Theorem f1cnv 6871

Description: The converse of an injective function is a bijection on its range. (Contributed by FL, 11-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1cnv	⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 → ◡𝐹:ran 𝐹⟶1-1onto𝐴)

Proof of Theorem f1cnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f1orn 6858	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 → 𝐹:𝐴⟶1-1ontoran 𝐹)
2		f1ocnv 6859	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1ontoran 𝐹 → ◡𝐹:ran 𝐹⟶1-1onto𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 → ◡𝐹:ran 𝐹⟶1-1onto𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  ^◡ccnv 5654  ran crn 5656  ⟶1-1wf1 6555  ⟶1-1ontowf1o 6557

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5171  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565

This theorem is used by:  f1dmex  7993  f1domfi  9224  fin1a2lem7  10511  cycpmco2f1  33755  cycpmco2rn  33756  cycpmco2lem2  33758  cycpmco2lem3  33759  cycpmco2lem4  33760  cycpmco2lem5  33761  cycpmco2lem6  33762  cycpmco2lem7  33763  cycpmco2  33764  diophrw  43963