Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tocyc01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tocyc01 31104
Description: Permutation cycles built from the empty set or a singleton are the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Nov-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
tocyc01.1 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
tocyc01 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → (𝐶𝑊) = ( I ↾ 𝐷))

Proof of Theorem tocyc01
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tocyc01.1 . . . . 5 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2 simpl 486 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → 𝐷𝑉)
3 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1})))
43elin1d 4112 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ dom 𝐶)
5 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
6 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Base‘(SymGrp‘𝐷)) = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
71, 5, 6tocycf 31103 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑉𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘(SymGrp‘𝐷)))
8 fdm 6554 . . . . . . . . 9 (𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘(SymGrp‘𝐷)) → dom 𝐶 = {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
92, 7, 83syl 18 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → dom 𝐶 = {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
104, 9eleqtrd 2840 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
11 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊𝑤 = 𝑊)
12 dmeq 5772 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
13 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊𝐷 = 𝐷)
1411, 12, 13f1eq123d 6653 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
1514elrab 3602 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
1610, 15sylib 221 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
1716simpld 498 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
1816simprd 499 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → 𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
191, 2, 17, 18tocycfv 31095 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → (𝐶𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
2019adantr 484 . . 3 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (𝐶𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
21 hasheq0 13930 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1})) → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
223, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
2322biimpa 480 . . . 4 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → 𝑊 = ∅)
24 rneq 5805 . . . . . . . . . 10 (𝑊 = ∅ → ran 𝑊 = ran ∅)
25 rn0 5795 . . . . . . . . . 10 ran ∅ = ∅
2624, 25eqtrdi 2794 . . . . . . . . 9 (𝑊 = ∅ → ran 𝑊 = ∅)
2726difeq2d 4037 . . . . . . . 8 (𝑊 = ∅ → (𝐷 ∖ ran 𝑊) = (𝐷 ∖ ∅))
28 dif0 4287 . . . . . . . 8 (𝐷 ∖ ∅) = 𝐷
2927, 28eqtrdi 2794 . . . . . . 7 (𝑊 = ∅ → (𝐷 ∖ ran 𝑊) = 𝐷)
3029reseq2d 5851 . . . . . 6 (𝑊 = ∅ → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
31 cnveq 5742 . . . . . . . . 9 (𝑊 = ∅ → 𝑊 = ∅)
32 cnv0 6004 . . . . . . . . 9 ∅ = ∅
3331, 32eqtrdi 2794 . . . . . . . 8 (𝑊 = ∅ → 𝑊 = ∅)
3433coeq2d 5731 . . . . . . 7 (𝑊 = ∅ → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ∅))
35 co02 6124 . . . . . . 7 ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ∅) = ∅
3634, 35eqtrdi 2794 . . . . . 6 (𝑊 = ∅ → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) = ∅)
3730, 36uneq12d 4078 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)) = (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅))
38 un0 4305 . . . . 5 (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅) = ( I ↾ 𝐷)
3937, 38eqtrdi 2794 . . . 4 (𝑊 = ∅ → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
4023, 39syl 17 . . 3 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
4120, 40eqtrd 2777 . 2 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (𝐶𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
4219adantr 484 . . 3 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝐶𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
4317adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
44 1zzd 12208 . . . . . . 7 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 1 ∈ ℤ)
45 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (♯‘𝑊) = 1)
46 1cshid 30951 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊)
4743, 44, 45, 46syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊)
4847coeq1d 5730 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) = (𝑊𝑊))
49 wrdf 14074 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
50 ffun 6548 . . . . . 6 (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷 → Fun 𝑊)
51 funcocnv2 6685 . . . . . 6 (Fun 𝑊 → (𝑊𝑊) = ( I ↾ ran 𝑊))
5243, 49, 50, 514syl 19 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊𝑊) = ( I ↾ ran 𝑊))
5348, 52eqtrd 2777 . . . 4 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) = ( I ↾ ran 𝑊))
5453uneq2d 4077 . . 3 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ( I ↾ ran 𝑊)))
55 resundi 5865 . . . 4 ( I ↾ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ( I ↾ ran 𝑊))
56 frn 6552 . . . . . . 7 (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷 → ran 𝑊𝐷)
57 undifr 30591 . . . . . . 7 (ran 𝑊𝐷 ↔ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊) = 𝐷)
5856, 57sylib 221 . . . . . 6 (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷 → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊) = 𝐷)
5943, 49, 583syl 18 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊) = 𝐷)
6059reseq2d 5851 . . . 4 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ( I ↾ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
6155, 60eqtr3id 2792 . . 3 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ( I ↾ ran 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
6242, 54, 613eqtrd 2781 . 2 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝐶𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
633elin2d 4113 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ (♯ “ {0, 1}))
64 hashf 13904 . . . . . 6 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
65 ffn 6545 . . . . . 6 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
66 elpreima 6878 . . . . . 6 (♯ Fn V → (𝑊 ∈ (♯ “ {0, 1}) ↔ (𝑊 ∈ V ∧ (♯‘𝑊) ∈ {0, 1})))
6764, 65, 66mp2b 10 . . . . 5 (𝑊 ∈ (♯ “ {0, 1}) ↔ (𝑊 ∈ V ∧ (♯‘𝑊) ∈ {0, 1}))
6863, 67sylib 221 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → (𝑊 ∈ V ∧ (♯‘𝑊) ∈ {0, 1}))
6968simprd 499 . . 3 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → (♯‘𝑊) ∈ {0, 1})
70 elpri 4563 . . 3 ((♯‘𝑊) ∈ {0, 1} → ((♯‘𝑊) = 0 ∨ (♯‘𝑊) = 1))
7169, 70syl 17 . 2 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → ((♯‘𝑊) = 0 ∨ (♯‘𝑊) = 1))
7241, 62, 71mpjaodan 959 1 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → (𝐶𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847   = wceq 1543  wcel 2110  {crab 3065  Vcvv 3408  cdif 3863  cun 3864  cin 3865  wss 3866  c0 4237  {csn 4541  {cpr 4543   I cid 5454  ccnv 5550  dom cdm 5551  ran crn 5552  cres 5553  cima 5554  ccom 5555  Fun wfun 6374   Fn wfn 6375  wf 6376  1-1wf1 6377  cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  1c1 10730  +∞cpnf 10864  0cn0 12090  cz 12176  ..^cfzo 13238  chash 13896  Word cword 14069   cyclShift ccsh 14353  Basecbs 16760  SymGrpcsymg 18759  toCycctocyc 31092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-hash 13897  df-word 14070  df-concat 14126  df-substr 14206  df-pfx 14236  df-csh 14354  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-tset 16821  df-efmnd 18296  df-symg 18760  df-tocyc 31093
This theorem is referenced by:  tocyccntz  31130
  Copyright terms: Public domain W3C validator