Theorem tocyc01 33082

Description: Permutation cycles built from the empty set or a singleton are the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Nov-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
tocyc01.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tocyc01	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (𝐶‘𝑊) = ( I ↾ 𝐷))

Proof of Theorem tocyc01

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocyc01.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1})))
4	3	elin1d 4170	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ dom 𝐶)
5		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
6		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝐷)) = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
7	1, 5, 6	tocycf 33081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘(SymGrp‘𝐷)))
8		fdm 6700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘(SymGrp‘𝐷)) → dom 𝐶 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
9	2, 7, 8	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → dom 𝐶 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
10	4, 9	eleqtrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
11		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
12		dmeq 5870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
13		eqidd 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
14	11, 12, 13	f1eq123d 6795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
15	14	elrab 3662	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
16	10, 15	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
17	16	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
18	16	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
19	1, 2, 17, 18	tocycfv 33073	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
21		hasheq0 14335	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1})) → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
22	3, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
23	22	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → 𝑊 = ∅)
24		rneq 5903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 = ∅ → ran 𝑊 = ran ∅)
25		rn0 5892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran ∅ = ∅
26	24, 25	eqtrdi 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 = ∅ → ran 𝑊 = ∅)
27	26	difeq2d 4092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐷 ∖ ran 𝑊) = (𝐷 ∖ ∅))
28		dif0 4344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∖ ∅) = 𝐷
29	27, 28	eqtrdi 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐷 ∖ ran 𝑊) = 𝐷)
30	29	reseq2d 5953	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
31		cnveq 5840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 = ∅ → ◡𝑊 = ◡∅)
32		cnv0 6116	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡∅ = ∅
33	31, 32	eqtrdi 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → ◡𝑊 = ∅)
34	33	coeq2d 5829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ∅))
35		co02 6236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ∅) = ∅
36	34, 35	eqtrdi 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) = ∅)
37	30, 36	uneq12d 4135	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) = (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅))
38		un0 4360	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅) = ( I ↾ 𝐷)
39	37, 38	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
40	23, 39	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
41	20, 40	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (𝐶‘𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
42	19	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
43	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
44		1zzd 12571	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 1 ∈ ℤ)
45		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (♯‘𝑊) = 1)
46		1cshid 32888	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊)
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊)
48	47	coeq1d 5828	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) = (𝑊 ∘ ◡𝑊))
49		wrdf 14490	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
50		ffun 6694	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷 → Fun 𝑊)
51		funcocnv2 6828	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝑊 → (𝑊 ∘ ◡𝑊) = ( I ↾ ran 𝑊))
52	43, 49, 50, 51	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 ∘ ◡𝑊) = ( I ↾ ran 𝑊))
53	48, 52	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) = ( I ↾ ran 𝑊))
54	53	uneq2d 4134	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ( I ↾ ran 𝑊)))
55		resundi 5967	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ( I ↾ ran 𝑊))
56		frn 6698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷 → ran 𝑊 ⊆ 𝐷)
57		undifr 4449	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝑊 ⊆ 𝐷 ↔ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊) = 𝐷)
58	56, 57	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷 → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊) = 𝐷)
59	43, 49, 58	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊) = 𝐷)
60	59	reseq2d 5953	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ( I ↾ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
61	55, 60	eqtr3id 2779	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ( I ↾ ran 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
62	42, 54, 61	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝐶‘𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
63	3	elin2d 4171	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ (◡♯ “ {0, 1}))
64		hashf 14310	. . . . . 6 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
65		ffn 6691	. . . . . 6 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
66		elpreima 7033	. . . . . 6 ⊢ (♯ Fn V → (𝑊 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ (𝑊 ∈ V ∧ (♯‘𝑊) ∈ {0, 1})))
67	64, 65, 66	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ (𝑊 ∈ V ∧ (♯‘𝑊) ∈ {0, 1}))
68	63, 67	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (𝑊 ∈ V ∧ (♯‘𝑊) ∈ {0, 1}))
69	68	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (♯‘𝑊) ∈ {0, 1})
70		elpri 4616	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ {0, 1} → ((♯‘𝑊) = 0 ∨ (♯‘𝑊) = 1))
71	69, 70	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → ((♯‘𝑊) = 0 ∨ (♯‘𝑊) = 1))
72	41, 62, 71	mpjaodan 960	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (𝐶‘𝑊) = ( I ↾ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  {csn 4592  {cpr 4594   I cid 5535  ^◡ccnv 5640  dom cdm 5641  ran crn 5642   ↾ cres 5643   “ cima 5644   ∘ ccom 5645  Fun wfun 6508   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  –1-1→wf1 6511  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076  +∞cpnf 11212  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485   cyclShift ccsh 14760  Basecbs 17186  SymGrpcsymg 19306  toCycctocyc 33070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-substr 14613  df-pfx 14643  df-csh 14761  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-tset 17246  df-efmnd 18803  df-symg 19307  df-tocyc 33071

This theorem is referenced by:  tocyccntz  33108