MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem i1fd 25189
Description: A simplified set of assumptions to show that a given function is simple. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
i1fd.2 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
i1fd.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
i1fd.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
i1fd (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯
Proof of Theorem i1fd
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1fd.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
21ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
3 ffun 6717 . . . . . . . 8 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ Fun 𝐹)
4 funcnvcnv 6612 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 β†’ Fun ◑◑𝐹)
5 imadif 6629 . . . . . . . 8 (Fun ◑◑𝐹 β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– (ℝ βˆ– π‘₯))) = ((◑𝐹 β€œ ℝ) βˆ– (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯))))
62, 3, 4, 54syl 19 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– (ℝ βˆ– π‘₯))) = ((◑𝐹 β€œ ℝ) βˆ– (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯))))
7 ioof 13420 . . . . . . . . . . . . 13 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
8 frn 6721 . . . . . . . . . . . . 13 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ ran (,) βŠ† 𝒫 ℝ)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ran (,) βŠ† 𝒫 ℝ
109sseli 3977 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ran (,) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 ℝ)
1110elpwid 4610 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ran (,) β†’ π‘₯ βŠ† ℝ)
1211ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† ℝ)
13 dfss4 4257 . . . . . . . . 9 (π‘₯ βŠ† ℝ ↔ (ℝ βˆ– (ℝ βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
1412, 13sylib 217 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (ℝ βˆ– (ℝ βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
1514imaeq2d 6057 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– (ℝ βˆ– π‘₯))) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
166, 15eqtr3d 2774 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ ((◑𝐹 β€œ ℝ) βˆ– (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯))) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
17 fimacnv 6736 . . . . . . . . 9 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) = ℝ)
182, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) = ℝ)
19 rembl 25048 . . . . . . . 8 ℝ ∈ dom vol
2018, 19eqeltrdi 2841 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) ∈ dom vol)
211adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
22 inpreima 7062 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝐹 β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) = ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)))
23 iunid 5062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹){π‘₯} = (𝑦 ∩ ran 𝐹)
2423imaeq2i 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15 (◑𝐹 β€œ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹){π‘₯}) = (◑𝐹 β€œ (𝑦 ∩ ran 𝐹))
25 imaiun 7240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (◑𝐹 β€œ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹){π‘₯}) = βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯})
2624, 25eqtr3i 2762 . . . . . . . . . . . . . 14 (◑𝐹 β€œ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) = βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯})
27 cnvimass 6077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† dom 𝐹
28 cnvimarndm 6078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (◑𝐹 β€œ ran 𝐹) = dom 𝐹
2927, 28sseqtrri 4018 . . . . . . . . . . . . . . 15 (◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)
30 df-ss 3964 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (◑𝐹 β€œ ran 𝐹) ↔ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)) = (◑𝐹 β€œ 𝑦))
3129, 30mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)) = (◑𝐹 β€œ 𝑦)
3222, 26, 313eqtr3g 2795 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝐹 β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯}) = (◑𝐹 β€œ 𝑦))
3321, 3, 323syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯}) = (◑𝐹 β€œ 𝑦))
34 i1fd.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
36 inss2 4228 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∩ ran 𝐹) βŠ† ran 𝐹
37 ssfi 9169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∩ ran 𝐹) βŠ† ran 𝐹) β†’ (𝑦 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin)
3835, 36, 37sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (𝑦 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin)
39 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ πœ‘)
40 elinel1 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹) β†’ 0 ∈ 𝑦)
4140con3i 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ Β¬ 0 ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹))
4241adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ Β¬ 0 ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹))
43 disjsn 4714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ… ↔ Β¬ 0 ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹))
4442, 43sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ ((𝑦 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ…)
45 reldisj 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∩ ran 𝐹) βŠ† ran 𝐹 β†’ (((𝑦 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ… ↔ (𝑦 ∩ ran 𝐹) βŠ† (ran 𝐹 βˆ– {0})))
4636, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ… ↔ (𝑦 ∩ ran 𝐹) βŠ† (ran 𝐹 βˆ– {0}))
4744, 46sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (𝑦 ∩ ran 𝐹) βŠ† (ran 𝐹 βˆ– {0}))
4847sselda 3981 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))
49 i1fd.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
5039, 48, 49syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
5150ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
52 finiunmbl 25052 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
5338, 51, 52syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
5433, 53eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
5554ex 413 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
5655alrimiv 1930 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦(Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
5756ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ βˆ€π‘¦(Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
58 elndif 4127 . . . . . . . . 9 (0 ∈ π‘₯ β†’ Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– π‘₯))
5958adantl 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– π‘₯))
60 reex 11197 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
6160difexi 5327 . . . . . . . . 9 (ℝ βˆ– π‘₯) ∈ V
62 eleq2 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ (0 ∈ 𝑦 ↔ 0 ∈ (ℝ βˆ– π‘₯)))
6362notbid 317 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝑦 ↔ Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– π‘₯)))
64 imaeq2 6053 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) = (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)))
6564eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol ↔ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) ∈ dom vol))
6663, 65imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ ((Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol) ↔ (Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) ∈ dom vol)))
6761, 66spcv 3595 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦(Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ (Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) ∈ dom vol))
6857, 59, 67sylc 65 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) ∈ dom vol)
69 difmbl 25051 . . . . . . 7 (((◑𝐹 β€œ ℝ) ∈ dom vol ∧ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ ℝ) βˆ– (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯))) ∈ dom vol)
7020, 68, 69syl2anc 584 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ ((◑𝐹 β€œ ℝ) βˆ– (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯))) ∈ dom vol)
7116, 70eqeltrrd 2834 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
72 eleq2 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (0 ∈ 𝑦 ↔ 0 ∈ π‘₯))
7372notbid 317 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝑦 ↔ Β¬ 0 ∈ π‘₯))
74 imaeq2 6053 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
7574eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol ↔ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
7673, 75imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol) ↔ (Β¬ 0 ∈ π‘₯ β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
7776spvv 2000 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦(Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ (Β¬ 0 ∈ π‘₯ β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
7856, 77syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Β¬ 0 ∈ π‘₯ β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
7978imp 407 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
8079adantlr 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ Β¬ 0 ∈ π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
8171, 80pm2.61dan 811 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
8281ralrimiva 3146 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
83 ismbf 25136 . . . 4 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
841, 83syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
8582, 84mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
86 mblvol 25038 . . . . . . . 8 ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)))
8754, 86syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)))
88 mblss 25039 . . . . . . . . 9 ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† ℝ)
8954, 88syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† ℝ)
90 mblvol 25038 . . . . . . . . . . 11 ((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
9150, 90syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
92 i1fd.4 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
9339, 48, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
9491, 93eqeltrrd 2834 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
9538, 94fsumrecl 15676 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
9633fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)))
97 mblss 25039 . . . . . . . . . . . . 13 ((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† ℝ)
9850, 97syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† ℝ)
9998, 94jca 512 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ))
10099ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ))
101 ovolfiniun 25009 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)) β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
10238, 100, 101syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
10396, 102eqbrtrrd 5171 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
104 ovollecl 24991 . . . . . . . 8 (((◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† ℝ ∧ Ξ£π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ (𝑦 ∩ ran 𝐹)(vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ)
10589, 95, 103, 104syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ)
10687, 105eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ)
107106ex 413 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ))
108107alrimiv 1930 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦(Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ))
109 neldifsn 4794 . . . 4 Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– {0})
11060difexi 5327 . . . . 5 (ℝ βˆ– {0}) ∈ V
111 eleq2 2822 . . . . . . 7 (𝑦 = (ℝ βˆ– {0}) β†’ (0 ∈ 𝑦 ↔ 0 ∈ (ℝ βˆ– {0})))
112111notbid 317 . . . . . 6 (𝑦 = (ℝ βˆ– {0}) β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝑦 ↔ Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– {0})))
113 imaeq2 6053 . . . . . . . 8 (𝑦 = (ℝ βˆ– {0}) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) = (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})))
114113fveq2d 6892 . . . . . . 7 (𝑦 = (ℝ βˆ– {0}) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) = (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))))
115114eleq1d 2818 . . . . . 6 (𝑦 = (ℝ βˆ– {0}) β†’ ((volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ ↔ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ))
116112, 115imbi12d 344 . . . . 5 (𝑦 = (ℝ βˆ– {0}) β†’ ((Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ) ↔ (Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– {0}) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)))
117110, 116spcv 3595 . . . 4 (βˆ€π‘¦(Β¬ 0 ∈ 𝑦 β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ ℝ) β†’ (Β¬ 0 ∈ (ℝ βˆ– {0}) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ))
118108, 109, 117mpisyl 21 . . 3 (πœ‘ β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)
1191, 34, 1183jca 1128 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ))
120 isi1f 25182 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)))
12185, 119, 120sylanbrc 583 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  βˆ€wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {csn 4627  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678  Fun wfun 6534  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  Fincfn 8935  β„cr 11105  0cc0 11106  β„*cxr 11243   ≀ cle 11245  (,)cioo 13320  Ξ£csu 15628  vol*covol 24970  volcvol 24971  MblFncmbf 25122  βˆ«1citg1 25123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-xmet 20929  df-met 20930  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128
This theorem is referenced by:  i1f0  25195  i1f1  25198  i1fadd  25203  i1fmul  25204  i1fmulc  25212  i1fres  25214  mbfi1fseqlem4  25227  itg2addnclem2  36528  ftc1anclem3  36551
  Copyright terms: Public domain W3C validator