Theorem tocyc01 33120

Description: Permutation cycles built from the empty set or a singleton are the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Nov-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
tocyc01.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tocyc01	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (𝐶‘𝑊) = ( I ↾ 𝐷))

Proof of Theorem tocyc01

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocyc01.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1})))
4	3	elin1d 4213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ dom 𝐶)
5		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
6		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝐷)) = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
7	1, 5, 6	tocycf 33119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘(SymGrp‘𝐷)))
8		fdm 6745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘(SymGrp‘𝐷)) → dom 𝐶 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
9	2, 7, 8	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → dom 𝐶 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
10	4, 9	eleqtrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
11		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
12		dmeq 5916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
13		eqidd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
14	11, 12, 13	f1eq123d 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
15	14	elrab 3694	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
16	10, 15	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
17	16	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
18	16	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
19	1, 2, 17, 18	tocycfv 33111	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
21		hasheq0 14398	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1})) → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
22	3, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
23	22	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → 𝑊 = ∅)
24		rneq 5949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 = ∅ → ran 𝑊 = ran ∅)
25		rn0 5938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran ∅ = ∅
26	24, 25	eqtrdi 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 = ∅ → ran 𝑊 = ∅)
27	26	difeq2d 4135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐷 ∖ ran 𝑊) = (𝐷 ∖ ∅))
28		dif0 4383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∖ ∅) = 𝐷
29	27, 28	eqtrdi 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐷 ∖ ran 𝑊) = 𝐷)
30	29	reseq2d 5999	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
31		cnveq 5886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 = ∅ → ◡𝑊 = ◡∅)
32		cnv0 6162	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡∅ = ∅
33	31, 32	eqtrdi 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → ◡𝑊 = ∅)
34	33	coeq2d 5875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ∅))
35		co02 6281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ∅) = ∅
36	34, 35	eqtrdi 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) = ∅)
37	30, 36	uneq12d 4178	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) = (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅))
38		un0 4399	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅) = ( I ↾ 𝐷)
39	37, 38	eqtrdi 2790	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
40	23, 39	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
41	20, 40	eqtrd 2774	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (𝐶‘𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
42	19	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
43	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
44		1zzd 12645	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 1 ∈ ℤ)
45		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (♯‘𝑊) = 1)
46		1cshid 32928	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊)
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊)
48	47	coeq1d 5874	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) = (𝑊 ∘ ◡𝑊))
49		wrdf 14553	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
50		ffun 6739	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷 → Fun 𝑊)
51		funcocnv2 6873	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝑊 → (𝑊 ∘ ◡𝑊) = ( I ↾ ran 𝑊))
52	43, 49, 50, 51	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 ∘ ◡𝑊) = ( I ↾ ran 𝑊))
53	48, 52	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) = ( I ↾ ran 𝑊))
54	53	uneq2d 4177	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ( I ↾ ran 𝑊)))
55		resundi 6013	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ( I ↾ ran 𝑊))
56		frn 6743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷 → ran 𝑊 ⊆ 𝐷)
57		undifr 4488	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝑊 ⊆ 𝐷 ↔ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊) = 𝐷)
58	56, 57	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷 → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊) = 𝐷)
59	43, 49, 58	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊) = 𝐷)
60	59	reseq2d 5999	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ( I ↾ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
61	55, 60	eqtr3id 2788	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ( I ↾ ran 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
62	42, 54, 61	3eqtrd 2778	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝐶‘𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
63	3	elin2d 4214	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ (◡♯ “ {0, 1}))
64		hashf 14373	. . . . . 6 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
65		ffn 6736	. . . . . 6 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
66		elpreima 7077	. . . . . 6 ⊢ (♯ Fn V → (𝑊 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ (𝑊 ∈ V ∧ (♯‘𝑊) ∈ {0, 1})))
67	64, 65, 66	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ (𝑊 ∈ V ∧ (♯‘𝑊) ∈ {0, 1}))
68	63, 67	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (𝑊 ∈ V ∧ (♯‘𝑊) ∈ {0, 1}))
69	68	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (♯‘𝑊) ∈ {0, 1})
70		elpri 4653	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ {0, 1} → ((♯‘𝑊) = 0 ∨ (♯‘𝑊) = 1))
71	69, 70	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → ((♯‘𝑊) = 0 ∨ (♯‘𝑊) = 1))
72	41, 62, 71	mpjaodan 960	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (𝐶‘𝑊) = ( I ↾ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  {crab 3432  Vcvv 3477   ∖ cdif 3959   ∪ cun 3960   ∩ cin 3961   ⊆ wss 3962  ∅c0 4338  {csn 4630  {cpr 4632   I cid 5581  ^◡ccnv 5687  dom cdm 5688  ran crn 5689   ↾ cres 5690   “ cima 5691   ∘ ccom 5692  Fun wfun 6556   Fn wfn 6557  ⟶wf 6558  –1-1→wf1 6559  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153  +∞cpnf 11289  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610  ..^cfzo 13690  ♯chash 14365  Word cword 14548   cyclShift ccsh 14822  Basecbs 17244  SymGrpcsymg 19400  toCycctocyc 33108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-hash 14366  df-word 14549  df-concat 14605  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-csh 14823  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-efmnd 18894  df-symg 19401  df-tocyc 33109

This theorem is referenced by:  tocyccntz  33146