![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > h1deoi | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Membership in orthocomplement of 1-dimensional subspace. (Contributed by NM, 7-Jul-2001.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
h1deot.1 | โข ๐ต โ โ |
Ref | Expression |
---|---|
h1deoi | โข (๐ด โ (โฅโ{๐ต}) โ (๐ด โ โ โง (๐ด ยทih ๐ต) = 0)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | h1deot.1 | . . 3 โข ๐ต โ โ | |
2 | snssi 4812 | . . 3 โข (๐ต โ โ โ {๐ต} โ โ) | |
3 | ocel 31104 | . . 3 โข ({๐ต} โ โ โ (๐ด โ (โฅโ{๐ต}) โ (๐ด โ โ โง โ๐ฅ โ {๐ต} (๐ด ยทih ๐ฅ) = 0))) | |
4 | 1, 2, 3 | mp2b 10 | . 2 โข (๐ด โ (โฅโ{๐ต}) โ (๐ด โ โ โง โ๐ฅ โ {๐ต} (๐ด ยทih ๐ฅ) = 0)) |
5 | 1 | elexi 3491 | . . . 4 โข ๐ต โ V |
6 | oveq2 7428 | . . . . 5 โข (๐ฅ = ๐ต โ (๐ด ยทih ๐ฅ) = (๐ด ยทih ๐ต)) | |
7 | 6 | eqeq1d 2730 | . . . 4 โข (๐ฅ = ๐ต โ ((๐ด ยทih ๐ฅ) = 0 โ (๐ด ยทih ๐ต) = 0)) |
8 | 5, 7 | ralsn 4686 | . . 3 โข (โ๐ฅ โ {๐ต} (๐ด ยทih ๐ฅ) = 0 โ (๐ด ยทih ๐ต) = 0) |
9 | 8 | anbi2i 622 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง โ๐ฅ โ {๐ต} (๐ด ยทih ๐ฅ) = 0) โ (๐ด โ โ โง (๐ด ยทih ๐ต) = 0)) |
10 | 4, 9 | bitri 275 | 1 โข (๐ด โ (โฅโ{๐ต}) โ (๐ด โ โ โง (๐ด ยทih ๐ต) = 0)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 โwral 3058 โ wss 3947 {csn 4629 โcfv 6548 (class class class)co 7420 0cc0 11139 โchba 30742 ยทih csp 30745 โฅcort 30753 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pr 5429 ax-hilex 30822 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rab 3430 df-v 3473 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5576 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fv 6556 df-ov 7423 df-oc 31075 |
This theorem is referenced by: h1dei 31373 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |