Theorem dfdm4 5889

Description: Alternate definition of domain. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfdm4	⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Proof of Theorem dfdm4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3458	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		vex 3458	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	1, 2	brcnv 5872	. . . 4 ⊢ (𝑦◡𝐴𝑥 ↔ 𝑥𝐴𝑦)
4	3	exbii 1881	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦)
5	4	abbii 2830	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
6		dfrn2 5882	. 2 ⊢ ran ◡𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥}
7		df-dm 5668	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
8	5, 6, 7	3eqtr4ri 2797	1 ⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ∃wex 1812  {cab 2741   class class class wbr 5108  ^◡ccnv 5657  dom cdm 5658  ran crn 5659

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-cnv 5666  df-dm 5668  df-rn 5669

This theorem is used by:  dmcnvcnv  5927  rncnvcnv  5928  dmcocnv2  5976  rncoeq  5977  rncocnv2  5978  rncocnv1  5979  cnvimassrndm  6097  cnvimarndmOLD  6099  dminxp  6190  cnvimass  6217  cnvsn0  6230  rnsnopg  6241  dmmpt  6260  dmco  6275  cores2  6280  cnvssrndm  6297  unidmrn  6306  funimacnv  6651  foimacnv  6872  funcocnv2OLD  6881  f1opw2  7708  cnvexg  7970  tz7.48-3  8492  fopwdom  9142  sbthlem4  9147  fodomr  9185  cnvfi  9229  fodomfir  9357  f1opwfi  9383  zorn2lem4  10616  trclublem  15191  relexpcnv  15231  unbenlem  17130  gsumpropd2lem  18918  pjdm  22068  paste  23667  hmeores  24145  icchmeo  25317  fcnvgreu  33364  ffsrn  33416  gsummpt2co  33708  tocycfvres1  33770  tocycfvres2  33771  cycpmfvlem  33772  cycpmfv3  33775  coinfliprv  35226  j0ltalephlem  36048  cossidres2  38221  nvo3  38230  itg2addnclem2  38858  rncnv  39504  lnmlmic  44356  dmnonrel  44851  cnvrcl0  44886  conrel1d  44924  cocanss1  46185