Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tocyc01 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tocyc01 32547
Description: Permutation cycles built from the empty set or a singleton are the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Nov-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
tocyc01.1 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
tocyc01 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = ( I β†Ύ 𝐷))
Proof of Theorem tocyc01
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tocyc01.1 . . . . 5 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
2 simpl 481 . . . . 5 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
3 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})))
43elin1d 4197 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ π‘Š ∈ dom 𝐢)
5 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (SymGrpβ€˜π·) = (SymGrpβ€˜π·)
6 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π·)) = (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π·))
71, 5, 6tocycf 32546 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π·)))
8 fdm 6725 . . . . . . . . 9 (𝐢:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π·)) β†’ dom 𝐢 = {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
92, 7, 83syl 18 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ dom 𝐢 = {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
104, 9eleqtrd 2833 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
11 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝑀 = π‘Š)
12 dmeq 5902 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘Š β†’ dom 𝑀 = dom π‘Š)
13 eqidd 2731 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝐷 = 𝐷)
1411, 12, 13f1eq123d 6824 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘Š β†’ (𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷 ↔ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
1514elrab 3682 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ↔ (π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
1610, 15sylib 217 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
1716simpld 493 . . . . 5 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
1816simprd 494 . . . . 5 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
191, 2, 17, 18tocycfv 32538 . . . 4 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
2019adantr 479 . . 3 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 0) β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
21 hasheq0 14327 . . . . . 6 (π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = 0 ↔ π‘Š = βˆ…))
223, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = 0 ↔ π‘Š = βˆ…))
2322biimpa 475 . . . 4 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 0) β†’ π‘Š = βˆ…)
24 rneq 5934 . . . . . . . . . 10 (π‘Š = βˆ… β†’ ran π‘Š = ran βˆ…)
25 rn0 5924 . . . . . . . . . 10 ran βˆ… = βˆ…
2624, 25eqtrdi 2786 . . . . . . . . 9 (π‘Š = βˆ… β†’ ran π‘Š = βˆ…)
2726difeq2d 4121 . . . . . . . 8 (π‘Š = βˆ… β†’ (𝐷 βˆ– ran π‘Š) = (𝐷 βˆ– βˆ…))
28 dif0 4371 . . . . . . . 8 (𝐷 βˆ– βˆ…) = 𝐷
2927, 28eqtrdi 2786 . . . . . . 7 (π‘Š = βˆ… β†’ (𝐷 βˆ– ran π‘Š) = 𝐷)
3029reseq2d 5980 . . . . . 6 (π‘Š = βˆ… β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) = ( I β†Ύ 𝐷))
31 cnveq 5872 . . . . . . . . 9 (π‘Š = βˆ… β†’ β—‘π‘Š = β—‘βˆ…)
32 cnv0 6139 . . . . . . . . 9 β—‘βˆ… = βˆ…
3331, 32eqtrdi 2786 . . . . . . . 8 (π‘Š = βˆ… β†’ β—‘π‘Š = βˆ…)
3433coeq2d 5861 . . . . . . 7 (π‘Š = βˆ… β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ βˆ…))
35 co02 6258 . . . . . . 7 ((π‘Š cyclShift 1) ∘ βˆ…) = βˆ…
3634, 35eqtrdi 2786 . . . . . 6 (π‘Š = βˆ… β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) = βˆ…)
3730, 36uneq12d 4163 . . . . 5 (π‘Š = βˆ… β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)) = (( I β†Ύ 𝐷) βˆͺ βˆ…))
38 un0 4389 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝐷) βˆͺ βˆ…) = ( I β†Ύ 𝐷)
3937, 38eqtrdi 2786 . . . 4 (π‘Š = βˆ… β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)) = ( I β†Ύ 𝐷))
4023, 39syl 17 . . 3 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 0) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)) = ( I β†Ύ 𝐷))
4120, 40eqtrd 2770 . 2 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 0) β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = ( I β†Ύ 𝐷))
4219adantr 479 . . 3 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
4317adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
44 1zzd 12597 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ 1 ∈ β„€)
45 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 1)
46 1cshid 32390 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (π‘Š cyclShift 1) = π‘Š)
4743, 44, 45, 46syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (π‘Š cyclShift 1) = π‘Š)
4847coeq1d 5860 . . . . 5 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) = (π‘Š ∘ β—‘π‘Š))
49 wrdf 14473 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
50 ffun 6719 . . . . . 6 (π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷 β†’ Fun π‘Š)
51 funcocnv2 6857 . . . . . 6 (Fun π‘Š β†’ (π‘Š ∘ β—‘π‘Š) = ( I β†Ύ ran π‘Š))
5243, 49, 50, 514syl 19 . . . . 5 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (π‘Š ∘ β—‘π‘Š) = ( I β†Ύ ran π‘Š))
5348, 52eqtrd 2770 . . . 4 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) = ( I β†Ύ ran π‘Š))
5453uneq2d 4162 . . 3 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ( I β†Ύ ran π‘Š)))
55 resundi 5994 . . . 4 ( I β†Ύ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ( I β†Ύ ran π‘Š))
56 frn 6723 . . . . . . 7 (π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷 β†’ ran π‘Š βŠ† 𝐷)
57 undifr 4481 . . . . . . 7 (ran π‘Š βŠ† 𝐷 ↔ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š) = 𝐷)
5856, 57sylib 217 . . . . . 6 (π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷 β†’ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š) = 𝐷)
5943, 49, 583syl 18 . . . . 5 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š) = 𝐷)
6059reseq2d 5980 . . . 4 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ ( I β†Ύ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)) = ( I β†Ύ 𝐷))
6155, 60eqtr3id 2784 . . 3 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ( I β†Ύ ran π‘Š)) = ( I β†Ύ 𝐷))
6242, 54, 613eqtrd 2774 . 2 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = ( I β†Ύ 𝐷))
633elin2d 4198 . . . . 5 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ π‘Š ∈ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))
64 hashf 14302 . . . . . 6 β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞})
65 ffn 6716 . . . . . 6 (β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ β™― Fn V)
66 elpreima 7058 . . . . . 6 (β™― Fn V β†’ (π‘Š ∈ (β—‘β™― β€œ {0, 1}) ↔ (π‘Š ∈ V ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ {0, 1})))
6764, 65, 66mp2b 10 . . . . 5 (π‘Š ∈ (β—‘β™― β€œ {0, 1}) ↔ (π‘Š ∈ V ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ {0, 1}))
6863, 67sylib 217 . . . 4 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ (π‘Š ∈ V ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ {0, 1}))
6968simprd 494 . . 3 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ {0, 1})
70 elpri 4649 . . 3 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ {0, 1} β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = 0 ∨ (β™―β€˜π‘Š) = 1))
7169, 70syl 17 . 2 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = 0 ∨ (β™―β€˜π‘Š) = 1))
7241, 62, 71mpjaodan 955 1 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = ( I β†Ύ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627  {cpr 4629   I cid 5572  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“1-1β†’wf1 6539  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113  +∞cpnf 11249  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  ..^cfzo 13631  β™―chash 14294  Word cword 14468   cyclShift ccsh 14742  Basecbs 17148  SymGrpcsymg 19275  toCycctocyc 32535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-csh 14743  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-tset 17220  df-efmnd 18786  df-symg 19276  df-tocyc 32536
This theorem is referenced by:  tocyccntz  32573
  Copyright terms: Public domain W3C validator