Theorem difpreima 7056

Description: Preimage of a difference. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
difpreima	⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∖ (◡𝐹 “ 𝐵)))

Proof of Theorem difpreima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcnvcnv 6599	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun ◡◡𝐹)
2		imadif 6616	. 2 ⊢ (Fun ◡◡𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∖ (◡𝐹 “ 𝐵)))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∖ (◡𝐹 “ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∖ cdif 3896  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  Fun wfun 6525

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-fun 6533

This theorem is used by:  gsumpropd2lem  18848  supppreima  33266  elrgspnsubrunlem2  33791  elrspunidl  33960  fsumcvg4  34564  zrhunitpreima  34590  imambfm  34877  carsggect  34933  sibfof  34955  eulerpartlemmf  34990  itg2addnclem  38557  itg2addnclem2  38558  smfresal  47742