Theorem hococli 31285

Description: Closure of composition of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 12-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoeq.1	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hoeq.2	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hococli	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝐴) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hococli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoeq.1	. . 3 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2		hoeq.2	. . 3 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3	1, 2	hocoi 31284	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝐴) = (𝑆‘(𝑇‘𝐴)))
4	2	ffvelcdmi 7084	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
5	1	ffvelcdmi 7084	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ∈ ℋ → (𝑆‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℋ)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑆‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℋ)
7	3, 6	eqeltrd 2831	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝐴) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   ∘ ccom 5679  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542   ℋchba 30439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550

This theorem is referenced by:  nmopcoadji  31621  pjcohcli  31680  pj3si  31727  pj3cor1i  31729