Theorem ismbf3d 25583

Description: Simplified form of ismbfd 25568. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismbf3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
ismbf3d.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)

Assertion

Ref	Expression
ismbf3d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem ismbf3d

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbf3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2		fimacnv 6678	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
4		imaiun 7185	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞)) = ∪ 𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-𝑦(,)+∞))
5		ioossre 13309	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ
6	5	rgenw 3052	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ
7		iunss 4995	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ)
8	6, 7	mpbir 231	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ
9		renegcl 11431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 ∈ ℝ)
10		arch 12385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℕ -𝑧 < 𝑦)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℕ -𝑧 < 𝑦)
12		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℝ)
13	12	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 < 𝑧 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ -𝑦 < 𝑧)))
14		nnre 12139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
15		ltnegcon1 11625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑦 < 𝑧))
16	14, 15	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑦 < 𝑧))
17	14	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
18	17	renegcld 11551	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -𝑦 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -𝑦 ∈ ℝ*)
20		elioopnf 13345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝑦 ∈ ℝ* → (𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ -𝑦 < 𝑧)))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ -𝑦 < 𝑧)))
22	13, 16, 21	3bitr4d 311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑧 < 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞)))
23	22	rexbidva 3155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℕ -𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞)))
24	11, 23	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞))
25		eliun 4945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞))
26	24, 25	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞))
27	26	ssriv 3934	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞)
28	8, 27	eqssi 3947	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) = ℝ
29	28	imaeq2i 6011	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ℝ)
30	4, 29	eqtr3i 2758	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ℝ)
31		ismbf3d.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
32	31	ralrimiva 3125	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
33	14	renegcld 11551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → -𝑦 ∈ ℝ)
34		oveq1 7359	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥(,)+∞) = (-𝑦(,)+∞))
35	34	imaeq2d 6013	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (◡𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)))
36	35	eleq1d 2818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol))
37	36	rspccva 3572	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ -𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
38	32, 33, 37	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (◡𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
39	38	ralrimiva 3125	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
40		iunmbl 25482	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol → ∪ 𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
41	39, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
42	30, 41	eqeltrrid 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
43	3, 42	eqeltrrd 2834	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
44		imaiun 7185	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 “ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ∪ 𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
45		eliun 4945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
46		3simpb 1149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))))
47		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
48		nnrp 12904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ+)
49	48	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
50	49	rpreccld 12946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
51	47, 50	ltsubrpd 12968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑧)
52		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
53		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
54		nnrecre 12174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
55		resubcl 11432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℝ) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
56	53, 54, 55	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
57	56	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
58		lelttr 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
59	52, 57, 47, 58	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
60	51, 59	mpan2d 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) → 𝑥 < 𝑧))
61	60	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) → 𝑥 < 𝑧))
62	61	imdistanda 571	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
63	46, 62	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
64		mnfxr 11176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
65		elioc2 13311	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)))))
66	64, 56, 65	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)))))
67		rexr 11165	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℝ*)
68	67	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ*)
69		elioomnf 13346	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
72	63, 66, 71	3imtr4d 294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧)))
73	72	rexlimdva 3134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧)))
74	73, 70	sylibd 239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
75		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → 𝑥 ∈ ℝ)
76	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ)
77	76	mnfltd 13025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → -∞ < 𝑥)
78	56	ad2ant2r 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
79	54	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
80		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
81	80	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → 𝑧 ∈ ℝ)
82		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))
83	79, 81, 76, 82	ltsub13d 11730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → 𝑥 < (𝑧 − (1 / 𝑦)))
84	76, 78, 83	ltled 11268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)))
85	66	ad2ant2r 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → (𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)))))
86	76, 77, 84, 85	mpbir3and 1343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
87	80, 75	resubcld 11552	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → (𝑧 − 𝑥) ∈ ℝ)
88		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → 𝑥 < 𝑧)
89	75, 80	posdifd 11711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → (𝑥 < 𝑧 ↔ 0 < (𝑧 − 𝑥)))
90	88, 89	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → 0 < (𝑧 − 𝑥))
91		nnrecl 12386	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑧 − 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))
92	87, 90, 91	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))
93	86, 92	reximddv 3149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
94	93	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
95	74, 94	impbid 212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
96	95, 70	bitr4d 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧)))
97	45, 96	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧)))
98	97	eqrdv 2731	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) = (-∞(,)𝑧))
99	98	imaeq2d 6013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑧)))
100	44, 99	eqtr3id 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∪ 𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑧)))
101	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
102		ffun 6659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → Fun 𝐹)
103		funcnvcnv 6553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun ◡◡𝐹)
104		imadif 6570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun ◡◡𝐹 → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) = ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))))
105	101, 102, 103, 104	4syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) = ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))))
106	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -∞ ∈ ℝ*)
107	56	rexrd 11169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ*)
108		pnfxr 11173	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → +∞ ∈ ℝ*)
110	56	mnfltd 13025	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -∞ < (𝑧 − (1 / 𝑦)))
111	56	ltpnfd 13022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) < +∞)
112		df-ioc 13252	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (,] = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 < 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝑣)})
113		df-ioo 13251	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑣)})
114		xrltnle 11186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))))
115		xrlelttr 13057	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < +∞) → 𝑥 < +∞))
116		xrlttr 13041	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((-∞ < (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑥) → -∞ < 𝑥))
117	112, 113, 114, 113, 115, 116	ixxun 13263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < +∞)) → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∪ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
118	106, 107, 109, 110, 111, 117	syl32anc 1380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∪ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
119		uncom 4107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∪ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∪ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
120		ioomax 13324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
121	118, 119, 120	3eqtr3g 2791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∪ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ℝ)
122		ioossre 13309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ⊆ ℝ
123		incom 4158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∩ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∩ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))
124	112, 113, 114	ixxdisj 13262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∩ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = ∅)
125	64, 108, 124	mp3an13 1454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∩ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = ∅)
126	107, 125	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∩ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = ∅)
127	123, 126	eqtrid 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∩ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ∅)
128		uneqdifeq 4442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ⊆ ℝ ∧ (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∩ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ∅) → ((((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∪ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ℝ ↔ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
129	122, 127, 128	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∪ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ℝ ↔ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
130	121, 129	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
131	130	imaeq2d 6013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) = (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
132	105, 131	eqtr3d 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) = (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
133	42	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
134		oveq1 7359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑧 − (1 / 𝑦)) → (𝑥(,)+∞) = ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))
135	134	imaeq2d 6013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑧 − (1 / 𝑦)) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)))
136	135	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑧 − (1 / 𝑦)) → ((◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) ∈ dom vol))
137	32	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℝ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
138	136, 137, 56	rspcdva 3574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) ∈ dom vol)
139		difmbl 25472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) ∈ dom vol)
140	133, 138, 139	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) ∈ dom vol)
141	132, 140	eqeltrrd 2834	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol)
142	141	ralrimiva 3125	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol)
143		iunmbl 25482	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol → ∪ 𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol)
144	142, 143	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∪ 𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol)
145	100, 144	eqeltrrd 2834	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) ∈ dom vol)
146	145	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) ∈ dom vol)
147		oveq2 7360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (-∞(,)𝑧) = (-∞(,)𝑥))
148	147	imaeq2d 6013	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) = (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)))
149	148	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol))
150	149	cbvralvw 3211	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) ∈ dom vol ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
151	146, 150	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
152	151	r19.21bi 3225	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
153	1, 43, 31, 152	ismbf2d 25569	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  ∃wrex 3057   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  ∪ ciun 4941   class class class wbr 5093  ^◡ccnv 5618  dom cdm 5619   “ cima 5622  Fun wfun 6480  ⟶wf 6482  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014  +∞cpnf 11150  -∞cmnf 11151  ℝ^*cxr 11152   < clt 11153   ≤ cle 11154   − cmin 11351  -cneg 11352   / cdiv 11781  ℕcn 12132  ℝ⁺crp 12892  (,)cioo 13247  (,]cioc 13248  volcvol 25392  MblFncmbf 25543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cc 10333  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-disj 5061  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-dju 9801  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xadd 13014  df-ioo 13251  df-ioc 13252  df-ico 13253  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15596  df-xmet 21286  df-met 21287  df-ovol 25393  df-vol 25394  df-mbf 25548

This theorem is referenced by:  mbfaddlem  25589  mbfsup  25593