Theorem dfdm4 5766

Description: Alternate definition of domain. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfdm4	⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Proof of Theorem dfdm4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3499	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		vex 3499	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	1, 2	brcnv 5755	. . . 4 ⊢ (𝑦◡𝐴𝑥 ↔ 𝑥𝐴𝑦)
4	3	exbii 1848	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦)
5	4	abbii 2888	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
6		dfrn2 5761	. 2 ⊢ ran ◡𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥}
7		df-dm 5567	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
8	5, 6, 7	3eqtr4ri 2857	1 ⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Syntax hints:   = wceq 1537  ∃wex 1780  {cab 2801   class class class wbr 5068  ^◡ccnv 5556  dom cdm 5557  ran crn 5558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-rab 3149  df-v 3498  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-br 5069  df-opab 5131  df-cnv 5565  df-dm 5567  df-rn 5568

This theorem is referenced by:  dmcnvcnv  5805  rncnvcnv  5806  rncoeq  5848  cnvimass  5951  cnvimarndm  5952  dminxp  6039  cnvsn0  6069  rnsnopg  6080  dmmpt  6096  dmco  6109  cores2  6114  cnvssrndm  6124  unidmrn  6132  dfdm2  6134  funimacnv  6437  foimacnv  6634  funcocnv2  6641  fimacnv  6841  f1opw2  7402  cnvexg  7631  tz7.48-3  8082  fopwdom  8627  sbthlem4  8632  fodomr  8670  f1opwfi  8830  zorn2lem4  9923  trclublem  14357  relexpcnv  14396  unbenlem  16246  gsumpropd2lem  17891  pjdm  20853  paste  21904  hmeores  22381  icchmeo  23547  fcnvgreu  30420  ffsrn  30467  gsummpt2co  30688  tocycfvres1  30754  tocycfvres2  30755  cycpmfvlem  30756  cycpmfv3  30759  coinfliprv  31742  itg2addnclem2  34946  rncnv  35560  lnmlmic  39695  dmnonrel  39957  cnvrcl0  39992  conrel1d  40015