MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbf3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbf3d 25002
Description: Simplified form of ismbfd 24987. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbf3d.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
ismbf3d.2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
Assertion
Ref Expression
ismbf3d (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem ismbf3d
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbf3d.1 . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
2 fimacnv 6687 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
4 imaiun 7188 . . . . 5 (𝐹 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞)) = 𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞))
5 ioossre 13317 . . . . . . . . 9 (-𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ
65rgenw 3066 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ
7 iunss 5003 . . . . . . . 8 ( 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ)
86, 7mpbir 230 . . . . . . 7 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ
9 renegcl 11460 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 ∈ ℝ)
10 arch 12406 . . . . . . . . . . 11 (-𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℕ -𝑧 < 𝑦)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℕ -𝑧 < 𝑦)
12 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℝ)
1312biantrurd 533 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 < 𝑧 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ -𝑦 < 𝑧)))
14 nnre 12156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
15 ltnegcon1 11652 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑦 < 𝑧))
1614, 15sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑦 < 𝑧))
1714adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
1817renegcld 11578 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -𝑦 ∈ ℝ)
1918rexrd 11201 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -𝑦 ∈ ℝ*)
20 elioopnf 13352 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝑦 ∈ ℝ* → (𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ -𝑦 < 𝑧)))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ -𝑦 < 𝑧)))
2213, 16, 213bitr4d 310 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑧 < 𝑦𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞)))
2322rexbidva 3171 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℕ -𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞)))
2411, 23mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞))
25 eliun 4956 . . . . . . . . 9 (𝑧 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞))
2624, 25sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞))
2726ssriv 3946 . . . . . . 7 ℝ ⊆ 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞)
288, 27eqssi 3958 . . . . . 6 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) = ℝ
2928imaeq2i 6009 . . . . 5 (𝐹 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞)) = (𝐹 “ ℝ)
304, 29eqtr3i 2766 . . . 4 𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) = (𝐹 “ ℝ)
31 ismbf3d.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
3231ralrimiva 3141 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
3314renegcld 11578 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → -𝑦 ∈ ℝ)
34 oveq1 7360 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥(,)+∞) = (-𝑦(,)+∞))
3534imaeq2d 6011 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -𝑦 → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)))
3635eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑥 = -𝑦 → ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol))
3736rspccva 3578 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ -𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
3832, 33, 37syl2an 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
3938ralrimiva 3141 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
40 iunmbl 24901 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol → 𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
4139, 40syl 17 . . . 4 (𝜑 𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
4230, 41eqeltrrid 2843 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
433, 42eqeltrrd 2839 . 2 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
44 imaiun 7188 . . . . . . 7 (𝐹 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = 𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
45 eliun 4956 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
46 3simpb 1149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))))
47 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
48 nnrp 12918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ+)
4948ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
5049rpreccld 12959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
5147, 50ltsubrpd 12981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑧)
52 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
53 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
54 nnrecre 12191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℕ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
55 resubcl 11461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℝ) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
5653, 54, 55syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
5756adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
58 lelttr 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
5952, 57, 47, 58syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
6051, 59mpan2d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) → 𝑥 < 𝑧))
6160anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) → 𝑥 < 𝑧))
6261imdistanda 572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
6346, 62syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
64 mnfxr 11208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -∞ ∈ ℝ*
65 elioc2 13319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)))))
6664, 56, 65sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)))))
67 rexr 11197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℝ*)
6867adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ*)
69 elioomnf 13353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
7170adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
7263, 66, 713imtr4d 293 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧)))
7372rexlimdva 3150 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧)))
7473, 70sylibd 238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
75 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7675adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7776mnfltd 13037 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → -∞ < 𝑥)
7856ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
7954ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
80 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
8180adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → 𝑧 ∈ ℝ)
82 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))
8379, 81, 76, 82ltsub13d 11757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → 𝑥 < (𝑧 − (1 / 𝑦)))
8476, 78, 83ltled 11299 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)))
8566ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → (𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)))))
8676, 77, 84, 85mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))) → 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
8780, 75resubcld 11579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → (𝑧𝑥) ∈ ℝ)
88 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → 𝑥 < 𝑧)
8975, 80posdifd 11738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → (𝑥 < 𝑧 ↔ 0 < (𝑧𝑥)))
9088, 89mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → 0 < (𝑧𝑥))
91 nnrecl 12407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑧𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))
9287, 90, 91syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝑧𝑥))
9386, 92reximddv 3166 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
9493ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
9574, 94impbid 211 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
9695, 70bitr4d 281 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧)))
9745, 96bitrid 282 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧)))
9897eqrdv 2734 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) = (-∞(,)𝑧))
9998imaeq2d 6011 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = (𝐹 “ (-∞(,)𝑧)))
10044, 99eqtr3id 2790 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = (𝐹 “ (-∞(,)𝑧)))
1011ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
102 ffun 6668 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴⟶ℝ → Fun 𝐹)
103 funcnvcnv 6565 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝐹 → Fun 𝐹)
104 imadif 6582 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) = ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))))
105101, 102, 103, 1044syl 19 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹 “ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) = ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))))
10664a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -∞ ∈ ℝ*)
10756rexrd 11201 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ*)
108 pnfxr 11205 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → +∞ ∈ ℝ*)
11056mnfltd 13037 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -∞ < (𝑧 − (1 / 𝑦)))
11156ltpnfd 13034 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) < +∞)
112 df-ioc 13261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (,] = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 < 𝑤𝑤𝑣)})
113 df-ioo 13260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 < 𝑤𝑤 < 𝑣)})
114 xrltnle 11218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))))
115 xrlelttr 13067 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < +∞) → 𝑥 < +∞))
116 xrlttr 13051 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((-∞ < (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑥) → -∞ < 𝑥))
117112, 113, 114, 113, 115, 116ixxun 13272 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < +∞)) → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∪ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
118106, 107, 109, 110, 111, 117syl32anc 1378 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∪ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
119 uncom 4111 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∪ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∪ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
120 ioomax 13331 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞(,)+∞) = ℝ
121118, 119, 1203eqtr3g 2799 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∪ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ℝ)
122 ioossre 13317 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ⊆ ℝ
123 incom 4159 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∩ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∩ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))
124112, 113, 114ixxdisj 13271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∩ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = ∅)
12564, 108, 124mp3an13 1452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∩ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = ∅)
126107, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∩ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = ∅)
127123, 126eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∩ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ∅)
128 uneqdifeq 4448 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ⊆ ℝ ∧ (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∩ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ∅) → ((((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∪ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ℝ ↔ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
129122, 127, 128sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∪ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ℝ ↔ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
130121, 129mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
131130imaeq2d 6011 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹 “ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) = (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
132105, 131eqtr3d 2778 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) = (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
13342ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
134 oveq1 7360 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑧 − (1 / 𝑦)) → (𝑥(,)+∞) = ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))
135134imaeq2d 6011 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑧 − (1 / 𝑦)) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)))
136135eleq1d 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 − (1 / 𝑦)) → ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) ∈ dom vol))
13732ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
138136, 137, 56rspcdva 3580 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) ∈ dom vol)
139 difmbl 24891 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) ∈ dom vol)
140133, 138, 139syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) ∈ dom vol)
141132, 140eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol)
142141ralrimiva 3141 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol)
143 iunmbl 24901 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol → 𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol)
144142, 143syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℕ (𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol)
145100, 144eqeltrrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) ∈ dom vol)
146145ralrimiva 3141 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) ∈ dom vol)
147 oveq2 7361 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (-∞(,)𝑧) = (-∞(,)𝑥))
148147imaeq2d 6011 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) = (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)))
149148eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol))
150149cbvralvw 3223 . . . 4 (∀𝑧 ∈ ℝ (𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) ∈ dom vol ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
151146, 150sylib 217 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
152151r19.21bi 3232 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
1531, 43, 31, 152ismbf2d 24988 1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  wrex 3071  cdif 3905  cun 3906  cin 3907  wss 3908  c0 4280   ciun 4952   class class class wbr 5103  ccnv 5630  dom cdm 5631  cima 5634  Fun wfun 6487  wf 6489  (class class class)co 7353  cr 11046  0cc0 11047  1c1 11048  +∞cpnf 11182  -∞cmnf 11183  *cxr 11184   < clt 11185  cle 11186  cmin 11381  -cneg 11382   / cdiv 11808  cn 12149  +crp 12907  (,)cioo 13256  (,]cioc 13257  volcvol 24811  MblFncmbf 24962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573  ax-cc 10367  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-disj 5069  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-2o 8409  df-er 8644  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9442  df-dju 9833  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-q 12866  df-rp 12908  df-xadd 13026  df-ioo 13260  df-ioc 13261  df-ico 13262  df-icc 13263  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-fl 13689  df-seq 13899  df-exp 13960  df-hash 14223  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-clim 15362  df-rlim 15363  df-sum 15563  df-xmet 20774  df-met 20775  df-ovol 24812  df-vol 24813  df-mbf 24967
This theorem is referenced by:  mbfaddlem  25008  mbfsup  25012
  Copyright terms: Public domain W3C validator