Theorem ismbf3d 25621

Description: Simplified form of ismbfd 25606. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismbf3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
ismbf3d.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)

Assertion

Ref	Expression
ismbf3d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem ismbf3d

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbf3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2		fimacnv 6690	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
4		imaiun 7200	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞)) = ∪ 𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-𝑦(,)+∞))
5		ioossre 13360	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ
6	5	rgenw 3055	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ
7		iunss 4987	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ)
8	6, 7	mpbir 231	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ
9		renegcl 11457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 ∈ ℝ)
10		arch 12434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℕ -𝑧 < 𝑦)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℕ -𝑧 < 𝑦)
12		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℝ)
13	12	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 < 𝑧 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ -𝑦 < 𝑧)))
14		nnre 12181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
15		ltnegcon1 11651	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑦 < 𝑧))
16	14, 15	sylan2 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑦 < 𝑧))
17	14	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
18	17	renegcld 11577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -𝑦 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -𝑦 ∈ ℝ*)
20		elioopnf 13396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝑦 ∈ ℝ* → (𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ -𝑦 < 𝑧)))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ -𝑦 < 𝑧)))
22	13, 16, 21	3bitr4d 311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑧 < 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞)))
23	22	rexbidva 3159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℕ -𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞)))
24	11, 23	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞))
25		eliun 4937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑧 ∈ (-𝑦(,)+∞))
26	24, 25	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞))
27	26	ssriv 3925	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞)
28	8, 27	eqssi 3938	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞) = ℝ
29	28	imaeq2i 6023	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-𝑦(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ℝ)
30	4, 29	eqtr3i 2761	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ℝ)
31		ismbf3d.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
32	31	ralrimiva 3129	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
33	14	renegcld 11577	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → -𝑦 ∈ ℝ)
34		oveq1 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥(,)+∞) = (-𝑦(,)+∞))
35	34	imaeq2d 6025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (◡𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)))
36	35	eleq1d 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol))
37	36	rspccva 3563	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ -𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
38	32, 33, 37	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (◡𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
39	38	ralrimiva 3129	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
40		iunmbl 25520	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol → ∪ 𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
41	39, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
42	30, 41	eqeltrrid 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
43	3, 42	eqeltrrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
44		imaiun 7200	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 “ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ∪ 𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
45		eliun 4937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
46		3simpb 1150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))))
47		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
48		nnrp 12954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ+)
49	48	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
50	49	rpreccld 12996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
51	47, 50	ltsubrpd 13018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑧)
52		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
53		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
54		nnrecre 12219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
55		resubcl 11458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℝ) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
56	53, 54, 55	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
57	56	adantrr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
58		lelttr 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
59	52, 57, 47, 58	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
60	51, 59	mpan2d 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) → 𝑥 < 𝑧))
61	60	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) → 𝑥 < 𝑧))
62	61	imdistanda 571	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
63	46, 62	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
64		mnfxr 11202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
65		elioc2 13362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)))))
66	64, 56, 65	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)))))
67		rexr 11191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℝ*)
68	67	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ*)
69		elioomnf 13397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
72	63, 66, 71	3imtr4d 294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧)))
73	72	rexlimdva 3138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧)))
74	73, 70	sylibd 239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
75		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → 𝑥 ∈ ℝ)
76	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ)
77	76	mnfltd 13075	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → -∞ < 𝑥)
78	56	ad2ant2r 748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
79	54	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
80		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
81	80	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → 𝑧 ∈ ℝ)
82		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))
83	79, 81, 76, 82	ltsub13d 11756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → 𝑥 < (𝑧 − (1 / 𝑦)))
84	76, 78, 83	ltled 11294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)))
85	66	ad2ant2r 748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → (𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)))))
86	76, 77, 84, 85	mpbir3and 1344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
87	80, 75	resubcld 11578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → (𝑧 − 𝑥) ∈ ℝ)
88		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → 𝑥 < 𝑧)
89	75, 80	posdifd 11737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → (𝑥 < 𝑧 ↔ 0 < (𝑧 − 𝑥)))
90	88, 89	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → 0 < (𝑧 − 𝑥))
91		nnrecl 12435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑧 − 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))
92	87, 90, 91	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))
93	86, 92	reximddv 3153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
94	93	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
95	74, 94	impbid 212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
96	95, 70	bitr4d 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧)))
97	45, 96	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧)))
98	97	eqrdv 2734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) = (-∞(,)𝑧))
99	98	imaeq2d 6025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑧)))
100	44, 99	eqtr3id 2785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∪ 𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑧)))
101	1	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
102		ffun 6671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → Fun 𝐹)
103		funcnvcnv 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun ◡◡𝐹)
104		imadif 6582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun ◡◡𝐹 → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) = ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))))
105	101, 102, 103, 104	4syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) = ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))))
106	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -∞ ∈ ℝ*)
107	56	rexrd 11195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ*)
108		pnfxr 11199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → +∞ ∈ ℝ*)
110	56	mnfltd 13075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -∞ < (𝑧 − (1 / 𝑦)))
111	56	ltpnfd 13072	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) < +∞)
112		df-ioc 13303	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (,] = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 < 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝑣)})
113		df-ioo 13302	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑣)})
114		xrltnle 11212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))))
115		xrlelttr 13107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < +∞) → 𝑥 < +∞))
116		xrlttr 13091	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((-∞ < (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑥) → -∞ < 𝑥))
117	112, 113, 114, 113, 115, 116	ixxun 13314	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < +∞)) → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∪ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
118	106, 107, 109, 110, 111, 117	syl32anc 1381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∪ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
119		uncom 4098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∪ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∪ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
120		ioomax 13375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
121	118, 119, 120	3eqtr3g 2794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∪ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ℝ)
122		ioossre 13360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ⊆ ℝ
123		incom 4149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∩ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∩ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))
124	112, 113, 114	ixxdisj 13313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∩ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = ∅)
125	64, 108, 124	mp3an13 1455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∩ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = ∅)
126	107, 125	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∩ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = ∅)
127	123, 126	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∩ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ∅)
128		uneqdifeq 4432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ⊆ ℝ ∧ (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∩ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ∅) → ((((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∪ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ℝ ↔ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
129	122, 127, 128	sylancr 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∪ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ℝ ↔ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
130	121, 129	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
131	130	imaeq2d 6025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) = (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
132	105, 131	eqtr3d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) = (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
133	42	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
134		oveq1 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑧 − (1 / 𝑦)) → (𝑥(,)+∞) = ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))
135	134	imaeq2d 6025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑧 − (1 / 𝑦)) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)))
136	135	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑧 − (1 / 𝑦)) → ((◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) ∈ dom vol))
137	32	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℝ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
138	136, 137, 56	rspcdva 3565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) ∈ dom vol)
139		difmbl 25510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) ∈ dom vol)
140	133, 138, 139	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) ∈ dom vol)
141	132, 140	eqeltrrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol)
142	141	ralrimiva 3129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol)
143		iunmbl 25520	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol → ∪ 𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol)
144	142, 143	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∪ 𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol)
145	100, 144	eqeltrrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) ∈ dom vol)
146	145	ralrimiva 3129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) ∈ dom vol)
147		oveq2 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (-∞(,)𝑧) = (-∞(,)𝑥))
148	147	imaeq2d 6025	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) = (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)))
149	148	eleq1d 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol))
150	149	cbvralvw 3215	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) ∈ dom vol ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
151	146, 150	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
152	151	r19.21bi 3229	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
153	1, 43, 31, 152	ismbf2d 25607	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   ∖ cdif 3886   ∪ cun 3887   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ∪ ciun 4933   class class class wbr 5085  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631   “ cima 5634  Fun wfun 6492  ⟶wf 6494  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  +∞cpnf 11176  -∞cmnf 11177  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  -cneg 11378   / cdiv 11807  ℕcn 12174  ℝ⁺crp 12942  (,)cioo 13298  (,]cioc 13299  volcvol 25430  MblFncmbf 25581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-disj 5053  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xadd 13064  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-xmet 21345  df-met 21346  df-ovol 25431  df-vol 25432  df-mbf 25586

This theorem is referenced by:  mbfaddlem  25627  mbfsup  25631