Theorem tocyc01 33469

Description: Permutation cycles built from the empty set or a singleton are the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Nov-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
tocyc01.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tocyc01	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (𝐶‘𝑊) = ( I ↾ 𝐷))

Proof of Theorem tocyc01

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocyc01.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1})))
4	3	elin1d 4160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ dom 𝐶)
5		eqid 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
6		eqid 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝐷)) = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
7	1, 5, 6	tocycf 33468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘(SymGrp‘𝐷)))
8		fdm 6722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘(SymGrp‘𝐷)) → dom 𝐶 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
9	2, 7, 8	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → dom 𝐶 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
10	4, 9	eleqtrd 2868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
11		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
12		dmeq 5898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
13		eqidd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
14	11, 12, 13	f1eq123d 6819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
15	14	elrab 3653	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
16	10, 15	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
17	16	simpld 500	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
18	16	simprd 501	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
19	1, 2, 17, 18	tocycfv 33460	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
20	19	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
21		hasheq0 14419	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1})) → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
22	3, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
23	22	biimpa 482	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → 𝑊 = ∅)
24		rneq 5931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 = ∅ → ran 𝑊 = ran ∅)
25		rn0 5921	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran ∅ = ∅
26	24, 25	eqtrdi 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 = ∅ → ran 𝑊 = ∅)
27	26	difeq2d 4084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐷 ∖ ran 𝑊) = (𝐷 ∖ ∅))
28		dif0 4337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∖ ∅) = 𝐷
29	27, 28	eqtrdi 2817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐷 ∖ ran 𝑊) = 𝐷)
30	29	reseq2d 5983	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
31		cnveq 5864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 = ∅ → ◡𝑊 = ◡∅)
32		cnv0 5874	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡∅ = ∅
33	31, 32	eqtrdi 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → ◡𝑊 = ∅)
34	33	coeq2d 5853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ∅))
35		co02 6267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ∅) = ∅
36	34, 35	eqtrdi 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) = ∅)
37	30, 36	uneq12d 4126	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) = (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅))
38		un0 4354	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅) = ( I ↾ 𝐷)
39	37, 38	eqtrdi 2817	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
40	23, 39	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
41	20, 40	eqtrd 2801	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (𝐶‘𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
42	19	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
43	17	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
44		1zzd 12643	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 1 ∈ ℤ)
45		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (♯‘𝑊) = 1)
46		1cshid 33310	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊)
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊)
48	47	coeq1d 5852	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) = (𝑊 ∘ ◡𝑊))
49		wrdf 14575	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
50		ffun 6715	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷 → Fun 𝑊)
51		funcocnv2 6853	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝑊 → (𝑊 ∘ ◡𝑊) = ( I ↾ ran 𝑊))
52	43, 49, 50, 51	4syl 20	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 ∘ ◡𝑊) = ( I ↾ ran 𝑊))
53	48, 52	eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) = ( I ↾ ran 𝑊))
54	53	uneq2d 4125	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ( I ↾ ran 𝑊)))
55		resundi 5997	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ( I ↾ ran 𝑊))
56		frn 6720	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷 → ran 𝑊 ⊆ 𝐷)
57		undifr 4449	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝑊 ⊆ 𝐷 ↔ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊) = 𝐷)
58	56, 57	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷 → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊) = 𝐷)
59	43, 49, 58	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊) = 𝐷)
60	59	reseq2d 5983	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ( I ↾ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
61	55, 60	eqtr3id 2815	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ( I ↾ ran 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
62	42, 54, 61	3eqtrd 2805	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝐶‘𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
63	3	elin2d 4161	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ (◡♯ “ {0, 1}))
64		hashf 14394	. . . . . 6 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
65		ffn 6712	. . . . . 6 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
66		elpreima 7060	. . . . . 6 ⊢ (♯ Fn V → (𝑊 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ (𝑊 ∈ V ∧ (♯‘𝑊) ∈ {0, 1})))
67	64, 65, 66	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (◡♯ “ {0, 1}) ↔ (𝑊 ∈ V ∧ (♯‘𝑊) ∈ {0, 1}))
68	63, 67	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (𝑊 ∈ V ∧ (♯‘𝑊) ∈ {0, 1}))
69	68	simprd 501	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (♯‘𝑊) ∈ {0, 1})
70		elpri 4618	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ {0, 1} → ((♯‘𝑊) = 0 ∨ (♯‘𝑊) = 1))
71	69, 70	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → ((♯‘𝑊) = 0 ∨ (♯‘𝑊) = 1))
72	41, 62, 71	mpjaodan 973	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (◡♯ “ {0, 1}))) → (𝐶‘𝑊) = ( I ↾ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3419  Vcvv 3458   ∖ cdif 3905   ∪ cun 3906   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  {csn 4594  {cpr 4596   I cid 5560  ^◡ccnv 5665  dom cdm 5666  ran crn 5667   ↾ cres 5668   “ cima 5669   ∘ ccom 5670  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  –1-1→wf1 6540  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119  +∞cpnf 11258  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ..^cfzo 13701  ♯chash 14386  Word cword 14570   cyclShift ccsh 14851  Basecbs 17294  SymGrpcsymg 19470  toCycctocyc 33457

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-substr 14701  df-pfx 14733  df-csh 14852  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-tset 17354  df-efmnd 18959  df-symg 19471  df-tocyc 33458

This theorem is used by:  tocyccntz  33495