Theorem fvtp1 7124

Description: The first value of a function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvtp1.1	⊢ 𝐴 ∈ V
fvtp1.4	⊢ 𝐷 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvtp1	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐴) = 𝐷)

Proof of Theorem fvtp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4576	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} = ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})
2	1	fveq1i 6818	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐴) = (({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})‘𝐴)
3		necom 2981	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐴)
4		fvunsn 7108	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐴 → (({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩}‘𝐴))
5	3, 4	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 → (({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩}‘𝐴))
6		fvtp1.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
7		fvtp1.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
8	6, 7	fvpr1 7121	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐷)
9	5, 8	sylan9eqr 2788	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})‘𝐴) = 𝐷)
10	2, 9	eqtrid 2778	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐴) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436   ∪ cun 3895  {csn 4571  {cpr 4573  {ctp 4575  ⟨cop 4577  ‘cfv 6476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-res 5623  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fv 6484

This theorem is referenced by:  fvtp2  7125  fntpb  7138  rabren3dioph  42848  nnsum4primesodd  47827  nnsum4primesoddALTV  47828