Theorem difpreima 7003

Description: Preimage of a difference. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
difpreima	⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∖ (◡𝐹 “ 𝐵)))

Proof of Theorem difpreima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcnvcnv 6553	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun ◡◡𝐹)
2		imadif 6570	. 2 ⊢ (Fun ◡◡𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∖ (◡𝐹 “ 𝐵)))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∖ (◡𝐹 “ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∖ cdif 3902  ^◡ccnv 5622   “ cima 5626  Fun wfun 6480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5096  df-opab 5158  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-fun 6488

This theorem is referenced by:  gsumpropd2lem  18571  supppreima  32647  elrgspnsubrunlem2  33198  elrspunidl  33375  fsumcvg4  33916  zrhunitpreima  33942  imambfm  34229  carsggect  34285  sibfof  34307  eulerpartlemmf  34342  itg2addnclem  37650  itg2addnclem2  37651  smfresal  46770