Theorem ralsn 4618

Description: Convert a quantification over a singleton to a substitution. (Contributed by NM, 27-Apr-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
ralsn.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ralsn.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ralsn	⊢ (∀𝑥 ∈ {𝐴}𝜑 ↔ 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem ralsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralsn.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		ralsn.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	2	ralsng 4612	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑥 ∈ {𝐴}𝜑 ↔ 𝜓))
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝐴}𝜑 ↔ 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  Vcvv 3494  {csn 4566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-v 3496  df-sbc 3772  df-sn 4567

This theorem is referenced by:  elixpsn  8500  frfi  8762  dffi3  8894  fseqenlem1  9449  fpwwe2lem13  10063  hashbc  13810  hashf1lem1  13812  eqs1  13965  cshw1  14183  rpnnen2lem11  15576  drsdirfi  17547  0subg  18303  efgsp1  18862  dprd2da  19163  lbsextlem4  19932  ply1coe  20463  mat0dimcrng  21078  txkgen  22259  xkoinjcn  22294  isufil2  22515  ust0  22827  prdsxmetlem  22977  prdsbl  23100  finiunmbl  24144  xrlimcnp  25545  chtub  25787  2sqlem10  26003  dchrisum0flb  26085  pntpbnd1  26161  usgr1e  27026  nbgr2vtx1edg  27131  nbuhgr2vtx1edgb  27133  wlkl1loop  27418  crctcshwlkn0lem7  27593  2pthdlem1  27708  rusgrnumwwlkl1  27746  clwwlkccatlem  27766  clwwlkn2  27821  clwwlkel  27824  clwwlkwwlksb  27832  1wlkdlem4  27918  h1deoi  29325  bnj149  32147  subfacp1lem5  32431  cvmlift2lem1  32549  cvmlift2lem12  32561  conway  33264  etasslt  33274  slerec  33277  lindsenlbs  34886  poimirlem28  34919  poimirlem32  34923  heibor1lem  35086