MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem i1fd 25554
Description: A simplified set of assumptions to show that a given function is simple. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
i1fd.2 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
i1fd.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
i1fd.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
i1fd (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯
Proof of Theorem i1fd
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1fd.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
21ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
3 ffun 6711 . . . . . . . 8 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ Fun 𝐹)
4 funcnvcnv 6606 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 β†’ Fun ◑◑𝐹)
5 imadif 6623 . . . . . . . 8 (Fun ◑◑𝐹 β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– (ℝ βˆ– π‘₯))) = ((◑𝐹 β€œ ℝ) βˆ– (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯))))
62, 3, 4, 54syl 19 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– (ℝ βˆ– π‘₯))) = ((◑𝐹 β€œ ℝ) βˆ– (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯))))
7 ioof 13425 . . . . . . . . . . . . 13 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
8 frn 6715 . . . . . . . . . . . . 13 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ ran (,) βŠ† 𝒫 ℝ)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ran (,) βŠ† 𝒫 ℝ
109sseli 3971 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ran (,) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 ℝ)
1110elpwid 4604 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ran (,) β†’ π‘₯ βŠ† ℝ)
1211ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† ℝ)
13 dfss4 4251 . . . . . . . . 9 (π‘₯ βŠ† ℝ ↔ (ℝ βˆ– (ℝ βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
1412, 13sylib 217 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (ℝ βˆ– (ℝ βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
1514imaeq2d 6050 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– (ℝ βˆ– π‘₯))) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
166, 15eqtr3d 2766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ ((◑𝐹 β€œ ℝ) βˆ– (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯))) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
17 fimacnv 6730 . . . . . . . . 9 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) = ℝ)
182, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) = ℝ)
19 rembl 25413 . . . . . . . 8 ℝ ∈ dom vol
2018, 19eqeltrdi 2833 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) ∈ dom vol)
211adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
22 inpreima 7056 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝐹 β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) = ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)))
23 iunid 5054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹){π‘₯} = (𝑦 ∩ ran 𝐹)
2423imaeq2i 6048 . . . . . . . . . . . . . . 15 (◑𝐹 β€œ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹){π‘₯}) = (◑𝐹 β€œ (𝑦 ∩ ran 𝐹))
25 imaiun 7237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (◑𝐹 β€œ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹){π‘₯}) = βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯})
2624, 25eqtr3i 2754 . . . . . . . . . . . . . 14 (◑𝐹 β€œ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) = βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯})
27 cnvimass 6071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† dom 𝐹
28 cnvimarndm 6072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (◑𝐹 β€œ ran 𝐹) = dom 𝐹
2927, 28sseqtrri 4012 . . . . . . . . . . . . . . 15 (◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)
30 df-ss 3958 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (◑𝐹 β€œ ran 𝐹) ↔ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)) = (◑𝐹 β€œ 𝑦))
3129, 30mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)) = (◑𝐹 β€œ 𝑦)
3222, 26, 313eqtr3g 2787 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝐹 β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯}) = (◑𝐹 β€œ 𝑦))
3321, 3, 323syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯}) = (◑𝐹 β€œ 𝑦))
34 i1fd.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
36 inss2 4222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∩ ran 𝐹) βŠ† ran 𝐹
37 ssfi 9170 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∩ ran 𝐹) βŠ† ran 𝐹) β†’ (𝑦 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin)
3835, 36, 37sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (𝑦 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin)
39 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ πœ‘)
40 elinel1 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹) β†’ 0 ∈ 𝑦)
4140con3i 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ Β¬ 0 ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹))
4241adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ Β¬ 0 ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹))
43 disjsn 4708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ… ↔ Β¬ 0 ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹))
4442, 43sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ ((𝑦 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ…)
45 reldisj 4444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∩ ran 𝐹) βŠ† ran 𝐹 β†’ (((𝑦 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ… ↔ (𝑦 ∩ ran 𝐹) βŠ† (ran 𝐹 βˆ– {0})))
4636, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ… ↔ (𝑦 ∩ ran 𝐹) βŠ† (ran 𝐹 βˆ– {0}))
4744, 46sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (𝑦 ∩ ran 𝐹) βŠ† (ran 𝐹 βˆ– {0}))
4847sselda 3975 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))
49 i1fd.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
5039, 48, 49syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
5150ralrimiva 3138 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
52 finiunmbl 25417 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
5338, 51, 52syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
5433, 53eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
5554ex 412 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
5655alrimiv 1922 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦(Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
5756ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ βˆ€π‘¦(Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
58 elndif 4121 . . . . . . . . 9 (0 ∈ π‘₯ β†’ Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– π‘₯))
5958adantl 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– π‘₯))
60 reex 11198 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
6160difexi 5319 . . . . . . . . 9 (ℝ βˆ– π‘₯) ∈ V
62 eleq2 2814 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ (0 ∈ 𝑦 ↔ 0 ∈ (ℝ βˆ– π‘₯)))
6362notbid 318 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝑦 ↔ Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– π‘₯)))
64 imaeq2 6046 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) = (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)))
6564eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol ↔ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) ∈ dom vol))
6663, 65imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ ((Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol) ↔ (Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) ∈ dom vol)))
6761, 66spcv 3587 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦(Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ (Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) ∈ dom vol))
6857, 59, 67sylc 65 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) ∈ dom vol)
69 difmbl 25416 . . . . . . 7 (((◑𝐹 β€œ ℝ) ∈ dom vol ∧ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ ℝ) βˆ– (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯))) ∈ dom vol)
7020, 68, 69syl2anc 583 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ ((◑𝐹 β€œ ℝ) βˆ– (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯))) ∈ dom vol)
7116, 70eqeltrrd 2826 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
72 eleq2 2814 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (0 ∈ 𝑦 ↔ 0 ∈ π‘₯))
7372notbid 318 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝑦 ↔ Β¬ 0 ∈ π‘₯))
74 imaeq2 6046 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
7574eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol ↔ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
7673, 75imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol) ↔ (Β¬ 0 ∈ π‘₯ β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
7776spvv 1992 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦(Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ (Β¬ 0 ∈ π‘₯ β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
7856, 77syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Β¬ 0 ∈ π‘₯ β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
7978imp 406 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
8079adantlr 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ Β¬ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
8171, 80pm2.61dan 810 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
8281ralrimiva 3138 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
83 ismbf 25501 . . . 4 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
841, 83syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
8582, 84mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
86 mblvol 25403 . . . . . . . 8 ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)))
8754, 86syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)))
88 mblss 25404 . . . . . . . . 9 ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† ℝ)
8954, 88syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† ℝ)
90 mblvol 25403 . . . . . . . . . . 11 ((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
9150, 90syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
92 i1fd.4 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
9339, 48, 92syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
9491, 93eqeltrrd 2826 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
9538, 94fsumrecl 15682 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
9633fveq2d 6886 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)))
97 mblss 25404 . . . . . . . . . . . . 13 ((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† ℝ)
9850, 97syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† ℝ)
9998, 94jca 511 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ))
10099ralrimiva 3138 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ))
101 ovolfiniun 25374 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)) β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
10238, 100, 101syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
10396, 102eqbrtrrd 5163 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
104 ovollecl 25356 . . . . . . . 8 (((◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† ℝ ∧ Ξ£π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ)
10589, 95, 103, 104syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ)
10687, 105eqeltrd 2825 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ)
107106ex 412 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ))
108107alrimiv 1922 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦(Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ))
109 neldifsn 4788 . . . 4 Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– {0})
11060difexi 5319 . . . . 5 (ℝ βˆ– {0}) ∈ V
111 eleq2 2814 . . . . . . 7 (𝑦 = (ℝ βˆ– {0}) β†’ (0 ∈ 𝑦 ↔ 0 ∈ (ℝ βˆ– {0})))
112111notbid 318 . . . . . 6 (𝑦 = (ℝ βˆ– {0}) β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝑦 ↔ Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– {0})))
113 imaeq2 6046 . . . . . . . 8 (𝑦 = (ℝ βˆ– {0}) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) = (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})))
114113fveq2d 6886 . . . . . . 7 (𝑦 = (ℝ βˆ– {0}) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) = (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))))
115114eleq1d 2810 . . . . . 6 (𝑦 = (ℝ βˆ– {0}) β†’ ((volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ ↔ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ))
116112, 115imbi12d 344 . . . . 5 (𝑦 = (ℝ βˆ– {0}) β†’ ((Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ) ↔ (Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– {0}) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)))
117110, 116spcv 3587 . . . 4 (βˆ€π‘¦(Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ) β†’ (Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– {0}) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ))
118108, 109, 117mpisyl 21 . . 3 (πœ‘ β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)
1191, 34, 1183jca 1125 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ))
120 isi1f 25547 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)))
12185, 119, 120sylanbrc 582 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084  βˆ€wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053   βˆ– cdif 3938   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4315  π’« cpw 4595  {csn 4621  βˆͺ ciun 4988   class class class wbr 5139   Γ— cxp 5665  β—‘ccnv 5666  dom cdm 5667  ran crn 5668   β€œ cima 5670  Fun wfun 6528  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  Fincfn 8936  β„cr 11106  0cc0 11107  β„*cxr 11246   ≀ cle 11248  (,)cioo 13325  Ξ£csu 15634  vol*covol 25335  volcvol 25336  MblFncmbf 25487  βˆ«1citg1 25488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xadd 13094  df-ioo 13329  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-xmet 21227  df-met 21228  df-ovol 25337  df-vol 25338  df-mbf 25492  df-itg1 25493
This theorem is referenced by:  i1f0  25560  i1f1  25563  i1fadd  25568  i1fmul  25569  i1fmulc  25577  i1fres  25579  mbfi1fseqlem4  25592  itg2addnclem2  37043  ftc1anclem3  37066
  Copyright terms: Public domain W3C validator