Theorem f1cnv 6849

Description: The converse of an injective function is bijective. (Contributed by FL, 11-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1cnv	⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→𝐴)

Proof of Theorem f1cnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f1orn 6836	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→ran 𝐹)
2		f1ocnv 6837	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→ran 𝐹 → ◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  ^◡ccnv 5649  ran crn 5651  –1-1→wf1 6535  –1-1-onto→wf1o 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545

This theorem is used by:  f1dmex  7969  f1domfi  9199  fin1a2lem7  10487  cycpmco2f1  33731  cycpmco2rn  33732  cycpmco2lem2  33734  cycpmco2lem3  33735  cycpmco2lem4  33736  cycpmco2lem5  33737  cycpmco2lem6  33738  cycpmco2lem7  33739  cycpmco2  33740  diophrw  43863