Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tocyc01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tocyc01 31911
Description: Permutation cycles built from the empty set or a singleton are the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Nov-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
tocyc01.1 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
tocyc01 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → (𝐶𝑊) = ( I ↾ 𝐷))

Proof of Theorem tocyc01
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tocyc01.1 . . . . 5 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2 simpl 483 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → 𝐷𝑉)
3 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1})))
43elin1d 4158 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ dom 𝐶)
5 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
6 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Base‘(SymGrp‘𝐷)) = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
71, 5, 6tocycf 31910 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑉𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘(SymGrp‘𝐷)))
8 fdm 6677 . . . . . . . . 9 (𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘(SymGrp‘𝐷)) → dom 𝐶 = {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
92, 7, 83syl 18 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → dom 𝐶 = {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
104, 9eleqtrd 2840 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
11 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊𝑤 = 𝑊)
12 dmeq 5859 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
13 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊𝐷 = 𝐷)
1411, 12, 13f1eq123d 6776 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
1514elrab 3645 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
1610, 15sylib 217 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
1716simpld 495 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
1816simprd 496 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → 𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
191, 2, 17, 18tocycfv 31902 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → (𝐶𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
2019adantr 481 . . 3 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (𝐶𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
21 hasheq0 14262 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1})) → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
223, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
2322biimpa 477 . . . 4 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → 𝑊 = ∅)
24 rneq 5891 . . . . . . . . . 10 (𝑊 = ∅ → ran 𝑊 = ran ∅)
25 rn0 5881 . . . . . . . . . 10 ran ∅ = ∅
2624, 25eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 (𝑊 = ∅ → ran 𝑊 = ∅)
2726difeq2d 4082 . . . . . . . 8 (𝑊 = ∅ → (𝐷 ∖ ran 𝑊) = (𝐷 ∖ ∅))
28 dif0 4332 . . . . . . . 8 (𝐷 ∖ ∅) = 𝐷
2927, 28eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (𝑊 = ∅ → (𝐷 ∖ ran 𝑊) = 𝐷)
3029reseq2d 5937 . . . . . 6 (𝑊 = ∅ → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
31 cnveq 5829 . . . . . . . . 9 (𝑊 = ∅ → 𝑊 = ∅)
32 cnv0 6093 . . . . . . . . 9 ∅ = ∅
3331, 32eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (𝑊 = ∅ → 𝑊 = ∅)
3433coeq2d 5818 . . . . . . 7 (𝑊 = ∅ → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ∅))
35 co02 6212 . . . . . . 7 ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ∅) = ∅
3634, 35eqtrdi 2792 . . . . . 6 (𝑊 = ∅ → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) = ∅)
3730, 36uneq12d 4124 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)) = (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅))
38 un0 4350 . . . . 5 (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅) = ( I ↾ 𝐷)
3937, 38eqtrdi 2792 . . . 4 (𝑊 = ∅ → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
4023, 39syl 17 . . 3 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
4120, 40eqtrd 2776 . 2 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (𝐶𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
4219adantr 481 . . 3 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝐶𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
4317adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
44 1zzd 12533 . . . . . . 7 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 1 ∈ ℤ)
45 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (♯‘𝑊) = 1)
46 1cshid 31757 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊)
4743, 44, 45, 46syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊)
4847coeq1d 5817 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) = (𝑊𝑊))
49 wrdf 14406 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
50 ffun 6671 . . . . . 6 (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷 → Fun 𝑊)
51 funcocnv2 6809 . . . . . 6 (Fun 𝑊 → (𝑊𝑊) = ( I ↾ ran 𝑊))
5243, 49, 50, 514syl 19 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊𝑊) = ( I ↾ ran 𝑊))
5348, 52eqtrd 2776 . . . 4 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) = ( I ↾ ran 𝑊))
5453uneq2d 4123 . . 3 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ( I ↾ ran 𝑊)))
55 resundi 5951 . . . 4 ( I ↾ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ( I ↾ ran 𝑊))
56 frn 6675 . . . . . . 7 (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷 → ran 𝑊𝐷)
57 undifr 31398 . . . . . . 7 (ran 𝑊𝐷 ↔ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊) = 𝐷)
5856, 57sylib 217 . . . . . 6 (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷 → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊) = 𝐷)
5943, 49, 583syl 18 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊) = 𝐷)
6059reseq2d 5937 . . . 4 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ( I ↾ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
6155, 60eqtr3id 2790 . . 3 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ( I ↾ ran 𝑊)) = ( I ↾ 𝐷))
6242, 54, 613eqtrd 2780 . 2 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝐶𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
633elin2d 4159 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → 𝑊 ∈ (♯ “ {0, 1}))
64 hashf 14237 . . . . . 6 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
65 ffn 6668 . . . . . 6 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
66 elpreima 7008 . . . . . 6 (♯ Fn V → (𝑊 ∈ (♯ “ {0, 1}) ↔ (𝑊 ∈ V ∧ (♯‘𝑊) ∈ {0, 1})))
6764, 65, 66mp2b 10 . . . . 5 (𝑊 ∈ (♯ “ {0, 1}) ↔ (𝑊 ∈ V ∧ (♯‘𝑊) ∈ {0, 1}))
6863, 67sylib 217 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → (𝑊 ∈ V ∧ (♯‘𝑊) ∈ {0, 1}))
6968simprd 496 . . 3 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → (♯‘𝑊) ∈ {0, 1})
70 elpri 4608 . . 3 ((♯‘𝑊) ∈ {0, 1} → ((♯‘𝑊) = 0 ∨ (♯‘𝑊) = 1))
7169, 70syl 17 . 2 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → ((♯‘𝑊) = 0 ∨ (♯‘𝑊) = 1))
7241, 62, 71mpjaodan 957 1 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ (dom 𝐶 ∩ (♯ “ {0, 1}))) → (𝐶𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282  {csn 4586  {cpr 4588   I cid 5530  ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  cima 5636  ccom 5637  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  wf 6492  1-1wf1 6493  cfv 6496  (class class class)co 7356  0cc0 11050  1c1 11051  +∞cpnf 11185  0cn0 12412  cz 12498  ..^cfzo 13566  chash 14229  Word cword 14401   cyclShift ccsh 14675  Basecbs 17082  SymGrpcsymg 19146  toCycctocyc 31899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-pre-sup 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-map 8766  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-sup 9377  df-inf 9378  df-card 9874  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-xnn0 12485  df-z 12499  df-uz 12763  df-rp 12915  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-fl 13696  df-mod 13774  df-hash 14230  df-word 14402  df-concat 14458  df-substr 14528  df-pfx 14558  df-csh 14676  df-struct 17018  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-tset 17151  df-efmnd 18678  df-symg 19147  df-tocyc 31900
This theorem is referenced by:  tocyccntz  31937
  Copyright terms: Public domain W3C validator