MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopcmap Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem qtopcmap 23610
Description: If 𝐹 is a surjective continuous closed map, then it is a quotient map. (A closed map is a function that maps closed sets to closed sets.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopomap.4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
qtopomap.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
qtopomap.6 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = π‘Œ)
qtopcmap.7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜πΎ))
Assertion
Ref Expression
qtopcmap (πœ‘ β†’ 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝐾   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘Œ
Proof of Theorem qtopcmap
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopomap.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2 qtopomap.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
3 qtopomap.6 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = π‘Œ)
4 qtopss 23606 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ ran 𝐹 = π‘Œ) β†’ 𝐾 βŠ† (𝐽 qTop 𝐹))
51, 2, 3, 4syl3anc 1369 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† (𝐽 qTop 𝐹))
6 cntop1 23131 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
71, 6syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
8 toptopon2 22807 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
97, 8sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
10 cnf2 23140 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹:βˆͺ π½βŸΆπ‘Œ)
119, 2, 1, 10syl3anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ π½βŸΆπ‘Œ)
1211ffnd 6717 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn βˆͺ 𝐽)
13 df-fo 6548 . . . . . 6 (𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ ↔ (𝐹 Fn βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 = π‘Œ))
1412, 3, 13sylanbrc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ)
15 eqid 2727 . . . . . 6 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1615elqtop2 23592 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ) β†’ (𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)))
177, 14, 16syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)))
1814adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ 𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ)
19 difss 4127 . . . . . . . . 9 (π‘Œ βˆ– 𝑦) βŠ† π‘Œ
20 foimacnv 6850 . . . . . . . . 9 ((𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ ∧ (π‘Œ βˆ– 𝑦) βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ (π‘Œ βˆ– 𝑦))) = (π‘Œ βˆ– 𝑦))
2118, 19, 20sylancl 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ (π‘Œ βˆ– 𝑦))) = (π‘Œ βˆ– 𝑦))
222adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
23 toponuni 22803 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝐾)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝐾)
2524difeq1d 4117 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ (π‘Œ βˆ– 𝑦) = (βˆͺ 𝐾 βˆ– 𝑦))
2621, 25eqtrd 2767 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ (π‘Œ βˆ– 𝑦))) = (βˆͺ 𝐾 βˆ– 𝑦))
27 imaeq2 6053 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (◑𝐹 β€œ (π‘Œ βˆ– 𝑦)) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) = (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ (π‘Œ βˆ– 𝑦))))
2827eleq1d 2813 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (◑𝐹 β€œ (π‘Œ βˆ– 𝑦)) β†’ ((𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜πΎ) ↔ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ (π‘Œ βˆ– 𝑦))) ∈ (Clsdβ€˜πΎ)))
29 qtopcmap.7 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜πΎ))
3029ralrimiva 3141 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)(𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜πΎ))
3130adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)(𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜πΎ))
32 fofun 6806 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ β†’ Fun 𝐹)
33 funcnvcnv 6614 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝐹 β†’ Fun ◑◑𝐹)
34 imadif 6631 . . . . . . . . . . 11 (Fun ◑◑𝐹 β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘Œ βˆ– 𝑦)) = ((◑𝐹 β€œ π‘Œ) βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑦)))
3518, 32, 33, 344syl 19 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘Œ βˆ– 𝑦)) = ((◑𝐹 β€œ π‘Œ) βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑦)))
3611adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ 𝐹:βˆͺ π½βŸΆπ‘Œ)
37 fimacnv 6739 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:βˆͺ π½βŸΆπ‘Œ β†’ (◑𝐹 β€œ π‘Œ) = βˆͺ 𝐽)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘Œ) = βˆͺ 𝐽)
3938difeq1d 4117 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘Œ) βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑦)) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑦)))
4035, 39eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘Œ βˆ– 𝑦)) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑦)))
417adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
42 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)
4315opncld 22924 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
4441, 42, 43syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
4540, 44eqeltrd 2828 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘Œ βˆ– 𝑦)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
4628, 31, 45rspcdva 3608 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ (π‘Œ βˆ– 𝑦))) ∈ (Clsdβ€˜πΎ))
4726, 46eqeltrrd 2829 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ (βˆͺ 𝐾 βˆ– 𝑦) ∈ (Clsdβ€˜πΎ))
48 topontop 22802 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Top)
4922, 48syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ 𝐾 ∈ Top)
50 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ 𝑦 βŠ† π‘Œ)
5150, 24sseqtrd 4018 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝐾)
52 eqid 2727 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
5352isopn2 22923 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ (𝑦 ∈ 𝐾 ↔ (βˆͺ 𝐾 βˆ– 𝑦) ∈ (Clsdβ€˜πΎ)))
5449, 51, 53syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐾 ↔ (βˆͺ 𝐾 βˆ– 𝑦) ∈ (Clsdβ€˜πΎ)))
5547, 54mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐾)
5655ex 412 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽) β†’ 𝑦 ∈ 𝐾))
5717, 56sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ 𝐾))
5857ssrdv 3984 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐽 qTop 𝐹) βŠ† 𝐾)
595, 58eqssd 3995 1 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056   βˆ– cdif 3941   βŠ† wss 3944  βˆͺ cuni 4903  β—‘ccnv 5671  ran crn 5673   β€œ cima 5675  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   qTop cqtop 17476  Topctop 22782  TopOnctopon 22799  Clsdccld 22907   Cn ccn 23115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-map 8838  df-qtop 17480  df-top 22783  df-topon 22800  df-cld 22910  df-cn 23118
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator