Theorem mbfimaicc 25579

Description: The preimage of any closed interval under a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfimaicc	⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (◡𝐹 “ (𝐵[,]𝐶)) ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfimaicc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssre 13336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
2	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
3		dfss4 4218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∖ (ℝ ∖ (𝐵[,]𝐶))) = (𝐵[,]𝐶))
4	2, 3	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (ℝ ∖ (ℝ ∖ (𝐵[,]𝐶))) = (𝐵[,]𝐶))
5		difreicc 13391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐵[,]𝐶)) = ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (ℝ ∖ (𝐵[,]𝐶)) = ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))
7	6	difeq2d 4075	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (ℝ ∖ (ℝ ∖ (𝐵[,]𝐶))) = (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞))))
8	4, 7	eqtr3d 2770	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵[,]𝐶) = (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞))))
9	8	imaeq2d 6016	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (◡𝐹 “ (𝐵[,]𝐶)) = (◡𝐹 “ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))))
10		ffun 6662	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → Fun 𝐹)
11		funcnvcnv 6556	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun ◡◡𝐹)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → Fun ◡◡𝐹)
13	12	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → Fun ◡◡𝐹)
14		imadif 6573	. . . 4 ⊢ (Fun ◡◡𝐹 → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))) = ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))))
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))) = ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))))
16	9, 15	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (◡𝐹 “ (𝐵[,]𝐶)) = ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))))
17		fimacnv 6681	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
19		mbfdm 25574	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
20		fdm 6668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
21	20	eleq1d 2818	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
22	21	biimpac 478	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
23	19, 22	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
24	18, 23	eqeltrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
25		imaundi 6104	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞))) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∪ (◡𝐹 “ (𝐶(,)+∞)))
26		mbfima 25578	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ dom vol)
27		mbfima 25578	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (𝐶(,)+∞)) ∈ dom vol)
28		unmbl 25485	. . . . . 6 ⊢ (((◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ (𝐶(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∪ (◡𝐹 “ (𝐶(,)+∞))) ∈ dom vol)
29	26, 27, 28	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∪ (◡𝐹 “ (𝐶(,)+∞))) ∈ dom vol)
30	25, 29	eqeltrid 2837	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞))) ∈ dom vol)
31		difmbl 25491	. . . 4 ⊢ (((◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞))) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))) ∈ dom vol)
32	24, 30, 31	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))) ∈ dom vol)
33	32	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))) ∈ dom vol)
34	16, 33	eqeltrd 2833	1 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (◡𝐹 “ (𝐵[,]𝐶)) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  ^◡ccnv 5620  dom cdm 5621   “ cima 5624  Fun wfun 6483  ⟶wf 6485  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  +∞cpnf 11154  -∞cmnf 11155  (,)cioo 13252  [,]cicc 13255  volcvol 25411  MblFncmbf 25562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9407  df-dju 9805  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-q 12853  df-rp 12897  df-xadd 13018  df-ioo 13256  df-ico 13258  df-icc 13259  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-seq 13916  df-exp 13976  df-hash 14245  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-clim 15402  df-sum 15601  df-xmet 21293  df-met 21294  df-ovol 25412  df-vol 25413  df-mbf 25567

This theorem is referenced by:  mbfimasn  25580