MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmfnfmlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmfnfmlem3 23680
Description: Lemma for fmfnfm 23682. (Contributed by Jeff Hankins, 19-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmfnfm.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
fmfnfm.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
fmfnfm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
fmfnfm.fm (πœ‘ β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅) βŠ† 𝐿)
Assertion
Ref Expression
fmfnfmlem3 (πœ‘ β†’ (fiβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) = ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐿   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ

Proof of Theorem fmfnfmlem3
Dummy variables 𝑠 𝑑 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmfnfm.l . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
2 filin 23578 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐿 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐿)
323expb 1118 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝐿 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿)) β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐿)
41, 3sylan 578 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐿 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿)) β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐿)
5 fmfnfm.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
6 ffun 6719 . . . . . . . . 9 (𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ Fun 𝐹)
7 funcnvcnv 6614 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 β†’ Fun ◑◑𝐹)
8 imain 6632 . . . . . . . . . 10 (Fun ◑◑𝐹 β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑦 ∩ 𝑧)) = ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ 𝑧)))
98eqcomd 2736 . . . . . . . . 9 (Fun ◑◑𝐹 β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ 𝑧)) = (◑𝐹 β€œ (𝑦 ∩ 𝑧)))
105, 6, 7, 94syl 19 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ 𝑧)) = (◑𝐹 β€œ (𝑦 ∩ 𝑧)))
1110adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐿 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿)) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ 𝑧)) = (◑𝐹 β€œ (𝑦 ∩ 𝑧)))
12 imaeq2 6054 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 ∩ 𝑧) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) = (◑𝐹 β€œ (𝑦 ∩ 𝑧)))
1312rspceeqv 3632 . . . . . . 7 (((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐿 ∧ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ 𝑧)) = (◑𝐹 β€œ (𝑦 ∩ 𝑧))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ 𝑧)) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
144, 11, 13syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐿 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ 𝑧)) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
15 ineq12 4206 . . . . . . . 8 ((𝑠 = (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∧ 𝑑 = (◑𝐹 β€œ 𝑧)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) = ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ 𝑧)))
1615eqeq1d 2732 . . . . . . 7 ((𝑠 = (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∧ 𝑑 = (◑𝐹 β€œ 𝑧)) β†’ ((𝑠 ∩ 𝑑) = (◑𝐹 β€œ π‘₯) ↔ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ 𝑧)) = (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
1716rexbidv 3176 . . . . . 6 ((𝑠 = (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∧ 𝑑 = (◑𝐹 β€œ 𝑧)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 (𝑠 ∩ 𝑑) = (◑𝐹 β€œ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (◑𝐹 β€œ 𝑧)) = (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
1814, 17syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐿 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿)) β†’ ((𝑠 = (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∧ 𝑑 = (◑𝐹 β€œ 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 (𝑠 ∩ 𝑑) = (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
1918rexlimdvva 3209 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐿 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐿 (𝑠 = (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∧ 𝑑 = (◑𝐹 β€œ 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 (𝑠 ∩ 𝑑) = (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
20 imaeq2 6054 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) = (◑𝐹 β€œ 𝑦))
2120eqeq2d 2741 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) ↔ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ 𝑦)))
2221cbvrexvw 3233 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐿 𝑠 = (◑𝐹 β€œ 𝑦))
23 imaeq2 6054 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) = (◑𝐹 β€œ 𝑧))
2423eqeq2d 2741 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝑑 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) ↔ 𝑑 = (◑𝐹 β€œ 𝑧)))
2524cbvrexvw 3233 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑑 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐿 𝑑 = (◑𝐹 β€œ 𝑧))
2622, 25anbi12i 625 . . . . 5 ((βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑑 = (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐿 𝑠 = (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐿 𝑑 = (◑𝐹 β€œ 𝑧)))
27 eqid 2730 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))
2827elrnmpt 5954 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ V β†’ (𝑠 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
2928elv 3478 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
3027elrnmpt 5954 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ V β†’ (𝑑 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑑 = (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
3130elv 3478 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑑 = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
3229, 31anbi12i 625 . . . . 5 ((𝑠 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑑 = (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
33 reeanv 3224 . . . . 5 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐿 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐿 (𝑠 = (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∧ 𝑑 = (◑𝐹 β€œ 𝑧)) ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐿 𝑠 = (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐿 𝑑 = (◑𝐹 β€œ 𝑧)))
3426, 32, 333bitr4i 302 . . . 4 ((𝑠 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐿 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐿 (𝑠 = (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∧ 𝑑 = (◑𝐹 β€œ 𝑧)))
35 vex 3476 . . . . . 6 𝑠 ∈ V
3635inex1 5316 . . . . 5 (𝑠 ∩ 𝑑) ∈ V
3727elrnmpt 5954 . . . . 5 ((𝑠 ∩ 𝑑) ∈ V β†’ ((𝑠 ∩ 𝑑) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 (𝑠 ∩ 𝑑) = (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
3836, 37ax-mp 5 . . . 4 ((𝑠 ∩ 𝑑) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 (𝑠 ∩ 𝑑) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
3919, 34, 383imtr4g 295 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))
4039ralrimivv 3196 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))βˆ€π‘‘ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))(𝑠 ∩ 𝑑) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
41 mptexg 7224 . . 3 (𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ V)
42 rnexg 7897 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ V β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ V)
43 inficl 9422 . . 3 (ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ V β†’ (βˆ€π‘  ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))βˆ€π‘‘ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))(𝑠 ∩ 𝑑) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ (fiβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) = ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))
441, 41, 42, 434syl 19 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))βˆ€π‘‘ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))(𝑠 ∩ 𝑑) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ (fiβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) = ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))
4540, 44mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (fiβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) = ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676   β€œ cima 5678  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  ficfi 9407  fBascfbas 21132  Filcfil 23569   FilMap cfm 23657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7858  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-fbas 21141  df-fil 23570
This theorem is referenced by:  fmfnfmlem4  23681
  Copyright terms: Public domain W3C validator