Theorem ismbf3d 25980

Description: Simplified form of ismbfd 25965. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismbf3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
ismbf3d.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)

Assertion

Ref	Expression
ismbf3d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem ismbf3d

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbf3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2		fimacnv 6732	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
4		imaiun 7249	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ ∪ 𝑦 ∈ ℕ ( -𝑦(,)+∞)) = ∪ 𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ ( -𝑦(,)+∞))
5		ioossre 13541	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ
6	5	rgenw 3080	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℕ ( -𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ
7		iunss 5002	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ ℕ ( -𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ ( -𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ)
8	6, 7	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ ℕ ( -𝑦(,)+∞) ⊆ ℝ
9		renegcl 11624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 ∈ ℝ)
10		arch 12606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( -𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℕ -𝑧 < 𝑦)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℕ -𝑧 < 𝑦)
12		simpl 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℝ)
13	12	biantrurd 542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ( -𝑦 < 𝑧 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ -𝑦 < 𝑧)))
14		nnre 12345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
15		ltnegcon1 11820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ( -𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑦 < 𝑧))
16	14, 15	sylan2 605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ( -𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑦 < 𝑧))
17	14	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
18	17	renegcld 11746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -𝑦 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -𝑦 ∈ ℝ*)
20		elioopnf 13577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( -𝑦 ∈ ℝ* → (𝑧 ∈ ( -𝑦(,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ -𝑦 < 𝑧)))
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ( -𝑦(,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ -𝑦 < 𝑧)))
22	13, 16, 21	3bitr4d 314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ( -𝑧 < 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ ( -𝑦(,)+∞)))
23	22	rexbidva 3184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℕ -𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑧 ∈ ( -𝑦(,)+∞)))
24	11, 23	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑧 ∈ ( -𝑦(,)+∞))
25		eliun 4954	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℕ ( -𝑦(,)+∞) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑧 ∈ ( -𝑦(,)+∞))
26	24, 25	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℕ ( -𝑦(,)+∞))
27	26	ssriv 3912	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ∪ 𝑦 ∈ ℕ ( -𝑦(,)+∞)
28	8, 27	eqssi 3924	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ ℕ ( -𝑦(,)+∞) = ℝ
29	28	imaeq2i 6049	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ ∪ 𝑦 ∈ ℕ ( -𝑦(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ℝ)
30	4, 29	eqtr3i 2785	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ ( -𝑦(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ℝ)
31		ismbf3d.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
32	31	ralrimiva 3154	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
33	14	renegcld 11746	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → -𝑦 ∈ ℝ)
34		oveq1 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥(,)+∞) = ( -𝑦(,)+∞))
35	34	imaeq2d 6051	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ( -𝑦(,)+∞)))
36	35	eleq1d 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ ( -𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol))
37	36	rspccva 3575	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ -𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ( -𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
38	32, 33, 37	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (◡𝐹 “ ( -𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
39	38	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ ( -𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
40		iunmbl 25879	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ ( -𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol → ∪ 𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ ( -𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
41	39, 40	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ ( -𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
42	30, 41	eqeltrrid 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
43	3, 42	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
44		imaiun 7249	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 “ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ∪ 𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
45		eliun 4954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
46		3simpb 1167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))))
47		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
48		nnrp 13135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ+)
49	48	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
50	49	rpreccld 13177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
51	47, 50	ltsubrpd 13199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑧)
52		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
53		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
54		nnrecre 12383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
55		resubcl 11625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℝ) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
56	53, 54, 55	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
57	56	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
58		lelttr 11403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
59	52, 57, 47, 58	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
60	51, 59	mpan2d 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) → 𝑥 < 𝑧))
61	60	anassrs 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) → 𝑥 < 𝑧))
62	61	imdistanda 582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
63	46, 62	syl5 35	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
64		mnfxr 11369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
65		elioc2 13543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)))))
66	64, 56, 65	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)))))
67		rexr 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℝ*)
68	67	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ*)
69		elioomnf 13578	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
70	68, 69	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
71	70	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
72	63, 66, 71	3imtr4d 297	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧)))
73	72	rexlimdva 3163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧)))
74	73, 70	sylibd 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
75		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → 𝑥 ∈ ℝ)
76	75	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ)
77	76	mnfltd 13256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → -∞ < 𝑥)
78	56	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
79	54	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
80		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
81	80	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → 𝑧 ∈ ℝ)
82		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))
83	79, 81, 76, 82	ltsub13d 11925	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → 𝑥 < (𝑧 − (1 / 𝑦)))
84	76, 78, 83	ltled 11461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)))
85	66	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → (𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)))))
86	76, 77, 84, 85	mpbir3and 1361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))) → 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
87	80, 75	resubcld 11747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → (𝑧 − 𝑥) ∈ ℝ)
88		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → 𝑥 < 𝑧)
89	75, 80	posdifd 11906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → (𝑥 < 𝑧 ↔ 0 < (𝑧 − 𝑥)))
90	88, 89	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → 0 < (𝑧 − 𝑥))
91		nnrecl 12607	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑧 − 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))
92	87, 90, 91	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝑧 − 𝑥))
93	86, 92	reximddv 3178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
94	93	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
95	74, 94	impbid 215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑧)))
96	95, 70	bitr4d 285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧)))
97	45, 96	bitrid 286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ↔ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑧)))
98	97	eqrdv 2758	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) = (-∞(,)𝑧))
99	98	imaeq2d 6051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ∪ 𝑦 ∈ ℕ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑧)))
100	44, 99	eqtr3id 2809	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∪ 𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑧)))
101	1	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
102		ffun 6712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → Fun 𝐹)
103		funcnvcnv 6607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun ◡◡𝐹)
104		imadif 6624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun ◡◡𝐹 → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) = ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))))
105	101, 102, 103, 104	4syl 20	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) = ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))))
106	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -∞ ∈ ℝ*)
107	56	rexrd 11362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ*)
108		pnfxr 11366	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → +∞ ∈ ℝ*)
110	56	mnfltd 13256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -∞ < (𝑧 − (1 / 𝑦)))
111	56	ltpnfd 13253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 − (1 / 𝑦)) < +∞)
112		df-ioc 13484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (,] = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 < 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝑣)})
113		df-ioo 13483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑣)})
114		xrltnle 11379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦))))
115		xrlelttr 13288	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑥 ≤ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < +∞) → 𝑥 < +∞))
116		xrlttr 13272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((-∞ < (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < 𝑥) → -∞ < 𝑥))
117	112, 113, 114, 113, 115, 116	ixxun 13495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) < +∞)) → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∪ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
118	106, 107, 109, 110, 111, 117	syl32anc 1405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∪ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
119		uncom 4157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∪ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∪ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
120		ioomax 13556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
121	118, 119, 120	3eqtr3g 2818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∪ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ℝ)
122		ioossre 13541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ⊆ ℝ
123		incom 4106	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∩ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∩ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))
124	112, 113, 114	ixxdisj 13494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∩ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = ∅)
125	64, 108, 124	mp3an13 1481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 − (1 / 𝑦)) ∈ ℝ* → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∩ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = ∅)
126	107, 125	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))) ∩ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = ∅)
127	123, 126	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∩ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ∅)
128		uneqdifeq 4447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ⊆ ℝ ∧ (((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∩ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ∅) → ((((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∪ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ℝ ↔ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
129	122, 127, 128	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞) ∪ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) = ℝ ↔ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
130	121, 129	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) = (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦))))
131	130	imaeq2d 6051	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) = (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
132	105, 131	eqtr3d 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) = (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))))
133	42	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
134		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑧 − (1 / 𝑦)) → (𝑥(,)+∞) = ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))
135	134	imaeq2d 6051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑧 − (1 / 𝑦)) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)))
136	135	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑧 − (1 / 𝑦)) → ((◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) ∈ dom vol))
137	32	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℝ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
138	136, 137, 56	rspcdva 3577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) ∈ dom vol)
139		difmbl 25869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) ∈ dom vol)
140	133, 138, 139	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((𝑧 − (1 / 𝑦))(,)+∞))) ∈ dom vol)
141	132, 140	eqeltrrd 2861	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol)
142	141	ralrimiva 3154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol)
143		iunmbl 25879	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol → ∪ 𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol)
144	142, 143	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∪ 𝑦 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (-∞(,](𝑧 − (1 / 𝑦)))) ∈ dom vol)
145	100, 144	eqeltrrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) ∈ dom vol)
146	145	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) ∈ dom vol)
147		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (-∞(,)𝑧) = (-∞(,)𝑥))
148	147	imaeq2d 6051	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) = (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)))
149	148	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol))
150	149	cbvralvw 3240	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑧)) ∈ dom vol ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
151	146, 150	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
152	151	r19.21bi 3254	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
153	1, 43, 31, 152	ismbf2d 25966	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  ∪ ciun 4950   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650   “ cima 5653  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204  +∞cpnf 11343  -∞cmnf 11344  ℝ^*cxr 11345   < clt 11346   ≤ cle 11347   − cmin 11544   -cneg 11545   / cdiv 11976  ℕcn 12338  ℝ⁺crp 13123  (,)cioo 13479  (,]cioc 13480  volcvol 25789  MblFncmbf 25940

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cc 10516  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-dju 9985  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xadd 13245  df-ioo 13483  df-ioc 13484  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-xmet 21676  df-met 21677  df-ovol 25790  df-vol 25791  df-mbf 25945

This theorem is used by:  mbfaddlem  25986  mbfsup  25990