Theorem f1cnv 6852

Description: The converse of an injective function is bijective. (Contributed by FL, 11-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1cnv	⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→𝐴)

Proof of Theorem f1cnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f1orn 6839	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→ran 𝐹)
2		f1ocnv 6840	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→ran 𝐹 → ◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  ^◡ccnv 5665  ran crn 5667  –1-1→wf1 6540  –1-1-onto→wf1o 6542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5115  df-opab 5179  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550

This theorem is used by:  f1dmex  7963  f1domfi  9175  fin1a2lem7  10408  cycpmco2f1  33468  cycpmco2rn  33469  cycpmco2lem2  33471  cycpmco2lem3  33472  cycpmco2lem4  33473  cycpmco2lem5  33474  cycpmco2lem6  33475  cycpmco2lem7  33476  cycpmco2  33477  diophrw  43523