MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem i1fd 25603
Description: A simplified set of assumptions to show that a given function is simple. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
i1fd.2 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
i1fd.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
i1fd.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
i1fd (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯
Proof of Theorem i1fd
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1fd.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
21ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
3 ffun 6719 . . . . . . . 8 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ Fun 𝐹)
4 funcnvcnv 6614 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 β†’ Fun ◑◑𝐹)
5 imadif 6631 . . . . . . . 8 (Fun ◑◑𝐹 β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– (ℝ βˆ– π‘₯))) = ((◑𝐹 β€œ ℝ) βˆ– (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯))))
62, 3, 4, 54syl 19 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– (ℝ βˆ– π‘₯))) = ((◑𝐹 β€œ ℝ) βˆ– (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯))))
7 ioof 13450 . . . . . . . . . . . . 13 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
8 frn 6723 . . . . . . . . . . . . 13 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ ran (,) βŠ† 𝒫 ℝ)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ran (,) βŠ† 𝒫 ℝ
109sseli 3974 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ran (,) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 ℝ)
1110elpwid 4607 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ran (,) β†’ π‘₯ βŠ† ℝ)
1211ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† ℝ)
13 dfss4 4254 . . . . . . . . 9 (π‘₯ βŠ† ℝ ↔ (ℝ βˆ– (ℝ βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
1412, 13sylib 217 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (ℝ βˆ– (ℝ βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
1514imaeq2d 6057 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– (ℝ βˆ– π‘₯))) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
166, 15eqtr3d 2770 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ ((◑𝐹 β€œ ℝ) βˆ– (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯))) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
17 fimacnv 6739 . . . . . . . . 9 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) = ℝ)
182, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) = ℝ)
19 rembl 25462 . . . . . . . 8 ℝ ∈ dom vol
2018, 19eqeltrdi 2837 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) ∈ dom vol)
211adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
22 inpreima 7067 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝐹 β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) = ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)))
23 iunid 5057 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹){π‘₯} = (𝑦 ∩ ran 𝐹)
2423imaeq2i 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15 (◑𝐹 β€œ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹){π‘₯}) = (◑𝐹 β€œ (𝑦 ∩ ran 𝐹))
25 imaiun 7249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (◑𝐹 β€œ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹){π‘₯}) = βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯})
2624, 25eqtr3i 2758 . . . . . . . . . . . . . 14 (◑𝐹 β€œ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) = βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯})
27 cnvimass 6079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† dom 𝐹
28 cnvimarndm 6080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (◑𝐹 β€œ ran 𝐹) = dom 𝐹
2927, 28sseqtrri 4015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)
30 df-ss 3962 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (◑𝐹 β€œ ran 𝐹) ↔ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)) = (◑𝐹 β€œ 𝑦))
3129, 30mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)) = (◑𝐹 β€œ 𝑦)
3222, 26, 313eqtr3g 2791 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝐹 β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯}) = (◑𝐹 β€œ 𝑦))
3321, 3, 323syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯}) = (◑𝐹 β€œ 𝑦))
34 i1fd.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
36 inss2 4225 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∩ ran 𝐹) βŠ† ran 𝐹
37 ssfi 9191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∩ ran 𝐹) βŠ† ran 𝐹) β†’ (𝑦 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin)
3835, 36, 37sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (𝑦 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin)
39 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ πœ‘)
40 elinel1 4191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹) β†’ 0 ∈ 𝑦)
4140con3i 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ Β¬ 0 ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹))
4241adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ Β¬ 0 ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹))
43 disjsn 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ… ↔ Β¬ 0 ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹))
4442, 43sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ ((𝑦 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ…)
45 reldisj 4447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∩ ran 𝐹) βŠ† ran 𝐹 β†’ (((𝑦 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ… ↔ (𝑦 ∩ ran 𝐹) βŠ† (ran 𝐹 βˆ– {0})))
4636, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ… ↔ (𝑦 ∩ ran 𝐹) βŠ† (ran 𝐹 βˆ– {0}))
4744, 46sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (𝑦 ∩ ran 𝐹) βŠ† (ran 𝐹 βˆ– {0}))
4847sselda 3978 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))
49 i1fd.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
5039, 48, 49syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
5150ralrimiva 3142 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
52 finiunmbl 25466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
5338, 51, 52syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
5433, 53eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
5554ex 412 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
5655alrimiv 1923 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦(Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
5756ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ βˆ€π‘¦(Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
58 elndif 4124 . . . . . . . . 9 (0 ∈ π‘₯ β†’ Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– π‘₯))
5958adantl 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– π‘₯))
60 reex 11223 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
6160difexi 5324 . . . . . . . . 9 (ℝ βˆ– π‘₯) ∈ V
62 eleq2 2818 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ (0 ∈ 𝑦 ↔ 0 ∈ (ℝ βˆ– π‘₯)))
6362notbid 318 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝑦 ↔ Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– π‘₯)))
64 imaeq2 6053 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) = (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)))
6564eleq1d 2814 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol ↔ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) ∈ dom vol))
6663, 65imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ ((Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol) ↔ (Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) ∈ dom vol)))
6761, 66spcv 3591 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦(Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ (Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) ∈ dom vol))
6857, 59, 67sylc 65 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) ∈ dom vol)
69 difmbl 25465 . . . . . . 7 (((◑𝐹 β€œ ℝ) ∈ dom vol ∧ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ ℝ) βˆ– (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯))) ∈ dom vol)
7020, 68, 69syl2anc 583 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ ((◑𝐹 β€œ ℝ) βˆ– (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯))) ∈ dom vol)
7116, 70eqeltrrd 2830 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
72 eleq2 2818 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (0 ∈ 𝑦 ↔ 0 ∈ π‘₯))
7372notbid 318 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝑦 ↔ Β¬ 0 ∈ π‘₯))
74 imaeq2 6053 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
7574eleq1d 2814 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol ↔ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
7673, 75imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol) ↔ (Β¬ 0 ∈ π‘₯ β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
7776spvv 1993 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦(Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ (Β¬ 0 ∈ π‘₯ β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
7856, 77syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Β¬ 0 ∈ π‘₯ β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
7978imp 406 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
8079adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ Β¬ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
8171, 80pm2.61dan 812 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
8281ralrimiva 3142 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
83 ismbf 25550 . . . 4 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
841, 83syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
8582, 84mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
86 mblvol 25452 . . . . . . . 8 ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)))
8754, 86syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)))
88 mblss 25453 . . . . . . . . 9 ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† ℝ)
8954, 88syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† ℝ)
90 mblvol 25452 . . . . . . . . . . 11 ((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
9150, 90syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
92 i1fd.4 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
9339, 48, 92syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
9491, 93eqeltrrd 2830 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
9538, 94fsumrecl 15706 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
9633fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)))
97 mblss 25453 . . . . . . . . . . . . 13 ((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† ℝ)
9850, 97syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† ℝ)
9998, 94jca 511 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ))
10099ralrimiva 3142 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ))
101 ovolfiniun 25423 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)) β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
10238, 100, 101syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
10396, 102eqbrtrrd 5166 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
104 ovollecl 25405 . . . . . . . 8 (((◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† ℝ ∧ Ξ£π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ)
10589, 95, 103, 104syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ)
10687, 105eqeltrd 2829 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ)
107106ex 412 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ))
108107alrimiv 1923 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦(Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ))
109 neldifsn 4791 . . . 4 Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– {0})
11060difexi 5324 . . . . 5 (ℝ βˆ– {0}) ∈ V
111 eleq2 2818 . . . . . . 7 (𝑦 = (ℝ βˆ– {0}) β†’ (0 ∈ 𝑦 ↔ 0 ∈ (ℝ βˆ– {0})))
112111notbid 318 . . . . . 6 (𝑦 = (ℝ βˆ– {0}) β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝑦 ↔ Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– {0})))
113 imaeq2 6053 . . . . . . . 8 (𝑦 = (ℝ βˆ– {0}) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) = (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})))
114113fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝑦 = (ℝ βˆ– {0}) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) = (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))))
115114eleq1d 2814 . . . . . 6 (𝑦 = (ℝ βˆ– {0}) β†’ ((volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ ↔ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ))
116112, 115imbi12d 344 . . . . 5 (𝑦 = (ℝ βˆ– {0}) β†’ ((Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ) ↔ (Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– {0}) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)))
117110, 116spcv 3591 . . . 4 (βˆ€π‘¦(Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ) β†’ (Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– {0}) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ))
118108, 109, 117mpisyl 21 . . 3 (πœ‘ β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)
1191, 34, 1183jca 1126 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ))
120 isi1f 25596 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)))
12185, 119, 120sylanbrc 582 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085  βˆ€wal 1532   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3057   βˆ– cdif 3942   ∩ cin 3944   βŠ† wss 3945  βˆ…c0 4318  π’« cpw 4598  {csn 4624  βˆͺ ciun 4991   class class class wbr 5142   Γ— cxp 5670  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672  ran crn 5673   β€œ cima 5675  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  Fincfn 8957  β„cr 11131  0cc0 11132  β„*cxr 11271   ≀ cle 11273  (,)cioo 13350  Ξ£csu 15658  vol*covol 25384  volcvol 25385  MblFncmbf 25536  βˆ«1citg1 25537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-dju 9918  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xadd 13119  df-ioo 13354  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-sum 15659  df-xmet 21265  df-met 21266  df-ovol 25386  df-vol 25387  df-mbf 25541  df-itg1 25542
This theorem is referenced by:  i1f0  25609  i1f1  25612  i1fadd  25617  i1fmul  25618  i1fmulc  25626  i1fres  25628  mbfi1fseqlem4  25641  itg2addnclem2  37139  ftc1anclem3  37162
  Copyright terms: Public domain W3C validator