HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pj3cor1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pj3cor1i 32142
Description: Projection triplet corollary. (Contributed by NM, 2-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjadj2co.1 𝐹C
pjadj2co.2 𝐺C
pjadj2co.3 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pj3cor1i (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻))) → (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐺)))

Proof of Theorem pj3cor1i
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6900 . . . . . . . . . . 11 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻)) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦) = ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦))
21oveq2d 7440 . . . . . . . . . 10 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻)) → (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)))
32adantl 480 . . . . . . . . 9 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻))) → (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)))
43ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻)))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)))
5 pjadj2co.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹C
6 pjadj2co.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺C
75, 6chincli 31393 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝐺) ∈ C
8 pjadj2co.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐻C
97, 8chincli 31393 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) ∈ C
109pjadji 31618 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑦)))
1110adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻)))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑦)))
125, 6, 8pj3i 32141 . . . . . . . . . . . 12 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻))) → (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)))
1312fveq1d 6903 . . . . . . . . . . 11 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻))) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
1413oveq1d 7439 . . . . . . . . . 10 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻))) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦))
1514ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻)))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦))
1612fveq1d 6903 . . . . . . . . . . 11 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻))) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑦))
1716oveq2d 7440 . . . . . . . . . 10 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻))) → (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑦)))
1817ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻)))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑦)))
1911, 15, 183eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻)))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)))
208, 5, 6pjadj2coi 32137 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)))
2120adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻)))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)))
224, 19, 213eqtr4d 2776 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻)))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦))
2322exp31 418 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻))) → (𝑦 ∈ ℋ → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦))))
2423ralrimdv 3142 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻))) → ∀𝑦 ∈ ℋ (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
255pjfi 31637 . . . . . . . 8 (proj𝐹): ℋ⟶ ℋ
266pjfi 31637 . . . . . . . 8 (proj𝐺): ℋ⟶ ℋ
2725, 26hocofi 31699 . . . . . . 7 ((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)): ℋ⟶ ℋ
288pjfi 31637 . . . . . . 7 (proj𝐻): ℋ⟶ ℋ
2927, 28hococli 31698 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ)
3028, 25hocofi 31699 . . . . . . 7 ((proj𝐻) ∘ (proj𝐹)): ℋ⟶ ℋ
3130, 26hococli 31698 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ∈ ℋ)
32 hial2eq 31039 . . . . . 6 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐺))‘𝑥)))
3329, 31, 32syl2anc 582 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐺))‘𝑥)))
3424, 33sylibd 238 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻))) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐺))‘𝑥)))
3534com12 32 . . 3 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻))) → (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐺))‘𝑥)))
3635ralrimiv 3135 . 2 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻))) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐺))‘𝑥))
3727, 28hocofi 31699 . . 3 (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)): ℋ⟶ ℋ
3830, 26hocofi 31699 . . 3 (((proj𝐻) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐺)): ℋ⟶ ℋ
3937, 38hoeqi 31694 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ↔ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐺)))
4036, 39sylib 217 1 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐻))) → (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐹)) ∘ (proj𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  cin 3946  ccom 5686  cfv 6554  (class class class)co 7424  chba 30852   ·ih csp 30855   C cch 30862  projcpjh 30870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cc 10478  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237  ax-mulf 11238  ax-hilex 30932  ax-hfvadd 30933  ax-hvcom 30934  ax-hvass 30935  ax-hv0cl 30936  ax-hvaddid 30937  ax-hfvmul 30938  ax-hvmulid 30939  ax-hvmulass 30940  ax-hvdistr1 30941  ax-hvdistr2 30942  ax-hvmul0 30943  ax-hfi 31012  ax-his1 31015  ax-his2 31016  ax-his3 31017  ax-his4 31018  ax-hcompl 31135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-omul 8501  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-acn 9985  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-lm 23224  df-haus 23310  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cfil 25274  df-cau 25275  df-cmet 25276  df-grpo 30426  df-gid 30427  df-ginv 30428  df-gdiv 30429  df-ablo 30478  df-vc 30492  df-nv 30525  df-va 30528  df-ba 30529  df-sm 30530  df-0v 30531  df-vs 30532  df-nmcv 30533  df-ims 30534  df-dip 30634  df-ssp 30655  df-ph 30746  df-cbn 30796  df-hnorm 30901  df-hba 30902  df-hvsub 30904  df-hlim 30905  df-hcau 30906  df-sh 31140  df-ch 31154  df-oc 31185  df-ch0 31186  df-shs 31241  df-pjh 31328
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator