦ 𝐶)))
8988oveq2i 7181 . 2 (𝑊 Σg (𝑦𝐸 ↦ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑦}) ↦ 𝐶)))) = (𝑊 Σg (𝑧𝐸 ↦ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) ↦ 𝐶))))
9081, 89eqtr4di 2791 1 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝑊 Σg (𝑦𝐸 ↦ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑦}) ↦ 𝐶)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wex 1786  wcel 2114  wral 3053  ∃!wreu 3055  Vcvv 3398  csb 3790  wss 3843  {csn 4516  cop 4522   ciun 4881   class class class wbr 5030  cmpt 5110   × cxp 5523  ccnv 5524  dom cdm 5525  ran crn 5526  cima 5528  Rel wrel 5530  Fun wfun 6333  cfv 6339  (class class class)co 7170  cmpo 7172  2nd c2nd 7713  Fincfn 8555  Basecbs 16586  0gc0g 16816   Σg cgsu 16817  CMndccmn 19024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-hash 13783  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026
This theorem is referenced by:  gsummpt2d  30886
  Copyright terms: Public domain W3C validator