MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1cnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1cnv 6872
Description: The converse of an injective function is bijective. (Contributed by FL, 11-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
f1cnv (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴)

Proof of Theorem f1cnv
StepHypRef Expression
1 f1f1orn 6859 . 2 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹)
2 f1ocnv 6860 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  ccnv 5684  ran crn 5686  1-1wf1 6558  1-1-ontowf1o 6560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568
This theorem is referenced by:  f1dmex  7981  f1domfi  9221  fin1a2lem7  10446  cycpmco2f1  33144  cycpmco2rn  33145  cycpmco2lem2  33147  cycpmco2lem3  33148  cycpmco2lem4  33149  cycpmco2lem5  33150  cycpmco2lem6  33151  cycpmco2lem7  33152  cycpmco2  33153  diophrw  42770
  Copyright terms: Public domain W3C validator