Theorem dfdm4 5842

Description: Alternate definition of domain. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfdm4	⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Proof of Theorem dfdm4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3442	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		vex 3442	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	1, 2	brcnv 5829	. . . 4 ⊢ (𝑦◡𝐴𝑥 ↔ 𝑥𝐴𝑦)
4	3	exbii 1849	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦)
5	4	abbii 2801	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
6		dfrn2 5835	. 2 ⊢ ran ◡𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥}
7		df-dm 5632	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
8	5, 6, 7	3eqtr4ri 2768	1 ⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Syntax hints:   = wceq 1541  ∃wex 1780  {cab 2712   class class class wbr 5096  ^◡ccnv 5621  dom cdm 5622  ran crn 5623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-br 5097  df-opab 5159  df-cnv 5630  df-dm 5632  df-rn 5633

This theorem is referenced by:  dmcnvcnv  5880  rncnvcnv  5881  rncoeq  5929  cnvimass  6039  cnvimarndm  6040  dminxp  6136  cnvsn0  6166  rnsnopg  6177  dmmpt  6196  dmco  6211  cores2  6216  cnvssrndm  6227  unidmrn  6235  dfdm2  6237  funimacnv  6571  foimacnv  6789  funcocnv2  6797  f1opw2  7611  cnvexg  7864  tz7.48-3  8373  fopwdom  9011  sbthlem4  9016  fodomr  9054  cnvfi  9098  fodomfir  9226  f1opwfi  9254  zorn2lem4  10407  trclublem  14916  relexpcnv  14956  unbenlem  16834  gsumpropd2lem  18602  pjdm  21660  paste  23236  hmeores  23713  icchmeo  24892  icchmeoOLD  24893  fcnvgreu  32700  ffsrn  32756  gsummpt2co  33080  tocycfvres1  33141  tocycfvres2  33142  cycpmfvlem  33143  cycpmfv3  33146  coinfliprv  34589  itg2addnclem2  37812  rncnv  38438  lnmlmic  43272  dmnonrel  43773  cnvrcl0  43808  conrel1d  43846