Theorem pj3cor1i 30800

Description: Projection triplet corollary. (Contributed by NM, 2-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjadj2co.1	⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
pjadj2co.2	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjadj2co.3	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pj3cor1i	⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺)))

Proof of Theorem pj3cor1i

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻)) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦) = ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦))
2	1	oveq2d 7345	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻)) → (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
3	2	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
4	3	ad2antlr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻)))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
5		pjadj2co.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
6		pjadj2co.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
7	5, 6	chincli 30051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ Cℋ
8		pjadj2co.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
9	7, 8	chincli 30051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) ∈ Cℋ
10	9	pjadji 30276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑦)))
11	10	adantlr 712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻)))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑦)))
12	5, 6, 8	pj3i 30799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)))
13	12	fveq1d 6821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
14	13	oveq1d 7344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦))
15	14	ad2antlr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻)))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦))
16	12	fveq1d 6821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦) = ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑦))
17	16	oveq2d 7345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑦)))
18	17	ad2antlr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻)))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑦)))
19	11, 15, 18	3eqtr4d 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻)))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
20	8, 5, 6	pjadj2coi 30795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
21	20	adantlr 712	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻)))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
22	4, 19, 21	3eqtr4d 2786	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻)))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦))
23	22	exp31 420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → (𝑦 ∈ ℋ → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦))))
24	23	ralrimdv 3145	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → ∀𝑦 ∈ ℋ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
25	5	pjfi 30295	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐹): ℋ⟶ ℋ
26	6	pjfi 30295	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
27	25, 26	hocofi 30357	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ
28	8	pjfi 30295	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
29	27, 28	hococli 30356	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ)
30	28, 25	hocofi 30357	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)): ℋ⟶ ℋ
31	30, 26	hococli 30356	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ∈ ℋ)
32		hial2eq 29697	. . . . . 6 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥)))
33	29, 31, 32	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥)))
34	24, 33	sylibd 238	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥)))
35	34	com12 32	. . 3 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥)))
36	35	ralrimiv 3138	. 2 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥))
37	27, 28	hocofi 30357	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)): ℋ⟶ ℋ
38	30, 26	hocofi 30357	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ
39	37, 38	hoeqi 30352	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ↔ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺)))
40	36, 39	sylib 217	1 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3061   ∩ cin 3896   ∘ ccom 5618  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329   ℋchba 29510   ·_ih csp 29513   C_ℋ cch 29520  proj_ℎcpjh 29528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-cc 10284  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042  ax-addf 11043  ax-mulf 11044  ax-hilex 29590  ax-hfvadd 29591  ax-hvcom 29592  ax-hvass 29593  ax-hv0cl 29594  ax-hvaddid 29595  ax-hfvmul 29596  ax-hvmulid 29597  ax-hvmulass 29598  ax-hvdistr1 29599  ax-hvdistr2 29600  ax-hvmul0 29601  ax-hfi 29670  ax-his1 29673  ax-his2 29674  ax-his3 29675  ax-his4 29676  ax-hcompl 29793

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-supp 8040  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-2o 8360  df-oadd 8363  df-omul 8364  df-er 8561  df-map 8680  df-pm 8681  df-ixp 8749  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-fsupp 9219  df-fi 9260  df-sup 9291  df-inf 9292  df-oi 9359  df-card 9788  df-acn 9791  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-q 12782  df-rp 12824  df-xneg 12941  df-xadd 12942  df-xmul 12943  df-ioo 13176  df-ico 13178  df-icc 13179  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-fl 13605  df-seq 13815  df-exp 13876  df-hash 14138  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-clim 15288  df-rlim 15289  df-sum 15489  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-starv 17066  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-ip 17069  df-tset 17070  df-ple 17071  df-ds 17073  df-unif 17074  df-hom 17075  df-cco 17076  df-rest 17222  df-topn 17223  df-0g 17241  df-gsum 17242  df-topgen 17243  df-pt 17244  df-prds 17247  df-xrs 17302  df-qtop 17307  df-imas 17308  df-xps 17310  df-mre 17384  df-mrc 17385  df-acs 17387  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-submnd 18520  df-mulg 18789  df-cntz 19011  df-cmn 19475  df-psmet 20687  df-xmet 20688  df-met 20689  df-bl 20690  df-mopn 20691  df-fbas 20692  df-fg 20693  df-cnfld 20696  df-top 22141  df-topon 22158  df-topsp 22180  df-bases 22194  df-cld 22268  df-ntr 22269  df-cls 22270  df-nei 22347  df-cn 22476  df-cnp 22477  df-lm 22478  df-haus 22564  df-tx 22811  df-hmeo 23004  df-fil 23095  df-fm 23187  df-flim 23188  df-flf 23189  df-xms 23571  df-ms 23572  df-tms 23573  df-cfil 24517  df-cau 24518  df-cmet 24519  df-grpo 29084  df-gid 29085  df-ginv 29086  df-gdiv 29087  df-ablo 29136  df-vc 29150  df-nv 29183  df-va 29186  df-ba 29187  df-sm 29188  df-0v 29189  df-vs 29190  df-nmcv 29191  df-ims 29192  df-dip 29292  df-ssp 29313  df-ph 29404  df-cbn 29454  df-hnorm 29559  df-hba 29560  df-hvsub 29562  df-hlim 29563  df-hcau 29564  df-sh 29798  df-ch 29812  df-oc 29843  df-ch0 29844  df-shs 29899  df-pjh 29986

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