Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbf3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbf3d 23821
 Description: Simplified form of ismbfd 23806. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbf3d.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
ismbf3d.2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
Assertion
Ref Expression
ismbf3d (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem ismbf3d
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbf3d.1 . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
2 fimacnv 6597 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
4 imaiun 6759 . . . . 5 (𝐹 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞)) = 𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞))
5 ioossre 12524 . . . . . . . . 9 (-𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ
65rgenw 3134 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ
7 iunss 4782 . . . . . . . 8 ( 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ)
86, 7mpbir 223 . . . . . . 7 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ
9 renegcl 10666 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 ∈ ℝ)
10 arch 11616 . . . . . . . . . . 11 (-𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℕ -𝑧 < 𝑦)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℕ -𝑧 < 𝑦)
12 simpl 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℝ)
1312biantrurd 530 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 < 𝑧 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ -𝑦 < 𝑧)))
14 nnre 11359 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
15 ltnegcon1 10854 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑦 < 𝑧))
1614, 15sylan2 588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑦 < 𝑧))
1714adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
1817renegcld 10782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -𝑦 ∈ ℝ)
1918rexrd 10407 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -𝑦 ∈ ℝ*)
20 elioopnf 12557 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝑦 ∈ ℝ* → (𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ -𝑦 < 𝑧)))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ -𝑦 < 𝑧)))
2213, 16, 213bitr4d 303 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑧 < 𝑦𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞)))
2322rexbidva 3260 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℕ -𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞)))
2411, 23mpbid 224 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞))
25 eliun 4745 . . . . . . . . 9 (𝑧 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞))
2624, 25sylibr 226 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞))
2726ssriv 3832 . . . . . . 7 ℝ ⊆ 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞)
288, 27eqssi 3844 . . . . . 6 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) = ℝ
2928imaeq2i 5706 . . . . 5 (𝐹 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞)) = (𝐹 “ ℝ)
304, 29eqtr3i 2852 . . . 4 𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) = (𝐹 “ ℝ)
31 ismbf3d.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
3231ralrimiva 3176 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
3314renegcld 10782 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → -𝑦 ∈ ℝ)
34 oveq1 6913 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥(,)+∞) = (-𝑦(,)+∞))
3534imaeq2d 5708 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -𝑦 → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)))
3635eleq1d 2892 . . . . . . . 8 (𝑥 = -𝑦 → ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol))
3736rspccva 3526 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ -𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
3832, 33, 37syl2an 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
3938ralrimiva 3176 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
40 iunmbl 23720 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol → 𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
4139, 40syl 17 . . . 4 (𝜑 𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
4230, 41syl5eqelr 2912 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
433, 42eqeltrrd 2908 . 2 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
44 imaiun 6759 . . . . . . 7 (𝐹 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = 𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
45 eliun 4745 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
46 3simpb 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))))
47 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
48 nnrp 12126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ+)
4948ad2antrl 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
5049rpreccld 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
5147, 50ltsubrpd 12189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑧)
52 simprr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
53 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
54 nnrecre 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℕ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
55 resubcl 10667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℝ) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
5653, 54, 55syl2an 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
5756adantrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
58 lelttr 10448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
5952, 57, 47, 58syl3anc 1496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
6051, 59mpan2d 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) → 𝑥 < 𝑧))
6160anassrs 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) → 𝑥 < 𝑧))
6261imdistanda 569 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
6346, 62syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
64 mnfxr 10415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -∞ ∈ ℝ*
65 elioc2 12525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)))))
6664, 56, 65sylancr 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)))))
67 rexr 10403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℝ*)
6867adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ*)
69 elioomnf 12558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
7170adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
7263, 66, 713imtr4d 286 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧)))
7372rexlimdva 3241 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧)))
7473, 70sylibd 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
75 simprl 789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7675adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ)
77 mnflt 12244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → -∞ < 𝑥)
7956ad2ant2r 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
8054ad2antrl 721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
81 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
8281adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → 𝑧 ∈ ℝ)
83 simprr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))
8480, 82, 76, 83ltsub13d 10959 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → 𝑥 < (𝑧 − (1 / 𝑦)))
8576, 79, 84ltled 10505 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)))
8666ad2ant2r 755 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → (𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)))))
8776, 78, 85, 86mpbir3and 1448 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
8881, 75resubcld 10783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → (𝑧𝑥) ∈ ℝ)
89 simprr 791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → 𝑥 < 𝑧)
9075, 81posdifd 10940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → (𝑥 < 𝑧 ↔ 0 < (𝑧𝑥)))
9189, 90mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → 0 < (𝑧𝑥))
92 nnrecl 11617 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑧𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))
9388, 91, 92syl2anc 581 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))
9487, 93reximddv 3227 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
9594ex 403 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
9674, 95impbid 204 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
9796, 70bitr4d 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧)))
9845, 97syl5bb 275 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧)))
9998eqrdv 2824 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) = (-∞(,)𝑧))
10099imaeq2d 5708 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = (𝐹 “ (-∞(,)𝑧)))
10144, 100syl5eqr 2876 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = (𝐹 “ (-∞(,)𝑧)))
1021ad2antrr 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
103 ffun 6282 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴⟶ℝ → Fun 𝐹)
104 funcnvcnv 6190 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝐹 → Fun 𝐹)
105 imadif 6207 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) = ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))))
106102, 103, 104, 1054syl 19 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹 “ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) = ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))))
10764a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -∞ ∈ ℝ*)
10856rexrd 10407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ*)
109 pnfxr 10411 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → +∞ ∈ ℝ*)
111 mnflt 12244 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ → -∞ < (𝑧 − (1 / 𝑦)))
11256, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -∞ < (𝑧 − (1 / 𝑦)))
113 ltpnf 12241 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ → (𝑧 − (1 / 𝑦)) < +∞)
11456, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) < +∞)
115 df-ioc 12469 . . . . . . . . . . . . . . 15 (,] = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 < 𝑤𝑤𝑣)})
116 df-ioo 12468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 < 𝑤𝑤 < 𝑣)})
117 xrltnle 10425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))))
118 xrlelttr 12276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < +∞) → 𝑥 < +∞))
119 xrlttr 12260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((-∞ < (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑥) → -∞ < 𝑥))
120115, 116, 117, 116, 118, 119ixxun 12480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < +∞)) → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∪ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
121107, 108, 110, 112, 114, 120syl32anc 1503 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∪ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
122 uncom 3985 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∪ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∪ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
123 ioomax 12537 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞(,)+∞) = ℝ
124121, 122, 1233eqtr3g 2885 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∪ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ℝ)
125 ioossre 12524 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ⊆ ℝ
126 incom 4033 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∩ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∩ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))
127115, 116, 117ixxdisj 12479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∩ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = ∅)
12864, 109, 127mp3an13 1582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∩ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = ∅)
129108, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∩ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = ∅)
130126, 129syl5eq 2874 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∩ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ∅)
131 uneqdifeq 4281 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ⊆ ℝ ∧ (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∩ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ∅) → ((((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∪ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ℝ ↔ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
132125, 130, 131sylancr 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∪ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ℝ ↔ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
133124, 132mpbid 224 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
134133imaeq2d 5708 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹 “ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) = (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
135106, 134eqtr3d 2864 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) = (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
13642ad2antrr 719 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
137 oveq1 6913 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑧 − (1 / 𝑦)) → (𝑥(,)+∞) = ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))
138137imaeq2d 5708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑧 − (1 / 𝑦)) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)))
139138eleq1d 2892 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 − (1 / 𝑦)) → ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) ∈ dom vol))
14032ad2antrr 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
141139, 140, 56rspcdva 3533 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) ∈ dom vol)
142 difmbl 23710 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) ∈ dom vol)
143136, 141, 142syl2anc 581 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) ∈ dom vol)
144135, 143eqeltrrd 2908 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol)
145144ralrimiva 3176 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol)
146 iunmbl 23720 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol → 𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol)
147145, 146syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol)
148101, 147eqeltrrd 2908 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) ∈ dom vol)
149148ralrimiva 3176 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) ∈ dom vol)
150 oveq2 6914 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (-∞(,)𝑧) = (-∞(,)𝑥))
151150imaeq2d 5708 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) = (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)))
152151eleq1d 2892 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol))
153152cbvralv 3384 . . . 4 (∀𝑧 ∈ ℝ (𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) ∈ dom vol ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
154149, 153sylib 210 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
155154r19.21bi 3142 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
1561, 43, 31, 155ismbf2d 23807 1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3118  ∃wrex 3119   ∖ cdif 3796   ∪ cun 3797   ∩ cin 3798   ⊆ wss 3799  ∅c0 4145  ∪ ciun 4741   class class class wbr 4874  ◡ccnv 5342  dom cdm 5343   “ cima 5346  Fun wfun 6118  ⟶wf 6120  (class class class)co 6906  ℝcr 10252  0cc0 10253  1c1 10254  +∞cpnf 10389  -∞cmnf 10390  ℝ*cxr 10391   < clt 10392   ≤ cle 10393   − cmin 10586  -cneg 10587   / cdiv 11010  ℕcn 11351  ℝ+crp 12113  (,)cioo 12464  (,]cioc 12465  volcvol 23630  MblFncmbf 23781 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cc 9573  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-disj 4843  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-pm 8126  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-sup 8618  df-inf 8619  df-oi 8685  df-card 9079  df-cda 9306  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-q 12073  df-rp 12114  df-xadd 12234  df-ioo 12468  df-ioc 12469  df-ico 12470  df-icc 12471  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-fl 12889  df-seq 13097  df-exp 13156  df-hash 13412  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-clim 14597  df-rlim 14598  df-sum 14795  df-xmet 20100  df-met 20101  df-ovol 23631  df-vol 23632  df-mbf 23786 This theorem is referenced by:  mbfaddlem  23827  mbfsup  23831
 Copyright terms: Public domain W3C validator