Theorem difpreima 7050

Description: Preimage of a difference. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
difpreima	⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∖ (◡𝐹 “ 𝐵)))

Proof of Theorem difpreima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcnvcnv 6592	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun ◡◡𝐹)
2		imadif 6609	. 2 ⊢ (Fun ◡◡𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∖ (◡𝐹 “ 𝐵)))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∖ (◡𝐹 “ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∖ cdif 3904  ^◡ccnv 5651   “ cima 5655  Fun wfun 6519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5106  df-opab 5168  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-fun 6527

This theorem is referenced by:  gsumpropd2lem  18727  supppreima  32948  elrgspnsubrunlem2  33481  elrspunidl  33652  fsumcvg4  34257  zrhunitpreima  34283  imambfm  34569  carsggect  34625  sibfof  34647  eulerpartlemmf  34682  itg2addnclem  38182  itg2addnclem2  38183  smfresal  47360