Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tocyc01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tocyc01 33138
Description: Permutation cycles built from the empty set or a singleton are the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Nov-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
tocyc01.1 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
tocyc01 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → (𝐶𝑊) = ( I ↾ 𝐷))

Proof of Theorem tocyc01
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tocyc01.1 . . . . 5 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2 simpl 482 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → 𝐷𝑉)
3 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1})))
43elin1d 4204 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ dom 𝐶)
5 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
6 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Base‘(SymGrp‘𝐷)) = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
71, 5, 6tocycf 33137 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑉𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘(SymGrp‘𝐷)))
8 fdm 6745 . . . . . . . . 9 (𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘(SymGrp‘𝐷)) → dom 𝐶 = {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
92, 7, 83syl 18 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → dom 𝐶 = {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
104, 9eleqtrd 2843 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
11 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊𝑤 = 𝑊)
12 dmeq 5914 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
13 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊𝐷 = 𝐷)
1411, 12, 13f1eq123d 6840 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
1514elrab 3692 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
1610, 15sylib 218 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
1716simpld 494 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
1816simprd 495 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → 𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
191, 2, 17, 18tocycfv 33129 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → (𝐶𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
2019adantr 480 . . 3 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (𝐶𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
21 hasheq0 14402 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1})) → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
223, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
2322biimpa 476 . . . 4 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → 𝑊 = ∅)
24 rneq 5947 . . . . . . . . . 10 (𝑊 = ∅ → ran 𝑊 = ran ∅)
25 rn0 5936 . . . . . . . . . 10 ran ∅ = ∅
2624, 25eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (𝑊 = ∅ → ran 𝑊 = ∅)
2726difeq2d 4126 . . . . . . . 8 (𝑊 = ∅ → (𝐷 ∖ ran 𝑊) = (𝐷 ∖ ∅))
28 dif0 4378 . . . . . . . 8 (𝐷 ∖ ∅) = 𝐷
2927, 28eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝑊 = ∅ → (𝐷 ∖ ran 𝑊) = 𝐷)
3029reseq2d 5997 . . . . . 6 (𝑊 = ∅ → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
31 cnveq 5884 . . . . . . . . 9 (𝑊 = ∅ → 𝑊 = ∅)
32 cnv0 6160 . . . . . . . . 9 ∅ = ∅
3331, 32eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (𝑊 = ∅ → 𝑊 = ∅)
3433coeq2d 5873 . . . . . . 7 (𝑊 = ∅ → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ∅))
35 co02 6280 . . . . . . 7 ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ∅) = ∅
3634, 35eqtrdi 2793 . . . . . 6 (𝑊 = ∅ → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) = ∅)
3730, 36uneq12d 4169 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)) = (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅))
38 un0 4394 . . . . 5 (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅) = ( I ↾ 𝐷)
3937, 38eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑊 = ∅ → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
4023, 39syl 17 . . 3 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
4120, 40eqtrd 2777 . 2 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (𝐶𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
4219adantr 480 . . 3 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝐶𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
4317adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
44 1zzd 12648 . . . . . . 7 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 1 ∈ ℤ)
45 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (♯‘𝑊) = 1)
46 1cshid 32944 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊)
4743, 44, 45, 46syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊)
4847coeq1d 5872 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) = (𝑊𝑊))
49 wrdf 14557 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
50 ffun 6739 . . . . . 6 (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷 → Fun 𝑊)
51 funcocnv2 6873 . . . . . 6 (Fun 𝑊 → (𝑊𝑊) = ( I ↾ ran 𝑊))
5243, 49, 50, 514syl 19 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊𝑊) = ( I ↾ ran 𝑊))
5348, 52eqtrd 2777 . . . 4 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) = ( I ↾ ran 𝑊))
5453uneq2d 4168 . . 3 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ( I ↾ ran 𝑊)))
55 resundi 6011 . . . 4 ( I ↾ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ( I ↾ ran 𝑊))
56 frn 6743 . . . . . . 7 (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷 → ran 𝑊𝐷)
57 undifr 4483 . . . . . . 7 (ran 𝑊𝐷 ↔ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊) = 𝐷)
5856, 57sylib 218 . . . . . 6 (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷 → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊) = 𝐷)
5943, 49, 583syl 18 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊) = 𝐷)
6059reseq2d 5997 . . . 4 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ( I ↾ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
6155, 60eqtr3id 2791 . . 3 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ( I ↾ ran 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
6242, 54, 613eqtrd 2781 . 2 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝐶𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
633elin2d 4205 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ (♯ “ {0, 1}))
64 hashf 14377 . . . . . 6 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
65 ffn 6736 . . . . . 6 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
66 elpreima 7078 . . . . . 6 (♯ Fn V → (𝑊 ∈ (♯ “ {0, 1}) ↔ (𝑊 ∈ V ∧ (♯‘𝑊) ∈ {0, 1})))
6764, 65, 66mp2b 10 . . . . 5 (𝑊 ∈ (♯ “ {0, 1}) ↔ (𝑊 ∈ V ∧ (♯‘𝑊) ∈ {0, 1}))
6863, 67sylib 218 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → (𝑊 ∈ V ∧ (♯‘𝑊) ∈ {0, 1}))
6968simprd 495 . . 3 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → (♯‘𝑊) ∈ {0, 1})
70 elpri 4649 . . 3 ((♯‘𝑊) ∈ {0, 1} → ((♯‘𝑊) = 0 ∨ (♯‘𝑊) = 1))
7169, 70syl 17 . 2 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → ((♯‘𝑊) = 0 ∨ (♯‘𝑊) = 1))
7241, 62, 71mpjaodan 961 1 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → (𝐶𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {csn 4626  {cpr 4628   I cid 5577  ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  cima 5688  ccom 5689  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  wf 6557  1-1wf1 6558  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  +∞cpnf 11292  0cn0 12526  cz 12613  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552   cyclShift ccsh 14826  Basecbs 17247  SymGrpcsymg 19386  toCycctocyc 33126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-csh 14827  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-efmnd 18882  df-symg 19387  df-tocyc 33127
This theorem is referenced by:  tocyccntz  33164
  Copyright terms: Public domain W3C validator