Theorem tocyc01 33138

Description: Permutation cycles built from the empty set or a singleton are the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Nov-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
tocyc01.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tocyc01	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (𝐶‘𝑊) = ( I ↾ 𝐷))

Proof of Theorem tocyc01

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocyc01.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1})))
4	3	elin1d 4204	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ dom 𝐶)
5		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
6		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝐷)) = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
7	1, 5, 6	tocycf 33137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘(SymGrp‘𝐷)))
8		fdm 6745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘(SymGrp‘𝐷)) → dom 𝐶 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
9	2, 7, 8	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → dom 𝐶 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
10	4, 9	eleqtrd 2843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
11		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
12		dmeq 5914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
13		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
14	11, 12, 13	f1eq123d 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
15	14	elrab 3692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
16	10, 15	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
17	16	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
18	16	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
19	1, 2, 17, 18	tocycfv 33129	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
21		hasheq0 14402	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1})) → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
22	3, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
23	22	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → 𝑊 = ∅)
24		rneq 5947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 = ∅ → ran 𝑊 = ran ∅)
25		rn0 5936	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran ∅ = ∅
26	24, 25	eqtrdi 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 = ∅ → ran 𝑊 = ∅)
27	26	difeq2d 4126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐷 ∖ ran 𝑊) = (𝐷 ∖ ∅))
28		dif0 4378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∖ ∅) = 𝐷
29	27, 28	eqtrdi 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐷 ∖ ran 𝑊) = 𝐷)
30	29	reseq2d 5997	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
31		cnveq 5884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 = ∅ → ◡𝑊 = ◡∅)
32		cnv0 6160	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡∅ = ∅
33	31, 32	eqtrdi 2793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → ◡𝑊 = ∅)
34	33	coeq2d 5873	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ∅))
35		co02 6280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ∅) = ∅
36	34, 35	eqtrdi 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) = ∅)
37	30, 36	uneq12d 4169	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) = (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅))
38		un0 4394	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅) = ( I ↾ 𝐷)
39	37, 38	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
40	23, 39	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
41	20, 40	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (𝐶‘𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
42	19	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
43	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
44		1zzd 12648	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 1 ∈ ℤ)
45		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (♯‘𝑊) = 1)
46		1cshid 32944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊)
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊)
48	47	coeq1d 5872	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) = (𝑊 ∘ ◡𝑊))
49		wrdf 14557	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
50		ffun 6739	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷 → Fun 𝑊)
51		funcocnv2 6873	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝑊 → (𝑊 ∘ ◡𝑊) = ( I ↾ ran 𝑊))
52	43, 49, 50, 51	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 ∘ ◡𝑊) = ( I ↾ ran 𝑊))
53	48, 52	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) = ( I ↾ ran 𝑊))
54	53	uneq2d 4168	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ( I ↾ ran 𝑊)))
55		resundi 6011	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ( I ↾ ran 𝑊))
56		frn 6743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷 → ran 𝑊 ⊆ 𝐷)
57		undifr 4483	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝑊 ⊆ 𝐷 ↔ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊) = 𝐷)
58	56, 57	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷 → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊) = 𝐷)
59	43, 49, 58	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊) = 𝐷)
60	59	reseq2d 5997	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ( I ↾ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
61	55, 60	eqtr3id 2791	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ( I ↾ ran 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
62	42, 54, 61	3eqtrd 2781	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝐶‘𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
63	3	elin2d 4205	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ (◡♯ “ {0, 1}))
64		hashf 14377	. . . . . 6 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
65		ffn 6736	. . . . . 6 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
66		elpreima 7078	. . . . . 6 ⊢ (♯ Fn V → (𝑊 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ (𝑊 ∈ V ∧ (♯‘𝑊) ∈ {0, 1})))
67	64, 65, 66	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ (𝑊 ∈ V ∧ (♯‘𝑊) ∈ {0, 1}))
68	63, 67	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (𝑊 ∈ V ∧ (♯‘𝑊) ∈ {0, 1}))
69	68	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (♯‘𝑊) ∈ {0, 1})
70		elpri 4649	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ {0, 1} → ((♯‘𝑊) = 0 ∨ (♯‘𝑊) = 1))
71	69, 70	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → ((♯‘𝑊) = 0 ∨ (♯‘𝑊) = 1))
72	41, 62, 71	mpjaodan 961	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (𝐶‘𝑊) = ( I ↾ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948   ∪ cun 3949   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  {csn 4626  {cpr 4628   I cid 5577  ^◡ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686   ↾ cres 5687   “ cima 5688   ∘ ccom 5689  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  –1-1→wf1 6558  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  +∞cpnf 11292  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ..^cfzo 13694  ♯chash 14369  Word cword 14552   cyclShift ccsh 14826  Basecbs 17247  SymGrpcsymg 19386  toCycctocyc 33126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-csh 14827  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-efmnd 18882  df-symg 19387  df-tocyc 33127

This theorem is referenced by:  tocyccntz  33164