Theorem mbfimaicc 25598

Description: The preimage of any closed interval under a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfimaicc	⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (◡𝐹 “ (𝐵[,]𝐶)) ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfimaicc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssre 13382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
2	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
3		dfss4 4209	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∖ (ℝ ∖ (𝐵[,]𝐶))) = (𝐵[,]𝐶))
4	2, 3	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (ℝ ∖ (ℝ ∖ (𝐵[,]𝐶))) = (𝐵[,]𝐶))
5		difreicc 13437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐵[,]𝐶)) = ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (ℝ ∖ (𝐵[,]𝐶)) = ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))
7	6	difeq2d 4066	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (ℝ ∖ (ℝ ∖ (𝐵[,]𝐶))) = (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞))))
8	4, 7	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵[,]𝐶) = (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞))))
9	8	imaeq2d 6025	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (◡𝐹 “ (𝐵[,]𝐶)) = (◡𝐹 “ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))))
10		ffun 6671	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → Fun 𝐹)
11		funcnvcnv 6565	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun ◡◡𝐹)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → Fun ◡◡𝐹)
13	12	ad2antlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → Fun ◡◡𝐹)
14		imadif 6582	. . . 4 ⊢ (Fun ◡◡𝐹 → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))) = ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))))
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))) = ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))))
16	9, 15	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (◡𝐹 “ (𝐵[,]𝐶)) = ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))))
17		fimacnv 6690	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
19		mbfdm 25593	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
20		fdm 6677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
21	20	eleq1d 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
22	21	biimpac 478	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
23	19, 22	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
24	18, 23	eqeltrd 2836	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
25		imaundi 6113	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞))) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∪ (◡𝐹 “ (𝐶(,)+∞)))
26		mbfima 25597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ dom vol)
27		mbfima 25597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (𝐶(,)+∞)) ∈ dom vol)
28		unmbl 25504	. . . . . 6 ⊢ (((◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ (𝐶(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∪ (◡𝐹 “ (𝐶(,)+∞))) ∈ dom vol)
29	26, 27, 28	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∪ (◡𝐹 “ (𝐶(,)+∞))) ∈ dom vol)
30	25, 29	eqeltrid 2840	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞))) ∈ dom vol)
31		difmbl 25510	. . . 4 ⊢ (((◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞))) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))) ∈ dom vol)
32	24, 30, 31	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))) ∈ dom vol)
33	32	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))) ∈ dom vol)
34	16, 33	eqeltrd 2836	1 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (◡𝐹 “ (𝐵[,]𝐶)) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3886   ∪ cun 3887   ⊆ wss 3889  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631   “ cima 5634  Fun wfun 6492  ⟶wf 6494  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  +∞cpnf 11176  -∞cmnf 11177  (,)cioo 13298  [,]cicc 13301  volcvol 25430  MblFncmbf 25581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xadd 13064  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-xmet 21345  df-met 21346  df-ovol 25431  df-vol 25432  df-mbf 25586

This theorem is referenced by:  mbfimasn  25599