Theorem dfdm4 5845

Description: Alternate definition of domain. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfdm4	⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Proof of Theorem dfdm4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3434	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		vex 3434	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	1, 2	brcnv 5832	. . . 4 ⊢ (𝑦◡𝐴𝑥 ↔ 𝑥𝐴𝑦)
4	3	exbii 1850	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦)
5	4	abbii 2804	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
6		dfrn2 5838	. 2 ⊢ ran ◡𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥}
7		df-dm 5635	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
8	5, 6, 7	3eqtr4ri 2771	1 ⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Syntax hints:   = wceq 1542  ∃wex 1781  {cab 2715   class class class wbr 5086  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625  ran crn 5626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-cnv 5633  df-dm 5635  df-rn 5636

This theorem is referenced by:  dmcnvcnv  5883  rncnvcnv  5884  rncoeq  5932  cnvimass  6042  cnvimarndm  6043  dminxp  6139  cnvsn0  6169  rnsnopg  6180  dmmpt  6199  dmco  6214  cores2  6219  cnvssrndm  6230  unidmrn  6238  dfdm2  6240  funimacnv  6574  foimacnv  6792  funcocnv2  6800  f1opw2  7616  cnvexg  7869  tz7.48-3  8377  fopwdom  9017  sbthlem4  9022  fodomr  9060  cnvfi  9104  fodomfir  9232  f1opwfi  9260  zorn2lem4  10415  trclublem  14951  relexpcnv  14991  unbenlem  16873  gsumpropd2lem  18641  pjdm  21700  paste  23272  hmeores  23749  icchmeo  24921  fcnvgreu  32763  ffsrn  32819  gsummpt2co  33127  tocycfvres1  33189  tocycfvres2  33190  cycpmfvlem  33191  cycpmfv3  33194  coinfliprv  34646  itg2addnclem2  38010  rncnv  38644  lnmlmic  43537  dmnonrel  44038  cnvrcl0  44073  conrel1d  44111