MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fd 25061
Description: A simplified set of assumptions to show that a given function is simple. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
i1fd.2 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
i1fd.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
i1fd.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
i1fd (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem i1fd
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1fd.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
21ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
3 ffun 6676 . . . . . . . 8 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ Fun 𝐹)
4 funcnvcnv 6573 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 β†’ Fun ◑◑𝐹)
5 imadif 6590 . . . . . . . 8 (Fun ◑◑𝐹 β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– (ℝ βˆ– π‘₯))) = ((◑𝐹 β€œ ℝ) βˆ– (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯))))
62, 3, 4, 54syl 19 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– (ℝ βˆ– π‘₯))) = ((◑𝐹 β€œ ℝ) βˆ– (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯))))
7 ioof 13371 . . . . . . . . . . . . 13 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
8 frn 6680 . . . . . . . . . . . . 13 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ ran (,) βŠ† 𝒫 ℝ)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ran (,) βŠ† 𝒫 ℝ
109sseli 3945 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ran (,) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 ℝ)
1110elpwid 4574 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ran (,) β†’ π‘₯ βŠ† ℝ)
1211ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† ℝ)
13 dfss4 4223 . . . . . . . . 9 (π‘₯ βŠ† ℝ ↔ (ℝ βˆ– (ℝ βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
1412, 13sylib 217 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (ℝ βˆ– (ℝ βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
1514imaeq2d 6018 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– (ℝ βˆ– π‘₯))) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
166, 15eqtr3d 2779 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ ((◑𝐹 β€œ ℝ) βˆ– (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯))) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
17 fimacnv 6695 . . . . . . . . 9 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) = ℝ)
182, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) = ℝ)
19 rembl 24920 . . . . . . . 8 ℝ ∈ dom vol
2018, 19eqeltrdi 2846 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) ∈ dom vol)
211adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
22 inpreima 7019 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝐹 β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) = ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)))
23 iunid 5025 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹){π‘₯} = (𝑦 ∩ ran 𝐹)
2423imaeq2i 6016 . . . . . . . . . . . . . . 15 (◑𝐹 β€œ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹){π‘₯}) = (◑𝐹 β€œ (𝑦 ∩ ran 𝐹))
25 imaiun 7197 . . . . . . . . . . . . . . 15 (◑𝐹 β€œ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹){π‘₯}) = βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯})
2624, 25eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 (◑𝐹 β€œ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) = βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯})
27 cnvimass 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† dom 𝐹
28 cnvimarndm 6039 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (◑𝐹 β€œ ran 𝐹) = dom 𝐹
2927, 28sseqtrri 3986 . . . . . . . . . . . . . . 15 (◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)
30 df-ss 3932 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (◑𝐹 β€œ ran 𝐹) ↔ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)) = (◑𝐹 β€œ 𝑦))
3129, 30mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)) = (◑𝐹 β€œ 𝑦)
3222, 26, 313eqtr3g 2800 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝐹 β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯}) = (◑𝐹 β€œ 𝑦))
3321, 3, 323syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯}) = (◑𝐹 β€œ 𝑦))
34 i1fd.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
3534adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
36 inss2 4194 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∩ ran 𝐹) βŠ† ran 𝐹
37 ssfi 9124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∩ ran 𝐹) βŠ† ran 𝐹) β†’ (𝑦 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin)
3835, 36, 37sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (𝑦 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin)
39 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ πœ‘)
40 elinel1 4160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹) β†’ 0 ∈ 𝑦)
4140con3i 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ Β¬ 0 ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹))
4241adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ Β¬ 0 ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹))
43 disjsn 4677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ… ↔ Β¬ 0 ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹))
4442, 43sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ ((𝑦 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ…)
45 reldisj 4416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∩ ran 𝐹) βŠ† ran 𝐹 β†’ (((𝑦 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ… ↔ (𝑦 ∩ ran 𝐹) βŠ† (ran 𝐹 βˆ– {0})))
4636, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ… ↔ (𝑦 ∩ ran 𝐹) βŠ† (ran 𝐹 βˆ– {0}))
4744, 46sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (𝑦 ∩ ran 𝐹) βŠ† (ran 𝐹 βˆ– {0}))
4847sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))
49 i1fd.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
5039, 48, 49syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
5150ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
52 finiunmbl 24924 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
5338, 51, 52syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
5433, 53eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
5554ex 414 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
5655alrimiv 1931 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦(Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
5756ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ βˆ€π‘¦(Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
58 elndif 4093 . . . . . . . . 9 (0 ∈ π‘₯ β†’ Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– π‘₯))
5958adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– π‘₯))
60 reex 11149 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
6160difexi 5290 . . . . . . . . 9 (ℝ βˆ– π‘₯) ∈ V
62 eleq2 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ (0 ∈ 𝑦 ↔ 0 ∈ (ℝ βˆ– π‘₯)))
6362notbid 318 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝑦 ↔ Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– π‘₯)))
64 imaeq2 6014 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) = (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)))
6564eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol ↔ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) ∈ dom vol))
6663, 65imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ ((Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol) ↔ (Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) ∈ dom vol)))
6761, 66spcv 3567 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦(Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ (Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) ∈ dom vol))
6857, 59, 67sylc 65 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) ∈ dom vol)
69 difmbl 24923 . . . . . . 7 (((◑𝐹 β€œ ℝ) ∈ dom vol ∧ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ ℝ) βˆ– (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯))) ∈ dom vol)
7020, 68, 69syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ ((◑𝐹 β€œ ℝ) βˆ– (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯))) ∈ dom vol)
7116, 70eqeltrrd 2839 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
72 eleq2 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (0 ∈ 𝑦 ↔ 0 ∈ π‘₯))
7372notbid 318 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝑦 ↔ Β¬ 0 ∈ π‘₯))
74 imaeq2 6014 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
7574eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol ↔ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
7673, 75imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol) ↔ (Β¬ 0 ∈ π‘₯ β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
7776spvv 2001 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦(Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ (Β¬ 0 ∈ π‘₯ β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
7856, 77syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Β¬ 0 ∈ π‘₯ β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
7978imp 408 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
8079adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ Β¬ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
8171, 80pm2.61dan 812 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
8281ralrimiva 3144 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
83 ismbf 25008 . . . 4 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
841, 83syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
8582, 84mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
86 mblvol 24910 . . . . . . . 8 ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)))
8754, 86syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)))
88 mblss 24911 . . . . . . . . 9 ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† ℝ)
8954, 88syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† ℝ)
90 mblvol 24910 . . . . . . . . . . 11 ((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
9150, 90syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
92 i1fd.4 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
9339, 48, 92syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
9491, 93eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
9538, 94fsumrecl 15626 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
9633fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)))
97 mblss 24911 . . . . . . . . . . . . 13 ((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† ℝ)
9850, 97syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† ℝ)
9998, 94jca 513 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ))
10099ralrimiva 3144 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ))
101 ovolfiniun 24881 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)) β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
10238, 100, 101syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
10396, 102eqbrtrrd 5134 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
104 ovollecl 24863 . . . . . . . 8 (((◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† ℝ ∧ Ξ£π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ)
10589, 95, 103, 104syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ)
10687, 105eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ)
107106ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ))
108107alrimiv 1931 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦(Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ))
109 neldifsn 4757 . . . 4 Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– {0})
11060difexi 5290 . . . . 5 (ℝ βˆ– {0}) ∈ V
111 eleq2 2827 . . . . . . 7 (𝑦 = (ℝ βˆ– {0}) β†’ (0 ∈ 𝑦 ↔ 0 ∈ (ℝ βˆ– {0})))
112111notbid 318 . . . . . 6 (𝑦 = (ℝ βˆ– {0}) β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝑦 ↔ Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– {0})))
113 imaeq2 6014 . . . . . . . 8 (𝑦 = (ℝ βˆ– {0}) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) = (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})))
114113fveq2d 6851 . . . . . . 7 (𝑦 = (ℝ βˆ– {0}) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) = (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))))
115114eleq1d 2823 . . . . . 6 (𝑦 = (ℝ βˆ– {0}) β†’ ((volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ ↔ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ))
116112, 115imbi12d 345 . . . . 5 (𝑦 = (ℝ βˆ– {0}) β†’ ((Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ) ↔ (Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– {0}) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)))
117110, 116spcv 3567 . . . 4 (βˆ€π‘¦(Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ) β†’ (Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– {0}) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ))
118108, 109, 117mpisyl 21 . . 3 (πœ‘ β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)
1191, 34, 1183jca 1129 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ))
120 isi1f 25054 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)))
12185, 119, 120sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  π’« cpw 4565  {csn 4591  βˆͺ ciun 4959   class class class wbr 5110   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   β€œ cima 5641  Fun wfun 6495  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  Fincfn 8890  β„cr 11057  0cc0 11058  β„*cxr 11195   ≀ cle 11197  (,)cioo 13271  Ξ£csu 15577  vol*covol 24842  volcvol 24843  MblFncmbf 24994  βˆ«1citg1 24995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000
This theorem is referenced by:  i1f0  25067  i1f1  25070  i1fadd  25075  i1fmul  25076  i1fmulc  25084  i1fres  25086  mbfi1fseqlem4  25099  itg2addnclem2  36159  ftc1anclem3  36182
  Copyright terms: Public domain W3C validator