Theorem difpreima 7088

Description: Preimage of a difference. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
difpreima	⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∖ (◡𝐹 “ 𝐵)))

Proof of Theorem difpreima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcnvcnv 6629	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun ◡◡𝐹)
2		imadif 6646	. 2 ⊢ (Fun ◡◡𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∖ (◡𝐹 “ 𝐵)))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∖ (◡𝐹 “ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∖ cdif 4048  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  Fun wfun 6552

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-fun 6560

This theorem is used by:  gsumpropd2lem  18897  supppreima  33355  elrgspnsubrunlem2  33879  elrspunidl  34048  fsumcvg4  34652  zrhunitpreima  34678  imambfm  34964  carsggect  35020  sibfof  35042  eulerpartlemmf  35077  itg2addnclem  38781  itg2addnclem2  38782  smfresal  48003