Theorem dfdm4 5887

Description: Alternate definition of domain. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfdm4	⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Proof of Theorem dfdm4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3461	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		vex 3461	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	1, 2	brcnv 5870	. . . 4 ⊢ (𝑦◡𝐴𝑥 ↔ 𝑥𝐴𝑦)
4	3	exbii 1881	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦)
5	4	abbii 2832	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
6		dfrn2 5880	. 2 ⊢ ran ◡𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥}
7		df-dm 5673	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
8	5, 6, 7	3eqtr4ri 2799	1 ⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ∃wex 1812  {cab 2743   class class class wbr 5111  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  ran crn 5664

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674

This theorem is used by:  dmcnvcnv  5925  rncnvcnv  5926  rncoeq  5973  cnvimass  6086  cnvimarndm  6087  dminxp  6180  cnvsn0  6213  rnsnopg  6224  dmmpt  6243  dmco  6258  cores2  6263  cnvssrndm  6275  unidmrn  6284  dfdm2  6286  funimacnv  6621  foimacnv  6842  funcocnv2  6850  f1opw2  7675  cnvexg  7927  tz7.48-3  8437  fopwdom  9080  sbthlem4  9085  fodomr  9123  cnvfi  9167  fodomfir  9294  f1opwfi  9320  zorn2lem4  10498  trclublem  15058  relexpcnv  15098  unbenlem  16992  gsumpropd2lem  18771  pjdm  21909  paste  23503  hmeores  23981  icchmeo  25153  fcnvgreu  33090  ffsrn  33145  gsummpt2co  33434  tocycfvres1  33496  tocycfvres2  33497  cycpmfvlem  33498  cycpmfv3  33501  coinfliprv  34940  itg2addnclem2  38382  rncnv  39015  lnmlmic  43875  dmnonrel  44376  cnvrcl0  44411  conrel1d  44449