Theorem nmopcoadji 30463

Description: The norm of an operator composed with its adjoint. Part of Theorem 3.11(vi) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 8-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmopcoadj.1	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmopcoadji	⊢ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop‘𝑇)↑2)

Proof of Theorem nmopcoadji

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmopcoadj.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
2		adjbdlnb 30446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp ↔ (adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp)
3	1, 2	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ (adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp
4		bdopf 30224	. . . . . 6 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp → (adjℎ‘𝑇): ℋ⟶ ℋ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (adjℎ‘𝑇): ℋ⟶ ℋ
6		bdopf 30224	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
8	5, 7	hocofi 30128	. . . 4 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
9		nmopre 30232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
10	1, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
11	10	resqcli 13903	. . . . 5 ⊢ ((normop‘𝑇)↑2) ∈ ℝ
12		rexr 11021	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇)↑2) ∈ ℝ → ((normop‘𝑇)↑2) ∈ ℝ*)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((normop‘𝑇)↑2) ∈ ℝ*
14		nmopub 30270	. . . 4 ⊢ ((((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((normop‘𝑇)↑2) ∈ ℝ*) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2))))
15	8, 13, 14	mp2an 689	. . 3 ⊢ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2)))
16	5, 7	hocoi 30126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)))
17	16	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))
18	17	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))
19	7	ffvelrni 6960	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
20	5	ffvelrni 6960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → ((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
21		normcl 29487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
23	22	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
24		nmopre 30232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ ℝ)
25	3, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (normop‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ ℝ
26		normcl 29487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
27	19, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
28		remulcl 10956	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
29	25, 27, 28	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
30	29	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
31	25, 10	remulcli 10991	. . . . . . . 8 ⊢ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
33	3	nmbdoplbi 30386	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
34	19, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
35	34	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
36	27	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
37	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
38		normcl 29487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
39		remulcl 10956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
40	10, 38, 39	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
41	40	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
42	1	nmbdoplbi 30386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)))
43	42	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)))
44		1re 10975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
45		nmopge0 30273	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘𝑇))
46	1, 6, 45	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ (normop‘𝑇)
47	10, 46	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘𝑇))
48		lemul2a 11830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘𝑇))) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · 1))
49	47, 48	mp3anl3 1456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · 1))
50	44, 49	mpanl2 698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · 1))
51	38, 50	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · 1))
52	10	recni 10989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
53	52	mulid1i 10979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((normop‘𝑇) · 1) = (normop‘𝑇)
54	51, 53	breqtrdi 5115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
55	36, 41, 37, 43, 54	letrd 11132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
56		nmopge0 30273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((adjℎ‘𝑇): ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘(adjℎ‘𝑇)))
57	3, 4, 56	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (normop‘(adjℎ‘𝑇))
58	25, 57	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘(adjℎ‘𝑇)))
59		lemul2a 11830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘(adjℎ‘𝑇)))) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇)) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)))
60	58, 59	mp3anl3 1456	. . . . . . . 8 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇)) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)))
61	36, 37, 55, 60	syl21anc 835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)))
62	23, 30, 32, 35, 61	letrd 11132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)))
63	18, 62	eqbrtrd 5096	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)))
64	1	nmopadji 30452	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘(adjℎ‘𝑇)) = (normop‘𝑇)
65	64	oveq1i 7285	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) = ((normop‘𝑇) · (normop‘𝑇))
66	52	sqvali 13897	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘𝑇)↑2) = ((normop‘𝑇) · (normop‘𝑇))
67	65, 66	eqtr4i 2769	. . . . 5 ⊢ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) = ((normop‘𝑇)↑2)
68	63, 67	breqtrdi 5115	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2))
69	68	ex 413	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2)))
70	15, 69	mprgbir 3079	. 2 ⊢ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2)
71		nmopge0 30273	. . . . . . . 8 ⊢ (((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
72	8, 71	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))
73	3, 1	bdopcoi 30460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp
74		nmopre 30232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ)
75	73, 74	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ
76	75	sqrtcli 15083	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) → (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ)
77		rexr 11021	. . . . . . 7 ⊢ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ → (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*)
78	72, 76, 77	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*
79		nmopub 30270	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*) → ((normop‘𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))))))
80	7, 78, 79	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ ((normop‘𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))))
81	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
82		hicl 29442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
83	81, 82	mpancom 685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
84	83	abscld 15148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
85	84	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
86	22, 38	remulcld 11005	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
87	86	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
88	75	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ)
89		bcs 29543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)))
90	81, 89	mpancom 685	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)))
91	90	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)))
92	5, 7	hococli 30127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ)
93		normcl 29487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
96	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
97		normge0 29488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))
98	19, 20, 97	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))
99	22, 98	jca 512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)))))
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)))))
101		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘𝑥) ≤ 1)
102		lemul2a 11830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1))
103	44, 102	mp3anl2 1455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1))
104	96, 100, 101, 103	syl21anc 835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1))
105	22	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℂ)
106	105	mulid1d 10992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1) = (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))
107	106, 17	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1) = (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
108	107	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1) = (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
109	104, 108	breqtrd 5100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
110		remulcl 10956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
111	75, 38, 110	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
112	111	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
113	73	nmbdoplbi 30386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)))
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)))
115	75, 72	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
116		lemul2a 11830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
117	115, 116	mp3anl3 1456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
118	44, 117	mpanl2 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
119	38, 118	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
120	75	recni 10989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℂ
121	120	mulid1i 10979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · 1) = (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))
122	119, 121	breqtrdi 5115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
123	95, 112, 88, 114, 122	letrd 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
124	87, 95, 88, 109, 123	letrd 11132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
125	85, 87, 88, 91, 124	letrd 11132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
126		resqcl 13844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ∈ ℝ)
127		sqge0 13855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ → 0 ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2))
128	126, 127	absidd 15134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ → (abs‘((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2)) = ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2))
129	19, 26, 128	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2)) = ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2))
130		normsq 29496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑥)))
131	19, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑥)))
132		bdopadj 30444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp → (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)
133	3, 132	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ
134		adj2 30296	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥)))
135	133, 134	mp3an1 1447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥)))
136	19, 135	mpancom 685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥)))
137		bdopadj 30444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ dom adjℎ)
138		adjadj 30298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) = 𝑇)
139	1, 137, 138	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) = 𝑇
140	139	fveq1i 6775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) = (𝑇‘𝑥)
141	140	oveq2i 7286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑥))
142	136, 141	eqtr2di 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑥)) = (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥))
143	131, 142	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) = (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥))
144	143	fveq2d 6778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2)) = (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)))
145	129, 144	eqtr3d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) = (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)))
146	145	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) = (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)))
147	75	sqsqrti 15087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) → ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
148	8, 71, 147	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))
149	148	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
150	125, 146, 149	3brtr4d 5106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2))
151		normge0 29488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)))
152	19, 151	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)))
153	8, 71, 76	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ
154	75	sqrtge0i 15088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) → 0 ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))))
155	8, 71, 154	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
156		le2sq 13853	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ∧ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))))) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
157	153, 155, 156	mpanr12 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
158	27, 152, 157	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
159	158	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
160	150, 159	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))))
161	160	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))))
162	80, 161	mprgbir 3079	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
163	10, 153	le2sqi 13907	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (normop‘𝑇) ∧ 0 ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))) → ((normop‘𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normop‘𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
164	46, 155, 163	mp2an 689	. . . 4 ⊢ ((normop‘𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normop‘𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2))
165	162, 164	mpbi 229	. . 3 ⊢ ((normop‘𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)
166	165, 148	breqtri 5099	. 2 ⊢ ((normop‘𝑇)↑2) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))
167	75, 11	letri3i 11091	. 2 ⊢ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop‘𝑇)↑2) ↔ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2) ∧ ((normop‘𝑇)↑2) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))))
168	70, 166, 167	mpbir2an 708	1 ⊢ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop‘𝑇)↑2)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   class class class wbr 5074  dom cdm 5589   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876  ℝ^*cxr 11008   ≤ cle 11010  2c2 12028  ↑cexp 13782  √csqrt 14944  abscabs 14945   ℋchba 29281   ·_ih csp 29284  norm_ℎcno 29285  norm_opcnop 29307  BndLinOpcbo 29310  adj_ℎcado 29317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cc 10191  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hvcom 29363  ax-hvass 29364  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvmulass 29369  ax-hvdistr1 29370  ax-hvdistr2 29371  ax-hvmul0 29372  ax-hfi 29441  ax-his1 29444  ax-his2 29445  ax-his3 29446  ax-his4 29447  ax-hcompl 29564

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-lm 22380  df-t1 22465  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cfil 24419  df-cau 24420  df-cmet 24421  df-grpo 28855  df-gid 28856  df-ginv 28857  df-gdiv 28858  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-vs 28961  df-nmcv 28962  df-ims 28963  df-dip 29063  df-ssp 29084  df-lno 29106  df-nmoo 29107  df-0o 29109  df-ph 29175  df-cbn 29225  df-hnorm 29330  df-hba 29331  df-hvsub 29333  df-hlim 29334  df-hcau 29335  df-sh 29569  df-ch 29583  df-oc 29614  df-ch0 29615  df-shs 29670  df-pjh 29757  df-h0op 30110  df-nmop 30201  df-cnop 30202  df-lnop 30203  df-bdop 30204  df-unop 30205  df-hmop 30206  df-nmfn 30207  df-nlfn 30208  df-cnfn 30209  df-lnfn 30210  df-adjh 30211

This theorem is referenced by:  nmopcoadj2i  30464