Theorem fvtp1 7143

Description: The first value of a function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvtp1.1	⊢ 𝐴 ∈ V
fvtp1.4	⊢ 𝐷 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvtp1	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐴) = 𝐷)

Proof of Theorem fvtp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4573	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} = ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})
2	1	fveq1i 6835	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐴) = (({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})‘𝐴)
3		necom 2986	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐴)
4		fvunsn 7127	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐴 → (({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩}‘𝐴))
5	3, 4	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 → (({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩}‘𝐴))
6		fvtp1.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
7		fvtp1.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
8	6, 7	fvpr1 7140	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐷)
9	5, 8	sylan9eqr 2794	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})‘𝐴) = 𝐷)
10	2, 9	eqtrid 2784	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐴) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ∪ cun 3888  {csn 4568  {cpr 4570  {ctp 4572  ⟨cop 4574  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-res 5636  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  fvtp2  7144  fntpb  7157  rabren3dioph  43261  nnsum4primesodd  48284  nnsum4primesoddALTV  48285