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Theorem nmopcoadji 29976
 Description: The norm of an operator composed with its adjoint. Part of Theorem 3.11(vi) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 8-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmopcoadj.1 𝑇 ∈ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmopcoadji (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop𝑇)↑2)

Proof of Theorem nmopcoadji
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmopcoadj.1 . . . . . . 7 𝑇 ∈ BndLinOp
2 adjbdlnb 29959 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ BndLinOp ↔ (adj𝑇) ∈ BndLinOp)
31, 2mpbi 233 . . . . . 6 (adj𝑇) ∈ BndLinOp
4 bdopf 29737 . . . . . 6 ((adj𝑇) ∈ BndLinOp → (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ
6 bdopf 29737 . . . . . 6 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
71, 6ax-mp 5 . . . . 5 𝑇: ℋ⟶ ℋ
85, 7hocofi 29641 . . . 4 ((adj𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
9 nmopre 29745 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop𝑇) ∈ ℝ)
101, 9ax-mp 5 . . . . . 6 (normop𝑇) ∈ ℝ
1110resqcli 13592 . . . . 5 ((normop𝑇)↑2) ∈ ℝ
12 rexr 10718 . . . . 5 (((normop𝑇)↑2) ∈ ℝ → ((normop𝑇)↑2) ∈ ℝ*)
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 ((normop𝑇)↑2) ∈ ℝ*
14 nmopub 29783 . . . 4 ((((adj𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((normop𝑇)↑2) ∈ ℝ*) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop𝑇)↑2) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑇)↑2))))
158, 13, 14mp2an 692 . . 3 ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop𝑇)↑2) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑇)↑2)))
165, 7hocoi 29639 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)))
1716fveq2d 6663 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))
1817adantr 485 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))
197ffvelrni 6842 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
205ffvelrni 6842 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → ((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
21 normcl 29000 . . . . . . . . 9 (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ∈ ℋ → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
2322adantr 485 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
24 nmopre 29745 . . . . . . . . . 10 ((adj𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘(adj𝑇)) ∈ ℝ)
253, 24ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (normop‘(adj𝑇)) ∈ ℝ
26 normcl 29000 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
2719, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
28 remulcl 10653 . . . . . . . . 9 (((normop‘(adj𝑇)) ∈ ℝ ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ) → ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
2925, 27, 28sylancr 591 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
3029adantr 485 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
3125, 10remulcli 10688 . . . . . . . 8 ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)) ∈ ℝ
3231a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)) ∈ ℝ)
333nmbdoplbi 29899 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
3419, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
3534adantr 485 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
3627adantr 485 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
3710a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (normop𝑇) ∈ ℝ)
38 normcl 29000 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℝ)
39 remulcl 10653 . . . . . . . . . . 11 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ (norm𝑥) ∈ ℝ) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
4010, 38, 39sylancr 591 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
4140adantr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
421nmbdoplbi 29899 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑥)))
4342adantr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑥)))
44 1re 10672 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
45 nmopge0 29786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop𝑇))
461, 6, 45mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ (normop𝑇)
4710, 46pm3.2i 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop𝑇))
48 lemul2a 11526 . . . . . . . . . . . . 13 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop𝑇))) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · 1))
4947, 48mp3anl3 1455 . . . . . . . . . . . 12 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · 1))
5044, 49mpanl2 701 . . . . . . . . . . 11 (((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · 1))
5138, 50sylan 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · 1))
5210recni 10686 . . . . . . . . . . 11 (normop𝑇) ∈ ℂ
5352mulid1i 10676 . . . . . . . . . 10 ((normop𝑇) · 1) = (normop𝑇)
5451, 53breqtrdi 5074 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ≤ (normop𝑇))
5536, 41, 37, 43, 54letrd 10828 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇))
56 nmopge0 29786 . . . . . . . . . . 11 ((adj𝑇): ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘(adj𝑇)))
573, 4, 56mp2b 10 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (normop‘(adj𝑇))
5825, 57pm3.2i 475 . . . . . . . . 9 ((normop‘(adj𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘(adj𝑇)))
59 lemul2a 11526 . . . . . . . . 9 ((((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ ∧ ((normop‘(adj𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘(adj𝑇)))) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇)) → ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)))
6058, 59mp3anl3 1455 . . . . . . . 8 ((((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇)) → ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)))
6136, 37, 55, 60syl21anc 837 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)))
6223, 30, 32, 35, 61letrd 10828 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)))
6318, 62eqbrtrd 5055 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)))
641nmopadji 29965 . . . . . . 7 (normop‘(adj𝑇)) = (normop𝑇)
6564oveq1i 7161 . . . . . 6 ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)) = ((normop𝑇) · (normop𝑇))
6652sqvali 13586 . . . . . 6 ((normop𝑇)↑2) = ((normop𝑇) · (normop𝑇))
6765, 66eqtr4i 2785 . . . . 5 ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)) = ((normop𝑇)↑2)
6863, 67breqtrdi 5074 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑇)↑2))
6968ex 417 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑇)↑2)))
7015, 69mprgbir 3086 . 2 (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop𝑇)↑2)
71 nmopge0 29786 . . . . . . . 8 (((adj𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
728, 71ax-mp 5 . . . . . . 7 0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))
733, 1bdopcoi 29973 . . . . . . . . 9 ((adj𝑇) ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp
74 nmopre 29745 . . . . . . . . 9 (((adj𝑇) ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ)
7573, 74ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ
7675sqrtcli 14772 . . . . . . 7 (0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) → (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ)
77 rexr 10718 . . . . . . 7 ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ → (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*)
7872, 76, 77mp2b 10 . . . . . 6 (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*
79 nmopub 29783 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*) → ((normop𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))))))
807, 78, 79mp2an 692 . . . . 5 ((normop𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))))
8119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
82 hicl 28955 . . . . . . . . . . . 12 ((((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
8381, 82mpancom 688 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
8483abscld 14837 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
8584adantr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
8622, 38remulcld 10702 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
8786adantr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
8875a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ)
89 bcs 29056 . . . . . . . . . . 11 ((((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)))
9081, 89mpancom 688 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)))
9190adantr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)))
925, 7hococli 29640 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → (((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ)
93 normcl 29000 . . . . . . . . . . . 12 ((((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
9594adantr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
9638adantr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm𝑥) ∈ ℝ)
97 normge0 29001 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))
9819, 20, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))
9922, 98jca 516 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)))))
10099adantr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)))))
101 simpr 489 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm𝑥) ≤ 1)
102 lemul2a 11526 . . . . . . . . . . . . 13 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ≤ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · 1))
10344, 102mp3anl2 1454 . . . . . . . . . . . 12 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ≤ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · 1))
10496, 100, 101, 103syl21anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ≤ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · 1))
10522recnd 10700 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℂ)
106105mulid1d 10689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · 1) = (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))
107106, 17eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · 1) = (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
108107adantr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · 1) = (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
109104, 108breqtrd 5059 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ≤ (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
110 remulcl 10653 . . . . . . . . . . . . 13 (((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ (norm𝑥) ∈ ℝ) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
11175, 38, 110sylancr 591 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
112111adantr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
11373nmbdoplbi 29899 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)))
114113adantr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)))
11575, 72pm3.2i 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
116 lemul2a 11526 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ≤ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
117115, 116mp3anl3 1455 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ≤ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
11844, 117mpanl2 701 . . . . . . . . . . . . 13 (((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ≤ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
11938, 118sylan 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ≤ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
12075recni 10686 . . . . . . . . . . . . 13 (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℂ
121120mulid1i 10676 . . . . . . . . . . . 12 ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · 1) = (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))
122119, 121breqtrdi 5074 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
12395, 112, 88, 114, 122letrd 10828 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
12487, 95, 88, 109, 123letrd 10828 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
12585, 87, 88, 91, 124letrd 10828 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
126 resqcl 13533 . . . . . . . . . . . 12 ((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) ∈ ℝ)
127 sqge0 13544 . . . . . . . . . . . 12 ((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → 0 ≤ ((norm‘(𝑇𝑥))↑2))
128126, 127absidd 14823 . . . . . . . . . . 11 ((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → (abs‘((norm‘(𝑇𝑥))↑2)) = ((norm‘(𝑇𝑥))↑2))
12919, 26, 1283syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘((norm‘(𝑇𝑥))↑2)) = ((norm‘(𝑇𝑥))↑2))
130 normsq 29009 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)))
13119, 130syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)))
132 bdopadj 29957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((adj𝑇) ∈ BndLinOp → (adj𝑇) ∈ dom adj)
1333, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (adj𝑇) ∈ dom adj
134 adj2 29809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((adj𝑇) ∈ dom adj ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑥) ·ih ((adj‘(adj𝑇))‘𝑥)))
135133, 134mp3an1 1446 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑥) ·ih ((adj‘(adj𝑇))‘𝑥)))
13619, 135mpancom 688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑥) ·ih ((adj‘(adj𝑇))‘𝑥)))
137 bdopadj 29957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ dom adj)
138 adjadj 29811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ dom adj → (adj‘(adj𝑇)) = 𝑇)
1391, 137, 138mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15 (adj‘(adj𝑇)) = 𝑇
140139fveq1i 6660 . . . . . . . . . . . . . 14 ((adj‘(adj𝑇))‘𝑥) = (𝑇𝑥)
141140oveq2i 7162 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇𝑥) ·ih ((adj‘(adj𝑇))‘𝑥)) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥))
142136, 141eqtr2di 2811 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) = (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥))
143131, 142eqtrd 2794 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) = (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥))
144143fveq2d 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘((norm‘(𝑇𝑥))↑2)) = (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)))
145129, 144eqtr3d 2796 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) = (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)))
146145adantr 485 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) = (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)))
14775sqsqrti 14776 . . . . . . . . . 10 (0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) → ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
1488, 71, 147mp2b 10 . . . . . . . . 9 ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))
149148a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
150125, 146, 1493brtr4d 5065 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2))
151 normge0 29001 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝑇𝑥)))
15219, 151syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝑇𝑥)))
1538, 71, 76mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ
15475sqrtge0i 14777 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) → 0 ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))))
1558, 71, 154mp2b 10 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
156 le2sq 13542 . . . . . . . . . 10 ((((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑇𝑥))) ∧ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))))) → ((norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
157153, 155, 156mpanr12 705 . . . . . . . . 9 (((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑇𝑥))) → ((norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
15827, 152, 157syl2anc 588 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
159158adantr 485 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
160150, 159mpbird 260 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))))
161160ex 417 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))))
16280, 161mprgbir 3086 . . . 4 (normop𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
16310, 153le2sqi 13596 . . . . 5 ((0 ≤ (normop𝑇) ∧ 0 ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))) → ((normop𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normop𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
16446, 155, 163mp2an 692 . . . 4 ((normop𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normop𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2))
165162, 164mpbi 233 . . 3 ((normop𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)
166165, 148breqtri 5058 . 2 ((normop𝑇)↑2) ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))
16775, 11letri3i 10787 . 2 ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop𝑇)↑2) ↔ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop𝑇)↑2) ∧ ((normop𝑇)↑2) ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))))
16870, 166, 167mpbir2an 711 1 (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop𝑇)↑2)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071   class class class wbr 5033  dom cdm 5525   ∘ ccom 5529  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ℂcc 10566  ℝcr 10567  0cc0 10568  1c1 10569   · cmul 10573  ℝ*cxr 10705   ≤ cle 10707  2c2 11722  ↑cexp 13472  √csqrt 14633  abscabs 14634   ℋchba 28794   ·ih csp 28797  normℎcno 28798  normopcnop 28820  BndLinOpcbo 28823  adjℎcado 28830 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-inf2 9130  ax-cc 9888  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646  ax-addf 10647  ax-mulf 10648  ax-hilex 28874  ax-hfvadd 28875  ax-hvcom 28876  ax-hvass 28877  ax-hv0cl 28878  ax-hvaddid 28879  ax-hfvmul 28880  ax-hvmulid 28881  ax-hvmulass 28882  ax-hvdistr1 28883  ax-hvdistr2 28884  ax-hvmul0 28885  ax-hfi 28954  ax-his1 28957  ax-his2 28958  ax-his3 28959  ax-his4 28960  ax-hcompl 29077 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7406  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-supp 7837  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-2o 8114  df-oadd 8117  df-omul 8118  df-er 8300  df-map 8419  df-pm 8420  df-ixp 8481  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fsupp 8860  df-fi 8901  df-sup 8932  df-inf 8933  df-oi 9000  df-card 9394  df-acn 9397  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-9 11737  df-n0 11928  df-z 12014  df-dec 12131  df-uz 12276  df-q 12382  df-rp 12424  df-xneg 12541  df-xadd 12542  df-xmul 12543  df-ioo 12776  df-ico 12778  df-icc 12779  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-fl 13204  df-seq 13412  df-exp 13473  df-hash 13734  df-cj 14499  df-re 14500  df-im 14501  df-sqrt 14635  df-abs 14636  df-clim 14886  df-rlim 14887  df-sum 15084  df-struct 16536  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-ress 16542  df-plusg 16629  df-mulr 16630  df-starv 16631  df-sca 16632  df-vsca 16633  df-ip 16634  df-tset 16635  df-ple 16636  df-ds 16638  df-unif 16639  df-hom 16640  df-cco 16641  df-rest 16747  df-topn 16748  df-0g 16766  df-gsum 16767  df-topgen 16768  df-pt 16769  df-prds 16772  df-xrs 16826  df-qtop 16831  df-imas 16832  df-xps 16834  df-mre 16908  df-mrc 16909  df-acs 16911  df-mgm 17911  df-sgrp 17960  df-mnd 17971  df-submnd 18016  df-mulg 18285  df-cntz 18507  df-cmn 18968  df-psmet 20151  df-xmet 20152  df-met 20153  df-bl 20154  df-mopn 20155  df-fbas 20156  df-fg 20157  df-cnfld 20160  df-top 21587  df-topon 21604  df-topsp 21626  df-bases 21639  df-cld 21712  df-ntr 21713  df-cls 21714  df-nei 21791  df-cn 21920  df-cnp 21921  df-lm 21922  df-t1 22007  df-haus 22008  df-tx 22255  df-hmeo 22448  df-fil 22539  df-fm 22631  df-flim 22632  df-flf 22633  df-xms 23015  df-ms 23016  df-tms 23017  df-cfil 23948  df-cau 23949  df-cmet 23950  df-grpo 28368  df-gid 28369  df-ginv 28370  df-gdiv 28371  df-ablo 28420  df-vc 28434  df-nv 28467  df-va 28470  df-ba 28471  df-sm 28472  df-0v 28473  df-vs 28474  df-nmcv 28475  df-ims 28476  df-dip 28576  df-ssp 28597  df-lno 28619  df-nmoo 28620  df-0o 28622  df-ph 28688  df-cbn 28738  df-hnorm 28843  df-hba 28844  df-hvsub 28846  df-hlim 28847  df-hcau 28848  df-sh 29082  df-ch 29096  df-oc 29127  df-ch0 29128  df-shs 29183  df-pjh 29270  df-h0op 29623  df-nmop 29714  df-cnop 29715  df-lnop 29716  df-bdop 29717  df-unop 29718  df-hmop 29719  df-nmfn 29720  df-nlfn 29721  df-cnfn 29722  df-lnfn 29723  df-adjh 29724 This theorem is referenced by:  nmopcoadj2i  29977
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