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Theorem pj3si 32236
Description: Stronger projection triplet theorem. (Contributed by NM, 2-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjadj2co.1 𝐹C
pjadj2co.2 𝐺C
pjadj2co.3 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pj3si (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) → (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)))

Proof of Theorem pj3si
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjadj2co.1 . . . . . . . . . 10 𝐹C
2 pjadj2co.2 . . . . . . . . . 10 𝐺C
3 pjadj2co.3 . . . . . . . . . 10 𝐻C
41, 2, 3pj2cocli 32234 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐹)
54adantl 481 . . . . . . . 8 ((ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐹)
61pjfi 31733 . . . . . . . . . . . . 13 (proj𝐹): ℋ⟶ ℋ
72pjfi 31733 . . . . . . . . . . . . 13 (proj𝐺): ℋ⟶ ℋ
86, 7hocofi 31795 . . . . . . . . . . . 12 ((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)): ℋ⟶ ℋ
93pjfi 31733 . . . . . . . . . . . 12 (proj𝐻): ℋ⟶ ℋ
108, 9hocofni 31796 . . . . . . . . . . 11 (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) Fn ℋ
11 fnfvelrn 7100 . . . . . . . . . . 11 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) Fn ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)))
1210, 11mpan 690 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)))
13 ssel 3989 . . . . . . . . . 10 (ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺 → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺))
1412, 13syl5 34 . . . . . . . . 9 (ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺 → (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺))
1514imp 406 . . . . . . . 8 ((ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺)
165, 15elind 4210 . . . . . . 7 ((ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ (𝐹𝐺))
1716adantll 714 . . . . . 6 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ (𝐹𝐺))
183, 2, 1pj2cocli 32234 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ∈ 𝐻)
19 fveq1 6906 . . . . . . . . . 10 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥))
2019eleq1d 2824 . . . . . . . . 9 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔ ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ∈ 𝐻))
2118, 20imbitrrid 246 . . . . . . . 8 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) → (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻))
2221imp 406 . . . . . . 7 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻)
2322adantlr 715 . . . . . 6 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻)
2417, 23elind 4210 . . . . 5 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))
258, 9hococli 31794 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ)
26 hvsubcl 31046 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
2725, 26mpdan 687 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
2827adantl 481 . . . . . 6 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
29 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → 𝑥 ∈ ℋ)
3025adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ)
311, 2chincli 31489 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝐺) ∈ C
3231, 3chincli 31489 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) ∈ C
3332cheli 31261 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) → 𝑦 ∈ ℋ)
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → 𝑦 ∈ ℋ)
3529, 30, 343jca 1127 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
3635adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
37 his2sub 31121 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
3919adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥))
4039oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦))
413, 2, 1pjadj2coi 32233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)))
4233, 41sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)))
431, 2, 3pj3lem1 32235 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦) = 𝑦)
4443oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) → (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
4544adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
4642, 45eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑦))
4740, 46sylan9eq 2795 . . . . . . . . . 10 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑦))
4847oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) − (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
4925, 33anim12i 613 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
5049adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
51 hicl 31109 . . . . . . . . . . 11 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
5352subidd 11606 . . . . . . . . 9 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) − (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)) = 0)
5438, 48, 533eqtr2d 2781 . . . . . . . 8 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)
5554expr 456 . . . . . . 7 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) → ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0))
5655ralrimiv 3143 . . . . . 6 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ∀𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)
5732chshii 31256 . . . . . . 7 ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) ∈ S
58 shocel 31311 . . . . . . 7 (((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) ∈ S → ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) ↔ ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)))
5957, 58ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) ↔ ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0))
6028, 56, 59sylanbrc 583 . . . . 5 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)))
6132pjvi 31734 . . . . 5 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) ∧ (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))
6224, 60, 61syl2anc 584 . . . 4 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))
63 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
64 hvaddsub12 31067 . . . . . . . 8 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 + (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))))
6525, 63, 25, 64syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 + (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))))
66 hvsubid 31055 . . . . . . . . . 10 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) = 0)
6725, 66syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) = 0)
6867oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 + 0))
69 ax-hvaddid 31033 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + 0) = 𝑥)
7068, 69eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = 𝑥)
7165, 70eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = 𝑥)
7271fveq2d 6911 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
7372adantl 481 . . . 4 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
7462, 73eqtr3d 2777 . . 3 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
7574ralrimiva 3144 . 2 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
768, 9hocofi 31795 . . 3 (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)): ℋ⟶ ℋ
7732pjfi 31733 . . 3 (proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)): ℋ⟶ ℋ
7876, 77hoeqi 31790 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥) ↔ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)))
7975, 78sylib 218 1 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) → (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cin 3962  wss 3963  ran crn 5690  ccom 5693   Fn wfn 6558  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  cmin 11490  chba 30948   + cva 30949   ·ih csp 30951  0c0v 30953   cmv 30954   S csh 30957   C cch 30958  cort 30959  projcpjh 30966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112  ax-his3 31113  ax-his4 31114  ax-hcompl 31231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-lm 23253  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cfil 25303  df-cau 25304  df-cmet 25305  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-dip 30730  df-ssp 30751  df-ph 30842  df-cbn 30892  df-hnorm 30997  df-hba 30998  df-hvsub 31000  df-hlim 31001  df-hcau 31002  df-sh 31236  df-ch 31250  df-oc 31281  df-ch0 31282  df-shs 31337  df-pjh 31424
This theorem is referenced by:  pj3i  32237
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