Theorem fvtp1 7141

Description: The first value of a function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvtp1.1	⊢ 𝐴 ∈ V
fvtp1.4	⊢ 𝐷 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvtp1	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐴) = 𝐷)

Proof of Theorem fvtp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4585	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} = ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})
2	1	fveq1i 6835	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐴) = (({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})‘𝐴)
3		necom 2985	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐴)
4		fvunsn 7125	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐴 → (({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩}‘𝐴))
5	3, 4	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 → (({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩}‘𝐴))
6		fvtp1.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
7		fvtp1.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
8	6, 7	fvpr1 7138	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐷)
9	5, 8	sylan9eqr 2793	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})‘𝐴) = 𝐷)
10	2, 9	eqtrid 2783	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐴) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  Vcvv 3440   ∪ cun 3899  {csn 4580  {cpr 4582  {ctp 4584  ⟨cop 4586  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-res 5636  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  fvtp2  7142  fntpb  7155  rabren3dioph  43057  nnsum4primesodd  48042  nnsum4primesoddALTV  48043