Theorem f1cnv 6783

Description: The converse of an injective function is bijective. (Contributed by FL, 11-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1cnv	⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→𝐴)

Proof of Theorem f1cnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f1orn 6770	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→ran 𝐹)
2		f1ocnv 6771	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→ran 𝐹 → ◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4  ^◡ccnv 5613  ran crn 5615  –1-1→wf1 6474  –1-1-onto→wf1o 6476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-rab 3394  df-v 3436  df-dif 3903  df-un 3905  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484

This theorem is referenced by:  f1dmex  7884  f1domfi  9085  fin1a2lem7  10289  cycpmco2f1  33083  cycpmco2rn  33084  cycpmco2lem2  33086  cycpmco2lem3  33087  cycpmco2lem4  33088  cycpmco2lem5  33089  cycpmco2lem6  33090  cycpmco2lem7  33091  cycpmco2  33092  diophrw  42771