MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1cnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1cnv 6637
Description: The converse of an injective function is bijective. (Contributed by FL, 11-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
f1cnv (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴)

Proof of Theorem f1cnv
StepHypRef Expression
1 f1f1orn 6625 . 2 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹)
2 f1ocnv 6626 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  ccnv 5553  ran crn 5555  1-1wf1 6351  1-1-ontowf1o 6353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pr 5326
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-rab 3152  df-v 3502  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-br 5064  df-opab 5126  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361
This theorem is referenced by:  f1dmex  7654  fin1a2lem7  9822  cycpmco2f1  30699  cycpmco2rn  30700  cycpmco2lem2  30702  cycpmco2lem3  30703  cycpmco2lem4  30704  cycpmco2lem5  30705  cycpmco2lem6  30706  cycpmco2lem7  30707  cycpmco2  30708  diophrw  39240
  Copyright terms: Public domain W3C validator