Theorem fvtp2 7199

Description: The second value of a function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvtp2.1	⊢ 𝐵 ∈ V
fvtp2.4	⊢ 𝐸 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvtp2	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐵) = 𝐸)

Proof of Theorem fvtp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tprot 4710	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} = {⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}
2	1	fveq1i 6884	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐵) = ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐵)
3		necom 3009	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
4		fvtp2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
5		fvtp2.4	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ∈ V
6	4, 5	fvtp1 7198	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐸)
7	6	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐸)
8	3, 7	sylanb 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐸)
9	2, 8	eqtrid 2808	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐵) = 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451  {ctp 4588  ⟨cop 4590  ‘cfv 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-res 5663  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545

This theorem is used by:  fvtp3  7200  fntpb  7213  rabren3dioph  43801  nnsum4primesodd  48863  nnsum4primesoddALTV  48864