Theorem tocyc01 33194

Description: Permutation cycles built from the empty set or a singleton are the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Nov-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
tocyc01.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tocyc01	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (𝐶‘𝑊) = ( I ↾ 𝐷))

Proof of Theorem tocyc01

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocyc01.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1})))
4	3	elin1d 4145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ dom 𝐶)
5		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
6		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝐷)) = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
7	1, 5, 6	tocycf 33193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘(SymGrp‘𝐷)))
8		fdm 6671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘(SymGrp‘𝐷)) → dom 𝐶 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
9	2, 7, 8	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → dom 𝐶 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
10	4, 9	eleqtrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
11		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
12		dmeq 5852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
13		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
14	11, 12, 13	f1eq123d 6766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
15	14	elrab 3635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
16	10, 15	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
17	16	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
18	16	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
19	1, 2, 17, 18	tocycfv 33185	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
21		hasheq0 14316	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1})) → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
22	3, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
23	22	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → 𝑊 = ∅)
24		rneq 5885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 = ∅ → ran 𝑊 = ran ∅)
25		rn0 5875	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran ∅ = ∅
26	24, 25	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 = ∅ → ran 𝑊 = ∅)
27	26	difeq2d 4067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐷 ∖ ran 𝑊) = (𝐷 ∖ ∅))
28		dif0 4319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∖ ∅) = 𝐷
29	27, 28	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐷 ∖ ran 𝑊) = 𝐷)
30	29	reseq2d 5938	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
31		cnveq 5822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 = ∅ → ◡𝑊 = ◡∅)
32		cnv0 6097	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡∅ = ∅
33	31, 32	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → ◡𝑊 = ∅)
34	33	coeq2d 5811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ∅))
35		co02 6219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ∅) = ∅
36	34, 35	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) = ∅)
37	30, 36	uneq12d 4110	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) = (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅))
38		un0 4335	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅) = ( I ↾ 𝐷)
39	37, 38	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
40	23, 39	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
41	20, 40	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (𝐶‘𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
42	19	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
43	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
44		1zzd 12549	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 1 ∈ ℤ)
45		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (♯‘𝑊) = 1)
46		1cshid 33034	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊)
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊)
48	47	coeq1d 5810	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) = (𝑊 ∘ ◡𝑊))
49		wrdf 14471	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
50		ffun 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷 → Fun 𝑊)
51		funcocnv2 6799	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝑊 → (𝑊 ∘ ◡𝑊) = ( I ↾ ran 𝑊))
52	43, 49, 50, 51	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 ∘ ◡𝑊) = ( I ↾ ran 𝑊))
53	48, 52	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) = ( I ↾ ran 𝑊))
54	53	uneq2d 4109	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ( I ↾ ran 𝑊)))
55		resundi 5952	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ( I ↾ ran 𝑊))
56		frn 6669	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷 → ran 𝑊 ⊆ 𝐷)
57		undifr 4424	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝑊 ⊆ 𝐷 ↔ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊) = 𝐷)
58	56, 57	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷 → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊) = 𝐷)
59	43, 49, 58	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊) = 𝐷)
60	59	reseq2d 5938	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ( I ↾ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
61	55, 60	eqtr3id 2786	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ( I ↾ ran 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
62	42, 54, 61	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝐶‘𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
63	3	elin2d 4146	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ (◡♯ “ {0, 1}))
64		hashf 14291	. . . . . 6 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
65		ffn 6662	. . . . . 6 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
66		elpreima 7004	. . . . . 6 ⊢ (♯ Fn V → (𝑊 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ (𝑊 ∈ V ∧ (♯‘𝑊) ∈ {0, 1})))
67	64, 65, 66	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ (𝑊 ∈ V ∧ (♯‘𝑊) ∈ {0, 1}))
68	63, 67	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (𝑊 ∈ V ∧ (♯‘𝑊) ∈ {0, 1}))
69	68	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (♯‘𝑊) ∈ {0, 1})
70		elpri 4592	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ {0, 1} → ((♯‘𝑊) = 0 ∨ (♯‘𝑊) = 1))
71	69, 70	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → ((♯‘𝑊) = 0 ∨ (♯‘𝑊) = 1))
72	41, 62, 71	mpjaodan 961	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (𝐶‘𝑊) = ( I ↾ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568  {cpr 4570   I cid 5518  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624  ran crn 5625   ↾ cres 5626   “ cima 5627   ∘ ccom 5628  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  –1-1→wf1 6489  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030  +∞cpnf 11167  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283  Word cword 14466   cyclShift ccsh 14741  Basecbs 17170  SymGrpcsymg 19335  toCycctocyc 33182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-csh 14742  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-tset 17230  df-efmnd 18828  df-symg 19336  df-tocyc 33183

This theorem is referenced by:  tocyccntz  33220