Theorem difpreima 7019

Description: Preimage of a difference. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
difpreima	⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∖ (◡𝐹 “ 𝐵)))

Proof of Theorem difpreima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcnvcnv 6567	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun ◡◡𝐹)
2		imadif 6584	. 2 ⊢ (Fun ◡◡𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∖ (◡𝐹 “ 𝐵)))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∖ (◡𝐹 “ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∖ cdif 3900  ^◡ccnv 5631   “ cima 5635  Fun wfun 6494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-fun 6502

This theorem is referenced by:  gsumpropd2lem  18616  supppreima  32780  elrgspnsubrunlem2  33341  elrspunidl  33520  fsumcvg4  34127  zrhunitpreima  34153  imambfm  34439  carsggect  34495  sibfof  34517  eulerpartlemmf  34552  itg2addnclem  37916  itg2addnclem2  37917  smfresal  47140