Theorem pj3si 32839

Description: Stronger projection triplet theorem. (Contributed by NM, 2-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjadj2co.1	⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
pjadj2co.2	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjadj2co.3	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pj3si	⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) → (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)))

Proof of Theorem pj3si

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjadj2co.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
2		pjadj2co.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
3		pjadj2co.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
4	1, 2, 3	pj2cocli 32837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐹)
5	4	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐹)
6	1	pjfi 32336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (projℎ‘𝐹): ℋ⟶ ℋ
7	2	pjfi 32336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
8	6, 7	hocofi 32398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ
9	3	pjfi 32336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
10	8, 9	hocofni 32399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) Fn ℋ
11		fnfvelrn 7104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) Fn ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)))
12	10, 11	mpan 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)))
13		ssel 3907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺 → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺))
14	12, 13	syl5 35	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺 → (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺))
15	14	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺)
16	5, 15	elind 4100	. . . . . . 7 ⊢ ((ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ (𝐹 ∩ 𝐺))
17	16	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ (𝐹 ∩ 𝐺))
18	3, 2, 1	pj2cocli 32837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝑥) ∈ 𝐻)
19		fveq1 6907	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝑥))
20	19	eleq1d 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔ ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝑥) ∈ 𝐻))
21	18, 20	imbitrrid 249	. . . . . . . 8 ⊢ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) → (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻))
22	21	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻)
23	22	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻)
24	17, 23	elind 4100	. . . . 5 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))
25	8, 9	hococli 32397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ)
26		hvsubcl 31649	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
27	25, 26	mpdan 700	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
28	27	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
29		simpl 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) → 𝑥 ∈ ℋ)
30	25	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ)
31	1, 2	chincli 32092	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ Cℋ
32	31, 3	chincli 32092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) ∈ Cℋ
33	32	cheli 31864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) → 𝑦 ∈ ℋ)
34	33	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) → 𝑦 ∈ ℋ)
35	29, 30, 34	3jca 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
36	35	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
37		his2sub 31724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
38	36, 37	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) → ((𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
39	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝑥))
40	39	oveq1d 7458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦))
41	3, 2, 1	pjadj2coi 32836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
42	33, 41	sylan2 605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) → (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
43	1, 2, 3	pj3lem1 32838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦) = 𝑦)
44	43	oveq2d 7459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) → (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
45	44	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) → (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
46	42, 45	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) → (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑦))
47	40, 46	sylan9eq 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑦))
48	47	oveq1d 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) → ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) − (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
49	25, 33	anim12i 625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
50	49	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
51		hicl 31712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
52	50, 51	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
53	52	subidd 11684	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) → ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) − (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)) = 0)
54	38, 48, 53	3eqtr2d 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) → ((𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)
55	54	expr 462	. . . . . . 7 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) → ((𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0))
56	55	ralrimiv 3157	. . . . . 6 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ∀𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)((𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)
57	32	chshii 31859	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) ∈ Sℋ
58		shocel 31914	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) ∈ Sℋ → ((𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) ↔ ((𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)((𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)))
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) ↔ ((𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)((𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0))
60	28, 56, 59	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)))
61	32	pjvi 32337	. . . . 5 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) ∧ (𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) → ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)))) = ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))
62	24, 60, 61	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)))) = ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))
63		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
64		hvaddsub12 31670	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 +ℎ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))))
65	25, 63, 25, 64	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 +ℎ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))))
66		hvsubid 31658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) = 0ℎ)
67	25, 66	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) = 0ℎ)
68	67	oveq2d 7459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 +ℎ 0ℎ))
69		ax-hvaddid 31636	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ 0ℎ) = 𝑥)
70	68, 69	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))) = 𝑥)
71	65, 70	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))) = 𝑥)
72	71	fveq2d 6912	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)))) = ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
73	72	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)))) = ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
74	62, 73	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
75	74	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
76	8, 9	hocofi 32398	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)): ℋ⟶ ℋ
77	32	pjfi 32336	. . 3 ⊢ (projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)): ℋ⟶ ℋ
78	76, 77	hoeqi 32393	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥) ↔ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)))
79	75, 78	sylib 221	1 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) → (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ran crn 5656   ∘ ccom 5659   Fn wfn 6553  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227   − cmin 11568   ℋchba 31551   +_ℎ cva 31552   ·_ih csp 31554  0_ℎc0v 31556   −_ℎ cmv 31557   S_ℋ csh 31560   C_ℋ cch 31561  ⊥cort 31562  proj_ℎcpjh 31569

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cc 10540  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306  ax-mulf 11307  ax-hilex 31631  ax-hfvadd 31632  ax-hvcom 31633  ax-hvass 31634  ax-hv0cl 31635  ax-hvaddid 31636  ax-hfvmul 31637  ax-hvmulid 31638  ax-hvmulass 31639  ax-hvdistr1 31640  ax-hvdistr2 31641  ax-hvmul0 31642  ax-hfi 31711  ax-his1 31714  ax-his2 31715  ax-his3 31716  ax-his4 31717  ax-hcompl 31834

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-acn 10050  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ioo 13507  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-rest 17622  df-topn 17623  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-topgen 17643  df-pt 17644  df-prds 17647  df-xrs 17703  df-qtop 17708  df-imas 17709  df-xps 17711  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-mulg 19307  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-fbas 21705  df-fg 21706  df-cnfld 21709  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-cld 23367  df-ntr 23368  df-cls 23369  df-nei 23446  df-cn 23575  df-cnp 23576  df-lm 23577  df-haus 23663  df-tx 23911  df-hmeo 24104  df-fil 24195  df-fm 24287  df-flim 24288  df-flf 24289  df-xms 24669  df-ms 24670  df-tms 24671  df-cfil 25606  df-cau 25607  df-cmet 25608  df-grpo 31125  df-gid 31126  df-ginv 31127  df-gdiv 31128  df-ablo 31177  df-vc 31191  df-nv 31224  df-va 31227  df-ba 31228  df-sm 31229  df-0v 31230  df-vs 31231  df-nmcv 31232  df-ims 31233  df-dip 31333  df-ssp 31354  df-ph 31445  df-cbn 31495  df-hnorm 31600  df-hba 31601  df-hvsub 31603  df-hlim 31604  df-hcau 31605  df-sh 31839  df-ch 31853  df-oc 31884  df-ch0 31885  df-shs 31940  df-pjh 32027

This theorem is used by:  pj3i  32840