MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmfnfmlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmfnfmlem3 23782
Description: Lemma for fmfnfm 23784. (Contributed by Jeff Hankins, 19-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmfnfm.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
fmfnfm.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
fmfnfm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
fmfnfm.fm (πœ‘ β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅) βŠ† 𝐿)
Assertion
Ref Expression
fmfnfmlem3 (πœ‘ β†’ (fiβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) = ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐿   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ

Proof of Theorem fmfnfmlem3
Dummy variables 𝑠 𝑑 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmfnfm.l . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
2 filin 23680 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐿 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐿)
323expb 1117 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝐿 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿)) β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐿)
41, 3sylan 579 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐿 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿)) β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐿)
5 fmfnfm.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
6 ffun 6710 . . . . . . . . 9 (𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ Fun 𝐹)
7 funcnvcnv 6605 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 β†’ Fun ◑◑𝐹)
8 imain 6623 . . . . . . . . . 10 (Fun ◑◑𝐹 β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑦 ∩ 𝑧)) = ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ 𝑧)))
98eqcomd 2730 . . . . . . . . 9 (Fun ◑◑𝐹 β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ 𝑧)) = (◑𝐹 β€œ (𝑦 ∩ 𝑧)))
105, 6, 7, 94syl 19 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ 𝑧)) = (◑𝐹 β€œ (𝑦 ∩ 𝑧)))
1110adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐿 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿)) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ 𝑧)) = (◑𝐹 β€œ (𝑦 ∩ 𝑧)))
12 imaeq2 6045 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 ∩ 𝑧) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) = (◑𝐹 β€œ (𝑦 ∩ 𝑧)))
1312rspceeqv 3625 . . . . . . 7 (((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐿 ∧ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ 𝑧)) = (◑𝐹 β€œ (𝑦 ∩ 𝑧))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ 𝑧)) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
144, 11, 13syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐿 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ 𝑧)) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
15 ineq12 4199 . . . . . . . 8 ((𝑠 = (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∧ 𝑑 = (◑𝐹 β€œ 𝑧)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) = ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ 𝑧)))
1615eqeq1d 2726 . . . . . . 7 ((𝑠 = (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∧ 𝑑 = (◑𝐹 β€œ 𝑧)) β†’ ((𝑠 ∩ 𝑑) = (◑𝐹 β€œ π‘₯) ↔ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ 𝑧)) = (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
1716rexbidv 3170 . . . . . 6 ((𝑠 = (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∧ 𝑑 = (◑𝐹 β€œ 𝑧)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 (𝑠 ∩ 𝑑) = (◑𝐹 β€œ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ 𝑧)) = (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
1814, 17syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐿 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿)) β†’ ((𝑠 = (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∧ 𝑑 = (◑𝐹 β€œ 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 (𝑠 ∩ 𝑑) = (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
1918rexlimdvva 3203 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐿 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐿 (𝑠 = (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∧ 𝑑 = (◑𝐹 β€œ 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 (𝑠 ∩ 𝑑) = (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
20 imaeq2 6045 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) = (◑𝐹 β€œ 𝑦))
2120eqeq2d 2735 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) ↔ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ 𝑦)))
2221cbvrexvw 3227 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐿 𝑠 = (◑𝐹 β€œ 𝑦))
23 imaeq2 6045 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) = (◑𝐹 β€œ 𝑧))
2423eqeq2d 2735 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝑑 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) ↔ 𝑑 = (◑𝐹 β€œ 𝑧)))
2524cbvrexvw 3227 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑑 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐿 𝑑 = (◑𝐹 β€œ 𝑧))
2622, 25anbi12i 626 . . . . 5 ((βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑑 = (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐿 𝑠 = (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐿 𝑑 = (◑𝐹 β€œ 𝑧)))
27 eqid 2724 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))
2827elrnmpt 5945 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ V β†’ (𝑠 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
2928elv 3472 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
3027elrnmpt 5945 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ V β†’ (𝑑 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑑 = (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
3130elv 3472 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑑 = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
3229, 31anbi12i 626 . . . . 5 ((𝑠 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑑 = (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
33 reeanv 3218 . . . . 5 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐿 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐿 (𝑠 = (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∧ 𝑑 = (◑𝐹 β€œ 𝑧)) ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐿 𝑠 = (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐿 𝑑 = (◑𝐹 β€œ 𝑧)))
3426, 32, 333bitr4i 303 . . . 4 ((𝑠 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐿 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐿 (𝑠 = (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∧ 𝑑 = (◑𝐹 β€œ 𝑧)))
35 vex 3470 . . . . . 6 𝑠 ∈ V
3635inex1 5307 . . . . 5 (𝑠 ∩ 𝑑) ∈ V
3727elrnmpt 5945 . . . . 5 ((𝑠 ∩ 𝑑) ∈ V β†’ ((𝑠 ∩ 𝑑) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 (𝑠 ∩ 𝑑) = (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
3836, 37ax-mp 5 . . . 4 ((𝑠 ∩ 𝑑) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 (𝑠 ∩ 𝑑) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
3919, 34, 383imtr4g 296 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))
4039ralrimivv 3190 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))βˆ€π‘‘ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))(𝑠 ∩ 𝑑) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
41 mptexg 7214 . . 3 (𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ V)
42 rnexg 7888 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ V β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ V)
43 inficl 9416 . . 3 (ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ V β†’ (βˆ€π‘  ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))βˆ€π‘‘ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))(𝑠 ∩ 𝑑) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ (fiβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) = ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))
441, 41, 42, 434syl 19 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))βˆ€π‘‘ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))(𝑠 ∩ 𝑑) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ (fiβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) = ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))
4540, 44mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (fiβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) = ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062  Vcvv 3466   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940   ↦ cmpt 5221  β—‘ccnv 5665  ran crn 5667   β€œ cima 5669  Fun wfun 6527  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  ficfi 9401  fBascfbas 21216  Filcfil 23671   FilMap cfm 23759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7849  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-fin 8939  df-fi 9402  df-fbas 21225  df-fil 23672
This theorem is referenced by:  fmfnfmlem4  23783
  Copyright terms: Public domain W3C validator