HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1deoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h1deoi 31372
Description: Membership in orthocomplement of 1-dimensional subspace. (Contributed by NM, 7-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
h1deot.1 ๐ต โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
h1deoi (๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜{๐ต}) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (๐ด ยทih ๐ต) = 0))

Proof of Theorem h1deoi
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 h1deot.1 . . 3 ๐ต โˆˆ โ„‹
2 snssi 4812 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ {๐ต} โІ โ„‹)
3 ocel 31104 . . 3 ({๐ต} โІ โ„‹ โ†’ (๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜{๐ต}) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {๐ต} (๐ด ยทih ๐‘ฅ) = 0)))
41, 2, 3mp2b 10 . 2 (๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜{๐ต}) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {๐ต} (๐ด ยทih ๐‘ฅ) = 0))
51elexi 3491 . . . 4 ๐ต โˆˆ V
6 oveq2 7428 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐ด ยทih ๐‘ฅ) = (๐ด ยทih ๐ต))
76eqeq1d 2730 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐ด ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” (๐ด ยทih ๐ต) = 0))
85, 7ralsn 4686 . . 3 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {๐ต} (๐ด ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” (๐ด ยทih ๐ต) = 0)
98anbi2i 622 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {๐ต} (๐ด ยทih ๐‘ฅ) = 0) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (๐ด ยทih ๐ต) = 0))
104, 9bitri 275 1 (๐ด โˆˆ (โŠฅโ€˜{๐ต}) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (๐ด ยทih ๐ต) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3058   โІ wss 3947  {csn 4629  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  0cc0 11139   โ„‹chba 30742   ยทih csp 30745  โŠฅcort 30753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-hilex 30822
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oc 31075
This theorem is referenced by:  h1dei  31373
  Copyright terms: Public domain W3C validator