Theorem pj3cor1i 32498

Description: Projection triplet corollary. (Contributed by NM, 2-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjadj2co.1	⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
pjadj2co.2	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjadj2co.3	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pj3cor1i	⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺)))

Proof of Theorem pj3cor1i

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻)) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦) = ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦))
2	1	oveq2d 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻)) → (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
3	2	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
4	3	ad2antlr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻)))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
5		pjadj2co.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
6		pjadj2co.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
7	5, 6	chincli 31749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ Cℋ
8		pjadj2co.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
9	7, 8	chincli 31749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) ∈ Cℋ
10	9	pjadji 31974	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑦)))
11	10	adantlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻)))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑦)))
12	5, 6, 8	pj3i 32497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)))
13	12	fveq1d 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
14	13	oveq1d 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦))
15	14	ad2antlr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻)))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦))
16	12	fveq1d 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦) = ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑦))
17	16	oveq2d 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑦)))
18	17	ad2antlr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻)))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑦)))
19	11, 15, 18	3eqtr4d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻)))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
20	8, 5, 6	pjadj2coi 32493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
21	20	adantlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻)))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
22	4, 19, 21	3eqtr4d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻)))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦))
23	22	exp31 424	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → (𝑦 ∈ ℋ → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦))))
24	23	ralrimdv 3169	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → ∀𝑦 ∈ ℋ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
25	5	pjfi 31993	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐹): ℋ⟶ ℋ
26	6	pjfi 31993	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
27	25, 26	hocofi 32055	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ
28	8	pjfi 31993	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
29	27, 28	hococli 32054	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ)
30	28, 25	hocofi 32055	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)): ℋ⟶ ℋ
31	30, 26	hococli 32054	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ∈ ℋ)
32		hial2eq 31395	. . . . . 6 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥)))
33	29, 31, 32	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥)))
34	24, 33	sylibd 242	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥)))
35	34	com12 33	. . 3 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥)))
36	35	ralrimiv 3162	. 2 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥))
37	27, 28	hocofi 32055	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)): ℋ⟶ ℋ
38	30, 26	hocofi 32055	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ
39	37, 38	hoeqi 32050	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ↔ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺)))
40	36, 39	sylib 221	1 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∘ (projℎ‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ∩ cin 3912   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408   ℋchba 31208   ·_ih csp 31211   C_ℋ cch 31218  proj_ℎcpjh 31226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cc 10415  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175  ax-mulf 11176  ax-hilex 31288  ax-hfvadd 31289  ax-hvcom 31290  ax-hvass 31291  ax-hv0cl 31292  ax-hvaddid 31293  ax-hfvmul 31294  ax-hvmulid 31295  ax-hvmulass 31296  ax-hvdistr1 31297  ax-hvdistr2 31298  ax-hvmul0 31299  ax-hfi 31368  ax-his1 31371  ax-his2 31372  ax-his3 31373  ax-his4 31374  ax-hcompl 31491

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-xrs 17552  df-qtop 17557  df-imas 17558  df-xps 17560  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-mulg 19130  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-lm 23351  df-haus 23437  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-fil 23968  df-fm 24060  df-flim 24061  df-flf 24062  df-xms 24442  df-ms 24443  df-tms 24444  df-cfil 25379  df-cau 25380  df-cmet 25381  df-grpo 30782  df-gid 30783  df-ginv 30784  df-gdiv 30785  df-ablo 30834  df-vc 30848  df-nv 30881  df-va 30884  df-ba 30885  df-sm 30886  df-0v 30887  df-vs 30888  df-nmcv 30889  df-ims 30890  df-dip 30990  df-ssp 31011  df-ph 31102  df-cbn 31152  df-hnorm 31257  df-hba 31258  df-hvsub 31260  df-hlim 31261  df-hcau 31262  df-sh 31496  df-ch 31510  df-oc 31541  df-ch0 31542  df-shs 31597  df-pjh 31684

This theorem is referenced by: (None)