MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfimaicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfimaicc 25666
Description: The preimage of any closed interval under a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfimaicc (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐹 “ (𝐵[,]𝐶)) ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfimaicc
StepHypRef Expression
1 iccssre 13469 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
21adantl 481 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
3 dfss4 4269 . . . . . 6 ((𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∖ (ℝ ∖ (𝐵[,]𝐶))) = (𝐵[,]𝐶))
42, 3sylib 218 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (ℝ ∖ (ℝ ∖ (𝐵[,]𝐶))) = (𝐵[,]𝐶))
5 difreicc 13524 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐵[,]𝐶)) = ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))
65adantl 481 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (ℝ ∖ (𝐵[,]𝐶)) = ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))
76difeq2d 4126 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (ℝ ∖ (ℝ ∖ (𝐵[,]𝐶))) = (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞))))
84, 7eqtr3d 2779 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵[,]𝐶) = (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞))))
98imaeq2d 6078 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐹 “ (𝐵[,]𝐶)) = (𝐹 “ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))))
10 ffun 6739 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶ℝ → Fun 𝐹)
11 funcnvcnv 6633 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → Fun 𝐹)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℝ → Fun 𝐹)
1312ad2antlr 727 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → Fun 𝐹)
14 imadif 6650 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))) = ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))))
1513, 14syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐹 “ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))) = ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))))
169, 15eqtrd 2777 . 2 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐹 “ (𝐵[,]𝐶)) = ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))))
17 fimacnv 6758 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
1817adantl 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
19 mbfdm 25661 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
20 fdm 6745 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
2120eleq1d 2826 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
2221biimpac 478 . . . . . 6 ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
2319, 22sylan 580 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
2418, 23eqeltrd 2841 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
25 imaundi 6169 . . . . 5 (𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞))) = ((𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∪ (𝐹 “ (𝐶(,)+∞)))
26 mbfima 25665 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ dom vol)
27 mbfima 25665 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (𝐶(,)+∞)) ∈ dom vol)
28 unmbl 25572 . . . . . 6 (((𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ (𝐶(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∪ (𝐹 “ (𝐶(,)+∞))) ∈ dom vol)
2926, 27, 28syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ((𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∪ (𝐹 “ (𝐶(,)+∞))) ∈ dom vol)
3025, 29eqeltrid 2845 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞))) ∈ dom vol)
31 difmbl 25578 . . . 4 (((𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞))) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))) ∈ dom vol)
3224, 30, 31syl2anc 584 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))) ∈ dom vol)
3332adantr 480 . 2 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹 “ ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐶(,)+∞)))) ∈ dom vol)
3416, 33eqeltrd 2841 1 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐹 “ (𝐵[,]𝐶)) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cdif 3948  cun 3949  wss 3951  ccnv 5684  dom cdm 5685  cima 5688  Fun wfun 6555  wf 6557  (class class class)co 7431  cr 11154  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  volcvol 25498  MblFncmbf 25649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-xmet 21357  df-met 21358  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654
This theorem is referenced by:  mbfimasn  25667
  Copyright terms: Public domain W3C validator