| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | pjadj2co.1 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐹 ∈
Cℋ |
| 2 | | pjadj2co.2 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐺 ∈
Cℋ |
| 3 | | pjadj2co.3 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐻 ∈
Cℋ |
| 4 | 1, 2, 3 | pj2cocli 32224 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ ℋ →
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐹) |
| 5 | 4 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) →
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐹) |
| 6 | 1 | pjfi 31723 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(projℎ‘𝐹): ℋ⟶ ℋ |
| 7 | 2 | pjfi 31723 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ |
| 8 | 6, 7 | hocofi 31785 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ |
| 9 | 3 | pjfi 31723 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ |
| 10 | 8, 9 | hocofni 31786 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) Fn ℋ |
| 11 | | fnfvelrn 7100 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) Fn ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) →
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))) |
| 12 | 10, 11 | mpan 690 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ ℋ →
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))) |
| 13 | | ssel 3977 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺 →
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) →
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺)) |
| 14 | 12, 13 | syl5 34 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺 → (𝑥 ∈ ℋ →
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺)) |
| 15 | 14 | imp 406 |
. . . . . . . 8
⊢ ((ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) →
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺) |
| 16 | 5, 15 | elind 4200 |
. . . . . . 7
⊢ ((ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) →
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ (𝐹 ∩ 𝐺)) |
| 17 | 16 | adantll 714 |
. . . . . 6
⊢
((((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) ∧ ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) →
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ (𝐹 ∩ 𝐺)) |
| 18 | 3, 2, 1 | pj2cocli 32224 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ ℋ →
((((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹))‘𝑥) ∈ 𝐻) |
| 19 | | fveq1 6905 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) →
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹))‘𝑥)) |
| 20 | 19 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) →
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔
((((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹))‘𝑥) ∈ 𝐻)) |
| 21 | 18, 20 | imbitrrid 246 |
. . . . . . . 8
⊢
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) → (𝑥 ∈ ℋ →
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻)) |
| 22 | 21 | imp 406 |
. . . . . . 7
⊢
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) →
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻) |
| 23 | 22 | adantlr 715 |
. . . . . 6
⊢
((((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) ∧ ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) →
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻) |
| 24 | 17, 23 | elind 4200 |
. . . . 5
⊢
((((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) ∧ ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) →
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) |
| 25 | 8, 9 | hococli 31784 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ ℋ →
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ) |
| 26 | | hvsubcl 31036 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ) |
| 27 | 25, 26 | mpdan 687 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ) |
| 28 | 27 | adantl 481 |
. . . . . 6
⊢
((((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) ∧ ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ) |
| 29 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) → 𝑥 ∈ ℋ) |
| 30 | 25 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) →
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ) |
| 31 | 1, 2 | chincli 31479 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐹 ∩ 𝐺) ∈
Cℋ |
| 32 | 31, 3 | chincli 31479 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) ∈
Cℋ |
| 33 | 32 | cheli 31251 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) → 𝑦 ∈ ℋ) |
| 34 | 33 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) → 𝑦 ∈ ℋ) |
| 35 | 29, 30, 34 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) |
| 36 | 35 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) ∧ ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) → (𝑥 ∈ ℋ ∧
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) |
| 37 | | his2sub 31111 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ih 𝑦) −
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦))) |
| 38 | 36, 37 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) ∧ ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) → ((𝑥 −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ih 𝑦) −
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦))) |
| 39 | 19 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) ∧ ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) →
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹))‘𝑥)) |
| 40 | 39 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) ∧ ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) →
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) =
(((((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦)) |
| 41 | 3, 2, 1 | pjadj2coi 32223 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) →
(((((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑦))) |
| 42 | 33, 41 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) →
(((((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑦))) |
| 43 | 1, 2, 3 | pj3lem1 32225 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) →
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑦) = 𝑦) |
| 44 | 43 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) → (𝑥 ·ih
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)) |
| 45 | 44 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) → (𝑥 ·ih
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)) |
| 46 | 42, 45 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) →
(((((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑦)) |
| 47 | 40, 46 | sylan9eq 2797 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) ∧ ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) →
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑦)) |
| 48 | 47 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) ∧ ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) →
((((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) −
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)) = ((𝑥 ·ih 𝑦) −
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦))) |
| 49 | 25, 33 | anim12i 613 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) →
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) |
| 50 | 49 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) ∧ ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) →
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) |
| 51 | | hicl 31099 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) →
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) ∈
ℂ) |
| 52 | 50, 51 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) ∧ ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) →
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) ∈
ℂ) |
| 53 | 52 | subidd 11608 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) ∧ ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) →
((((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) −
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)) = 0) |
| 54 | 38, 48, 53 | 3eqtr2d 2783 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) ∧ ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) → ((𝑥 −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0) |
| 55 | 54 | expr 456 |
. . . . . . 7
⊢
((((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) ∧ ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) → ((𝑥 −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)) |
| 56 | 55 | ralrimiv 3145 |
. . . . . 6
⊢
((((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) ∧ ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ∀𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)((𝑥 −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0) |
| 57 | 32 | chshii 31246 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) ∈
Sℋ |
| 58 | | shocel 31301 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) ∈ Sℋ
→ ((𝑥
−ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) ↔ ((𝑥 −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)((𝑥 −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0))) |
| 59 | 57, 58 | ax-mp 5 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑥 −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) ↔ ((𝑥 −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)((𝑥 −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)) |
| 60 | 28, 56, 59 | sylanbrc 583 |
. . . . 5
⊢
((((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) ∧ ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) |
| 61 | 32 | pjvi 31724 |
. . . . 5
⊢
((((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) ∧ (𝑥 −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) →
((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥)))) = ((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) |
| 62 | 24, 60, 61 | syl2anc 584 |
. . . 4
⊢
((((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) ∧ ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) →
((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥)))) = ((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) |
| 63 | | id 22 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈
ℋ) |
| 64 | | hvaddsub12 31057 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ) →
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 +ℎ
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥)))) |
| 65 | 25, 63, 25, 64 | syl3anc 1373 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ ℋ →
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 +ℎ
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥)))) |
| 66 | | hvsubid 31045 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ →
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥)) = 0ℎ) |
| 67 | 25, 66 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ ℋ →
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥)) = 0ℎ) |
| 68 | 67 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 +ℎ
0ℎ)) |
| 69 | | ax-hvaddid 31023 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ
0ℎ) = 𝑥) |
| 70 | 68, 69 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥))) = 𝑥) |
| 71 | 65, 70 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 ∈ ℋ →
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥))) = 𝑥) |
| 72 | 71 | fveq2d 6910 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ ℋ →
((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥)))) = ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥)) |
| 73 | 72 | adantl 481 |
. . . 4
⊢
((((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) ∧ ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) →
((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ
((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥)))) = ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥)) |
| 74 | 62, 73 | eqtr3d 2779 |
. . 3
⊢
((((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) ∧ ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) →
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥)) |
| 75 | 74 | ralrimiva 3146 |
. 2
⊢
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) ∧ ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℋ
((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥)) |
| 76 | 8, 9 | hocofi 31785 |
. . 3
⊢
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)): ℋ⟶ ℋ |
| 77 | 32 | pjfi 31723 |
. . 3
⊢
(projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)): ℋ⟶ ℋ |
| 78 | 76, 77 | hoeqi 31780 |
. 2
⊢
(∀𝑥 ∈
ℋ ((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥) ↔
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) |
| 79 | 75, 78 | sylib 218 |
1
⊢
(((((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐹)) ∧ ran
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) →
(((projℎ‘𝐹) ∘
(projℎ‘𝐺)) ∘
(projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) |