MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfimaicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfimaicc 24224
Description: The preimage of any closed interval under a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfimaicc (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐹 “ (𝐵[,]𝐶)) ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfimaicc
StepHypRef Expression
1 iccssre 12805 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
21adantl 485 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
3 dfss4 4218 . . . . . 6 ((𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∖ (ℝ ∖ (𝐵[,]𝐶))) = (𝐵[,]𝐶))
42, 3sylib 221 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (ℝ ∖ (ℝ ∖ (𝐵[,]𝐶))) = (𝐵[,]𝐶))
5 difreicc 12860 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐵[,]𝐶)) = ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))
65adantl 485 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (ℝ ∖ (𝐵[,]𝐶)) = ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))
76difeq2d 4083 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (ℝ ∖ (ℝ ∖ (𝐵[,]𝐶))) = (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞))))
84, 7eqtr3d 2861 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵[,]𝐶) = (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞))))
98imaeq2d 5910 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐹 “ (𝐵[,]𝐶)) = (𝐹 “ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))))
10 ffun 6498 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶ℝ → Fun 𝐹)
11 funcnvcnv 6402 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → Fun 𝐹)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℝ → Fun 𝐹)
1312ad2antlr 726 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → Fun 𝐹)
14 imadif 6419 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))) = ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))))
1513, 14syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐹 “ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))) = ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))))
169, 15eqtrd 2859 . 2 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐹 “ (𝐵[,]𝐶)) = ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))))
17 fimacnv 6820 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
1817adantl 485 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
19 mbfdm 24219 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
20 fdm 6503 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
2120eleq1d 2900 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
2221biimpac 482 . . . . . 6 ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
2319, 22sylan 583 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
2418, 23eqeltrd 2916 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
25 imaundi 5989 . . . . 5 (𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞))) = ((𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∪ (𝐹 “ (𝐶(,)+∞)))
26 mbfima 24223 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ dom vol)
27 mbfima 24223 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (𝐶(,)+∞)) ∈ dom vol)
28 unmbl 24130 . . . . . 6 (((𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ (𝐶(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∪ (𝐹 “ (𝐶(,)+∞))) ∈ dom vol)
2926, 27, 28syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ((𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∪ (𝐹 “ (𝐶(,)+∞))) ∈ dom vol)
3025, 29eqeltrid 2920 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞))) ∈ dom vol)
31 difmbl 24136 . . . 4 (((𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞))) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))) ∈ dom vol)
3224, 30, 31syl2anc 587 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))) ∈ dom vol)
3332adantr 484 . 2 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))) ∈ dom vol)
3416, 33eqeltrd 2916 1 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐹 “ (𝐵[,]𝐶)) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cdif 3915  cun 3916  wss 3918  ccnv 5535  dom cdm 5536  cima 5539  Fun wfun 6330  wf 6332  (class class class)co 7138  cr 10521  +∞cpnf 10657  -∞cmnf 10658  (,)cioo 12724  [,]cicc 12727  volcvol 24056  MblFncmbf 24207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-q 12335  df-rp 12376  df-xadd 12494  df-ioo 12728  df-ico 12730  df-icc 12731  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-clim 14834  df-sum 15032  df-xmet 20524  df-met 20525  df-ovol 24057  df-vol 24058  df-mbf 24212
This theorem is referenced by:  mbfimasn  24225
  Copyright terms: Public domain W3C validator