Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tocyc01 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tocyc01 32277
Description: Permutation cycles built from the empty set or a singleton are the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Nov-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
tocyc01.1 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
tocyc01 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = ( I β†Ύ 𝐷))
Proof of Theorem tocyc01
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tocyc01.1 . . . . 5 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
2 simpl 484 . . . . 5 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
3 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})))
43elin1d 4199 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ π‘Š ∈ dom 𝐢)
5 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (SymGrpβ€˜π·) = (SymGrpβ€˜π·)
6 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π·)) = (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π·))
71, 5, 6tocycf 32276 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π·)))
8 fdm 6727 . . . . . . . . 9 (𝐢:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π·)) β†’ dom 𝐢 = {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
92, 7, 83syl 18 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ dom 𝐢 = {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
104, 9eleqtrd 2836 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
11 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝑀 = π‘Š)
12 dmeq 5904 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘Š β†’ dom 𝑀 = dom π‘Š)
13 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝐷 = 𝐷)
1411, 12, 13f1eq123d 6826 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘Š β†’ (𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷 ↔ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
1514elrab 3684 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ↔ (π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
1610, 15sylib 217 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
1716simpld 496 . . . . 5 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
1816simprd 497 . . . . 5 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
191, 2, 17, 18tocycfv 32268 . . . 4 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
2019adantr 482 . . 3 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 0) β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
21 hasheq0 14323 . . . . . 6 (π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = 0 ↔ π‘Š = βˆ…))
223, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = 0 ↔ π‘Š = βˆ…))
2322biimpa 478 . . . 4 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 0) β†’ π‘Š = βˆ…)
24 rneq 5936 . . . . . . . . . 10 (π‘Š = βˆ… β†’ ran π‘Š = ran βˆ…)
25 rn0 5926 . . . . . . . . . 10 ran βˆ… = βˆ…
2624, 25eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (π‘Š = βˆ… β†’ ran π‘Š = βˆ…)
2726difeq2d 4123 . . . . . . . 8 (π‘Š = βˆ… β†’ (𝐷 βˆ– ran π‘Š) = (𝐷 βˆ– βˆ…))
28 dif0 4373 . . . . . . . 8 (𝐷 βˆ– βˆ…) = 𝐷
2927, 28eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (π‘Š = βˆ… β†’ (𝐷 βˆ– ran π‘Š) = 𝐷)
3029reseq2d 5982 . . . . . 6 (π‘Š = βˆ… β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) = ( I β†Ύ 𝐷))
31 cnveq 5874 . . . . . . . . 9 (π‘Š = βˆ… β†’ β—‘π‘Š = β—‘βˆ…)
32 cnv0 6141 . . . . . . . . 9 β—‘βˆ… = βˆ…
3331, 32eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (π‘Š = βˆ… β†’ β—‘π‘Š = βˆ…)
3433coeq2d 5863 . . . . . . 7 (π‘Š = βˆ… β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ βˆ…))
35 co02 6260 . . . . . . 7 ((π‘Š cyclShift 1) ∘ βˆ…) = βˆ…
3634, 35eqtrdi 2789 . . . . . 6 (π‘Š = βˆ… β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) = βˆ…)
3730, 36uneq12d 4165 . . . . 5 (π‘Š = βˆ… β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)) = (( I β†Ύ 𝐷) βˆͺ βˆ…))
38 un0 4391 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝐷) βˆͺ βˆ…) = ( I β†Ύ 𝐷)
3937, 38eqtrdi 2789 . . . 4 (π‘Š = βˆ… β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)) = ( I β†Ύ 𝐷))
4023, 39syl 17 . . 3 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 0) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)) = ( I β†Ύ 𝐷))
4120, 40eqtrd 2773 . 2 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 0) β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = ( I β†Ύ 𝐷))
4219adantr 482 . . 3 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
4317adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
44 1zzd 12593 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ 1 ∈ β„€)
45 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 1)
46 1cshid 32123 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (π‘Š cyclShift 1) = π‘Š)
4743, 44, 45, 46syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (π‘Š cyclShift 1) = π‘Š)
4847coeq1d 5862 . . . . 5 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) = (π‘Š ∘ β—‘π‘Š))
49 wrdf 14469 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
50 ffun 6721 . . . . . 6 (π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷 β†’ Fun π‘Š)
51 funcocnv2 6859 . . . . . 6 (Fun π‘Š β†’ (π‘Š ∘ β—‘π‘Š) = ( I β†Ύ ran π‘Š))
5243, 49, 50, 514syl 19 . . . . 5 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (π‘Š ∘ β—‘π‘Š) = ( I β†Ύ ran π‘Š))
5348, 52eqtrd 2773 . . . 4 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) = ( I β†Ύ ran π‘Š))
5453uneq2d 4164 . . 3 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ( I β†Ύ ran π‘Š)))
55 resundi 5996 . . . 4 ( I β†Ύ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ( I β†Ύ ran π‘Š))
56 frn 6725 . . . . . . 7 (π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷 β†’ ran π‘Š βŠ† 𝐷)
57 undifr 4483 . . . . . . 7 (ran π‘Š βŠ† 𝐷 ↔ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š) = 𝐷)
5856, 57sylib 217 . . . . . 6 (π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷 β†’ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š) = 𝐷)
5943, 49, 583syl 18 . . . . 5 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š) = 𝐷)
6059reseq2d 5982 . . . 4 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ ( I β†Ύ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)) = ( I β†Ύ 𝐷))
6155, 60eqtr3id 2787 . . 3 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ( I β†Ύ ran π‘Š)) = ( I β†Ύ 𝐷))
6242, 54, 613eqtrd 2777 . 2 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = ( I β†Ύ 𝐷))
633elin2d 4200 . . . . 5 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ π‘Š ∈ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))
64 hashf 14298 . . . . . 6 β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞})
65 ffn 6718 . . . . . 6 (β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ β™― Fn V)
66 elpreima 7060 . . . . . 6 (β™― Fn V β†’ (π‘Š ∈ (β—‘β™― β€œ {0, 1}) ↔ (π‘Š ∈ V ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ {0, 1})))
6764, 65, 66mp2b 10 . . . . 5 (π‘Š ∈ (β—‘β™― β€œ {0, 1}) ↔ (π‘Š ∈ V ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ {0, 1}))
6863, 67sylib 217 . . . 4 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ (π‘Š ∈ V ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ {0, 1}))
6968simprd 497 . . 3 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ {0, 1})
70 elpri 4651 . . 3 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ {0, 1} β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = 0 ∨ (β™―β€˜π‘Š) = 1))
7169, 70syl 17 . 2 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = 0 ∨ (β™―β€˜π‘Š) = 1))
7241, 62, 71mpjaodan 958 1 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ (dom 𝐢 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = ( I β†Ύ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629  {cpr 4631   I cid 5574  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111  +∞cpnf 11245  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  ..^cfzo 13627  β™―chash 14290  Word cword 14464   cyclShift ccsh 14738  Basecbs 17144  SymGrpcsymg 19234  toCycctocyc 32265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-csh 14739  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-tset 17216  df-efmnd 18750  df-symg 19235  df-tocyc 32266
This theorem is referenced by:  tocyccntz  32303
  Copyright terms: Public domain W3C validator