Theorem mbfimaicc 25548

Description: The preimage of any closed interval under a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfimaicc	⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (◡𝐹 “ (𝐵[,]𝐶)) ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfimaicc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssre 13350	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
2	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
3		dfss4 4222	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∖ (ℝ ∖ (𝐵[,]𝐶))) = (𝐵[,]𝐶))
4	2, 3	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (ℝ ∖ (ℝ ∖ (𝐵[,]𝐶))) = (𝐵[,]𝐶))
5		difreicc 13405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐵[,]𝐶)) = ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (ℝ ∖ (𝐵[,]𝐶)) = ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))
7	6	difeq2d 4079	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (ℝ ∖ (ℝ ∖ (𝐵[,]𝐶))) = (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞))))
8	4, 7	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵[,]𝐶) = (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞))))
9	8	imaeq2d 6015	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (◡𝐹 “ (𝐵[,]𝐶)) = (◡𝐹 “ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))))
10		ffun 6659	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → Fun 𝐹)
11		funcnvcnv 6553	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun ◡◡𝐹)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → Fun ◡◡𝐹)
13	12	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → Fun ◡◡𝐹)
14		imadif 6570	. . . 4 ⊢ (Fun ◡◡𝐹 → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))) = ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))))
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))) = ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))))
16	9, 15	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (◡𝐹 “ (𝐵[,]𝐶)) = ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))))
17		fimacnv 6678	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
19		mbfdm 25543	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
20		fdm 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
21	20	eleq1d 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
22	21	biimpac 478	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
23	19, 22	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
24	18, 23	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
25		imaundi 6102	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞))) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∪ (◡𝐹 “ (𝐶(,)+∞)))
26		mbfima 25547	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ dom vol)
27		mbfima 25547	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (𝐶(,)+∞)) ∈ dom vol)
28		unmbl 25454	. . . . . 6 ⊢ (((◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ (𝐶(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∪ (◡𝐹 “ (𝐶(,)+∞))) ∈ dom vol)
29	26, 27, 28	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∪ (◡𝐹 “ (𝐶(,)+∞))) ∈ dom vol)
30	25, 29	eqeltrid 2832	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞))) ∈ dom vol)
31		difmbl 25460	. . . 4 ⊢ (((◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞))) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))) ∈ dom vol)
32	24, 30, 31	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))) ∈ dom vol)
33	32	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))) ∈ dom vol)
34	16, 33	eqeltrd 2828	1 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (◡𝐹 “ (𝐵[,]𝐶)) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  ^◡ccnv 5622  dom cdm 5623   “ cima 5626  Fun wfun 6480  ⟶wf 6482  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  +∞cpnf 11165  -∞cmnf 11166  (,)cioo 13266  [,]cicc 13269  volcvol 25380  MblFncmbf 25531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xadd 13033  df-ioo 13270  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-xmet 21272  df-met 21273  df-ovol 25381  df-vol 25382  df-mbf 25536

This theorem is referenced by:  mbfimasn  25549