Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbf3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbf3d 24268
 Description: Simplified form of ismbfd 24253. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbf3d.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
ismbf3d.2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
Assertion
Ref Expression
ismbf3d (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem ismbf3d
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbf3d.1 . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
2 fimacnv 6817 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
4 imaiun 6983 . . . . 5 (𝐹 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞)) = 𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞))
5 ioossre 12789 . . . . . . . . 9 (-𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ
65rgenw 3118 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ
7 iunss 4933 . . . . . . . 8 ( 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ)
86, 7mpbir 234 . . . . . . 7 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ
9 renegcl 10941 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 ∈ ℝ)
10 arch 11885 . . . . . . . . . . 11 (-𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℕ -𝑧 < 𝑦)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℕ -𝑧 < 𝑦)
12 simpl 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℝ)
1312biantrurd 536 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 < 𝑧 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ -𝑦 < 𝑧)))
14 nnre 11635 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
15 ltnegcon1 11133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑦 < 𝑧))
1614, 15sylan2 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑦 < 𝑧))
1714adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
1817renegcld 11059 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -𝑦 ∈ ℝ)
1918rexrd 10683 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -𝑦 ∈ ℝ*)
20 elioopnf 12824 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝑦 ∈ ℝ* → (𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ -𝑦 < 𝑧)))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ -𝑦 < 𝑧)))
2213, 16, 213bitr4d 314 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑧 < 𝑦𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞)))
2322rexbidva 3255 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℕ -𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞)))
2411, 23mpbid 235 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞))
25 eliun 4886 . . . . . . . . 9 (𝑧 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞))
2624, 25sylibr 237 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞))
2726ssriv 3919 . . . . . . 7 ℝ ⊆ 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞)
288, 27eqssi 3931 . . . . . 6 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) = ℝ
2928imaeq2i 5895 . . . . 5 (𝐹 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞)) = (𝐹 “ ℝ)
304, 29eqtr3i 2823 . . . 4 𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) = (𝐹 “ ℝ)
31 ismbf3d.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
3231ralrimiva 3149 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
3314renegcld 11059 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → -𝑦 ∈ ℝ)
34 oveq1 7143 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥(,)+∞) = (-𝑦(,)+∞))
3534imaeq2d 5897 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -𝑦 → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)))
3635eleq1d 2874 . . . . . . . 8 (𝑥 = -𝑦 → ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol))
3736rspccva 3570 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ -𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
3832, 33, 37syl2an 598 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
3938ralrimiva 3149 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
40 iunmbl 24167 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol → 𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
4139, 40syl 17 . . . 4 (𝜑 𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
4230, 41eqeltrrid 2895 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
433, 42eqeltrrd 2891 . 2 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
44 imaiun 6983 . . . . . . 7 (𝐹 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = 𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
45 eliun 4886 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
46 3simpb 1146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))))
47 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
48 nnrp 12391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ+)
4948ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
5049rpreccld 12432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
5147, 50ltsubrpd 12454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑧)
52 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
53 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
54 nnrecre 11670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℕ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
55 resubcl 10942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℝ) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
5653, 54, 55syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
5756adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
58 lelttr 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
5952, 57, 47, 58syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
6051, 59mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) → 𝑥 < 𝑧))
6160anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) → 𝑥 < 𝑧))
6261imdistanda 575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
6346, 62syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
64 mnfxr 10690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -∞ ∈ ℝ*
65 elioc2 12791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)))))
6664, 56, 65sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)))))
67 rexr 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℝ*)
6867adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ*)
69 elioomnf 12825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
7170adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
7263, 66, 713imtr4d 297 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧)))
7372rexlimdva 3243 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧)))
7473, 70sylibd 242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
75 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7675adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7776mnfltd 12510 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → -∞ < 𝑥)
7856ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
7954ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
80 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
8180adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → 𝑧 ∈ ℝ)
82 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))
8379, 81, 76, 82ltsub13d 11238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → 𝑥 < (𝑧 − (1 / 𝑦)))
8476, 78, 83ltled 10780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)))
8566ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → (𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)))))
8676, 77, 84, 85mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
8780, 75resubcld 11060 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → (𝑧𝑥) ∈ ℝ)
88 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → 𝑥 < 𝑧)
8975, 80posdifd 11219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → (𝑥 < 𝑧 ↔ 0 < (𝑧𝑥)))
9088, 89mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → 0 < (𝑧𝑥))
91 nnrecl 11886 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑧𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))
9287, 90, 91syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))
9386, 92reximddv 3234 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
9493ex 416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
9574, 94impbid 215 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
9695, 70bitr4d 285 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧)))
9745, 96syl5bb 286 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧)))
9897eqrdv 2796 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) = (-∞(,)𝑧))
9998imaeq2d 5897 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = (𝐹 “ (-∞(,)𝑧)))
10044, 99syl5eqr 2847 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = (𝐹 “ (-∞(,)𝑧)))
1011ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
102 ffun 6491 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴⟶ℝ → Fun 𝐹)
103 funcnvcnv 6392 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝐹 → Fun 𝐹)
104 imadif 6409 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) = ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))))
105101, 102, 103, 1044syl 19 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹 “ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) = ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))))
10664a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -∞ ∈ ℝ*)
10756rexrd 10683 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ*)
108 pnfxr 10687 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → +∞ ∈ ℝ*)
11056mnfltd 12510 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -∞ < (𝑧 − (1 / 𝑦)))
11156ltpnfd 12507 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) < +∞)
112 df-ioc 12734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (,] = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 < 𝑤𝑤𝑣)})
113 df-ioo 12733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 < 𝑤𝑤 < 𝑣)})
114 xrltnle 10700 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))))
115 xrlelttr 12540 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < +∞) → 𝑥 < +∞))
116 xrlttr 12524 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((-∞ < (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑥) → -∞ < 𝑥))
117112, 113, 114, 113, 115, 116ixxun 12745 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < +∞)) → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∪ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
118106, 107, 109, 110, 111, 117syl32anc 1375 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∪ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
119 uncom 4080 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∪ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∪ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
120 ioomax 12803 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞(,)+∞) = ℝ
121118, 119, 1203eqtr3g 2856 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∪ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ℝ)
122 ioossre 12789 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ⊆ ℝ
123 incom 4128 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∩ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∩ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))
124112, 113, 114ixxdisj 12744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∩ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = ∅)
12564, 108, 124mp3an13 1449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∩ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = ∅)
126107, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∩ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = ∅)
127123, 126syl5eq 2845 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∩ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ∅)
128 uneqdifeq 4396 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ⊆ ℝ ∧ (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∩ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ∅) → ((((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∪ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ℝ ↔ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
129122, 127, 128sylancr 590 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∪ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ℝ ↔ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
130121, 129mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
131130imaeq2d 5897 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹 “ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) = (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
132105, 131eqtr3d 2835 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) = (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
13342ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
134 oveq1 7143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑧 − (1 / 𝑦)) → (𝑥(,)+∞) = ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))
135134imaeq2d 5897 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑧 − (1 / 𝑦)) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)))
136135eleq1d 2874 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 − (1 / 𝑦)) → ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) ∈ dom vol))
13732ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
138136, 137, 56rspcdva 3573 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) ∈ dom vol)
139 difmbl 24157 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) ∈ dom vol)
140133, 138, 139syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) ∈ dom vol)
141132, 140eqeltrrd 2891 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol)
142141ralrimiva 3149 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol)
143 iunmbl 24167 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol → 𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol)
144142, 143syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol)
145100, 144eqeltrrd 2891 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) ∈ dom vol)
146145ralrimiva 3149 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) ∈ dom vol)
147 oveq2 7144 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (-∞(,)𝑧) = (-∞(,)𝑥))
148147imaeq2d 5897 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) = (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)))
149148eleq1d 2874 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol))
150149cbvralvw 3396 . . . 4 (∀𝑧 ∈ ℝ (𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) ∈ dom vol ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
151146, 150sylib 221 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
152151r19.21bi 3173 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
1531, 43, 31, 152ismbf2d 24254 1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  ∪ ciun 4882   class class class wbr 5031  ◡ccnv 5519  dom cdm 5520   “ cima 5523  Fun wfun 6319  ⟶wf 6321  (class class class)co 7136  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530  +∞cpnf 10664  -∞cmnf 10665  ℝ*cxr 10666   < clt 10667   ≤ cle 10668   − cmin 10862  -cneg 10863   / cdiv 11289  ℕcn 11628  ℝ+crp 12380  (,)cioo 12729  (,]cioc 12730  volcvol 24077  MblFncmbf 24228 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cc 9849  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-disj 4997  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-sup 8893  df-inf 8894  df-oi 8961  df-dju 9317  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-q 12340  df-rp 12381  df-xadd 12499  df-ioo 12733  df-ioc 12734  df-ico 12735  df-icc 12736  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-fl 13160  df-seq 13368  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-xmet 20088  df-met 20089  df-ovol 24078  df-vol 24079  df-mbf 24233 This theorem is referenced by:  mbfaddlem  24274  mbfsup  24278
 Copyright terms: Public domain W3C validator