Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tocyc01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tocyc01 32016
Description: Permutation cycles built from the empty set or a singleton are the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Nov-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
tocyc01.1 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
tocyc01 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = ( I β†Ύ 𝐷))

Proof of Theorem tocyc01
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tocyc01.1 . . . . 5 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
2 simpl 484 . . . . 5 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
3 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})))
43elin1d 4159 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ π‘Š ∈ dom 𝐢)
5 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (SymGrpβ€˜π·) = (SymGrpβ€˜π·)
6 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π·)) = (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π·))
71, 5, 6tocycf 32015 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π·)))
8 fdm 6678 . . . . . . . . 9 (𝐢:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π·)) β†’ dom 𝐢 = {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
92, 7, 83syl 18 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ dom 𝐢 = {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
104, 9eleqtrd 2836 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
11 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝑀 = π‘Š)
12 dmeq 5860 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘Š β†’ dom 𝑀 = dom π‘Š)
13 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝐷 = 𝐷)
1411, 12, 13f1eq123d 6777 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘Š β†’ (𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷 ↔ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
1514elrab 3646 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ↔ (π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
1610, 15sylib 217 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
1716simpld 496 . . . . 5 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
1816simprd 497 . . . . 5 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
191, 2, 17, 18tocycfv 32007 . . . 4 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
2019adantr 482 . . 3 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 0) β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
21 hasheq0 14269 . . . . . 6 (π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = 0 ↔ π‘Š = βˆ…))
223, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = 0 ↔ π‘Š = βˆ…))
2322biimpa 478 . . . 4 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 0) β†’ π‘Š = βˆ…)
24 rneq 5892 . . . . . . . . . 10 (π‘Š = βˆ… β†’ ran π‘Š = ran βˆ…)
25 rn0 5882 . . . . . . . . . 10 ran βˆ… = βˆ…
2624, 25eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (π‘Š = βˆ… β†’ ran π‘Š = βˆ…)
2726difeq2d 4083 . . . . . . . 8 (π‘Š = βˆ… β†’ (𝐷 βˆ– ran π‘Š) = (𝐷 βˆ– βˆ…))
28 dif0 4333 . . . . . . . 8 (𝐷 βˆ– βˆ…) = 𝐷
2927, 28eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (π‘Š = βˆ… β†’ (𝐷 βˆ– ran π‘Š) = 𝐷)
3029reseq2d 5938 . . . . . 6 (π‘Š = βˆ… β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) = ( I β†Ύ 𝐷))
31 cnveq 5830 . . . . . . . . 9 (π‘Š = βˆ… β†’ β—‘π‘Š = β—‘βˆ…)
32 cnv0 6094 . . . . . . . . 9 β—‘βˆ… = βˆ…
3331, 32eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (π‘Š = βˆ… β†’ β—‘π‘Š = βˆ…)
3433coeq2d 5819 . . . . . . 7 (π‘Š = βˆ… β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ βˆ…))
35 co02 6213 . . . . . . 7 ((π‘Š cyclShift 1) ∘ βˆ…) = βˆ…
3634, 35eqtrdi 2789 . . . . . 6 (π‘Š = βˆ… β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) = βˆ…)
3730, 36uneq12d 4125 . . . . 5 (π‘Š = βˆ… β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)) = (( I β†Ύ 𝐷) βˆͺ βˆ…))
38 un0 4351 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝐷) βˆͺ βˆ…) = ( I β†Ύ 𝐷)
3937, 38eqtrdi 2789 . . . 4 (π‘Š = βˆ… β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)) = ( I β†Ύ 𝐷))
4023, 39syl 17 . . 3 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 0) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)) = ( I β†Ύ 𝐷))
4120, 40eqtrd 2773 . 2 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 0) β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = ( I β†Ύ 𝐷))
4219adantr 482 . . 3 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
4317adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
44 1zzd 12539 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ 1 ∈ β„€)
45 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 1)
46 1cshid 31862 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (π‘Š cyclShift 1) = π‘Š)
4743, 44, 45, 46syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (π‘Š cyclShift 1) = π‘Š)
4847coeq1d 5818 . . . . 5 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) = (π‘Š ∘ β—‘π‘Š))
49 wrdf 14413 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
50 ffun 6672 . . . . . 6 (π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷 β†’ Fun π‘Š)
51 funcocnv2 6810 . . . . . 6 (Fun π‘Š β†’ (π‘Š ∘ β—‘π‘Š) = ( I β†Ύ ran π‘Š))
5243, 49, 50, 514syl 19 . . . . 5 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (π‘Š ∘ β—‘π‘Š) = ( I β†Ύ ran π‘Š))
5348, 52eqtrd 2773 . . . 4 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) = ( I β†Ύ ran π‘Š))
5453uneq2d 4124 . . 3 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ( I β†Ύ ran π‘Š)))
55 resundi 5952 . . . 4 ( I β†Ύ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ( I β†Ύ ran π‘Š))
56 frn 6676 . . . . . . 7 (π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷 β†’ ran π‘Š βŠ† 𝐷)
57 undifr 31494 . . . . . . 7 (ran π‘Š βŠ† 𝐷 ↔ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š) = 𝐷)
5856, 57sylib 217 . . . . . 6 (π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷 β†’ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š) = 𝐷)
5943, 49, 583syl 18 . . . . 5 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š) = 𝐷)
6059reseq2d 5938 . . . 4 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ ( I β†Ύ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)) = ( I β†Ύ 𝐷))
6155, 60eqtr3id 2787 . . 3 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ( I β†Ύ ran π‘Š)) = ( I β†Ύ 𝐷))
6242, 54, 613eqtrd 2777 . 2 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = ( I β†Ύ 𝐷))
633elin2d 4160 . . . . 5 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ π‘Š ∈ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))
64 hashf 14244 . . . . . 6 β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞})
65 ffn 6669 . . . . . 6 (β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ β™― Fn V)
66 elpreima 7009 . . . . . 6 (β™― Fn V β†’ (π‘Š ∈ (β—‘β™― β€œ {0, 1}) ↔ (π‘Š ∈ V ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ {0, 1})))
6764, 65, 66mp2b 10 . . . . 5 (π‘Š ∈ (β—‘β™― β€œ {0, 1}) ↔ (π‘Š ∈ V ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ {0, 1}))
6863, 67sylib 217 . . . 4 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ (π‘Š ∈ V ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ {0, 1}))
6968simprd 497 . . 3 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ {0, 1})
70 elpri 4609 . . 3 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ {0, 1} β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = 0 ∨ (β™―β€˜π‘Š) = 1))
7169, 70syl 17 . 2 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = 0 ∨ (β™―β€˜π‘Š) = 1))
7241, 62, 71mpjaodan 958 1 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = ( I β†Ύ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  {csn 4587  {cpr 4589   I cid 5531  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637   ∘ ccom 5638  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“1-1β†’wf1 6494  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057  +∞cpnf 11191  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  ..^cfzo 13573  β™―chash 14236  Word cword 14408   cyclShift ccsh 14682  Basecbs 17088  SymGrpcsymg 19153  toCycctocyc 32004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-substr 14535  df-pfx 14565  df-csh 14683  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-tset 17157  df-efmnd 18684  df-symg 19154  df-tocyc 32005
This theorem is referenced by:  tocyccntz  32042
  Copyright terms: Public domain W3C validator