Theorem nmopcoadji 32081

Description: The norm of an operator composed with its adjoint. Part of Theorem 3.11(vi) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 8-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmopcoadj.1	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmopcoadji	⊢ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop‘𝑇)↑2)

Proof of Theorem nmopcoadji

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmopcoadj.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
2		adjbdlnb 32064	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp ↔ (adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp)
3	1, 2	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp
4		bdopf 31842	. . . . . 6 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp → (adjℎ‘𝑇): ℋ⟶ ℋ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (adjℎ‘𝑇): ℋ⟶ ℋ
6		bdopf 31842	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
8	5, 7	hocofi 31746	. . . 4 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
9		nmopre 31850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
10	1, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
11	10	resqcli 14129	. . . . 5 ⊢ ((normop‘𝑇)↑2) ∈ ℝ
12		rexr 11198	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇)↑2) ∈ ℝ → ((normop‘𝑇)↑2) ∈ ℝ*)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((normop‘𝑇)↑2) ∈ ℝ*
14		nmopub 31888	. . . 4 ⊢ ((((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((normop‘𝑇)↑2) ∈ ℝ*) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2))))
15	8, 13, 14	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2)))
16	5, 7	hocoi 31744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)))
17	16	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))
19	7	ffvelcdmi 7037	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
20	5	ffvelcdmi 7037	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → ((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
21		normcl 31105	. . . . . . . . 9 ⊢ (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
24		nmopre 31850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ ℝ)
25	3, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (normop‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ ℝ
26		normcl 31105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
27	19, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
28		remulcl 11131	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
29	25, 27, 28	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
31	25, 10	remulcli 11168	. . . . . . . 8 ⊢ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
33	3	nmbdoplbi 32004	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
34	19, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
35	34	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
36	27	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
37	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
38		normcl 31105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
39		remulcl 11131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
40	10, 38, 39	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
42	1	nmbdoplbi 32004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)))
43	42	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)))
44		1re 11152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
45		nmopge0 31891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘𝑇))
46	1, 6, 45	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ (normop‘𝑇)
47	10, 46	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘𝑇))
48		lemul2a 12015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘𝑇))) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · 1))
49	47, 48	mp3anl3 1459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · 1))
50	44, 49	mpanl2 701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · 1))
51	38, 50	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · 1))
52	10	recni 11166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
53	52	mulridi 11156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((normop‘𝑇) · 1) = (normop‘𝑇)
54	51, 53	breqtrdi 5143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
55	36, 41, 37, 43, 54	letrd 11309	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
56		nmopge0 31891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((adjℎ‘𝑇): ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘(adjℎ‘𝑇)))
57	3, 4, 56	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (normop‘(adjℎ‘𝑇))
58	25, 57	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘(adjℎ‘𝑇)))
59		lemul2a 12015	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘(adjℎ‘𝑇)))) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇)) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)))
60	58, 59	mp3anl3 1459	. . . . . . . 8 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇)) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)))
61	36, 37, 55, 60	syl21anc 837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)))
62	23, 30, 32, 35, 61	letrd 11309	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)))
63	18, 62	eqbrtrd 5124	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)))
64	1	nmopadji 32070	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘(adjℎ‘𝑇)) = (normop‘𝑇)
65	64	oveq1i 7379	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) = ((normop‘𝑇) · (normop‘𝑇))
66	52	sqvali 14123	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘𝑇)↑2) = ((normop‘𝑇) · (normop‘𝑇))
67	65, 66	eqtr4i 2755	. . . . 5 ⊢ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) = ((normop‘𝑇)↑2)
68	63, 67	breqtrdi 5143	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2))
69	68	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2)))
70	15, 69	mprgbir 3051	. 2 ⊢ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2)
71		nmopge0 31891	. . . . . . . 8 ⊢ (((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
72	8, 71	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))
73	3, 1	bdopcoi 32078	. . . . . . . . 9 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp
74		nmopre 31850	. . . . . . . . 9 ⊢ (((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ)
75	73, 74	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ
76	75	sqrtcli 15315	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) → (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ)
77		rexr 11198	. . . . . . 7 ⊢ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ → (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*)
78	72, 76, 77	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*
79		nmopub 31888	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*) → ((normop‘𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))))))
80	7, 78, 79	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((normop‘𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))))
81	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
82		hicl 31060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
83	81, 82	mpancom 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
84	83	abscld 15382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
85	84	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
86	22, 38	remulcld 11182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
87	86	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
88	75	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ)
89		bcs 31161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)))
90	81, 89	mpancom 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)))
91	90	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)))
92	5, 7	hococli 31745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ)
93		normcl 31105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
95	94	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
96	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
97		normge0 31106	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))
98	19, 20, 97	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))
99	22, 98	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)))))
100	99	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)))))
101		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘𝑥) ≤ 1)
102		lemul2a 12015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1))
103	44, 102	mp3anl2 1458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1))
104	96, 100, 101, 103	syl21anc 837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1))
105	22	recnd 11180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℂ)
106	105	mulridd 11169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1) = (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))
107	106, 17	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1) = (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1) = (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
109	104, 108	breqtrd 5128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
110		remulcl 11131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
111	75, 38, 110	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
112	111	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
113	73	nmbdoplbi 32004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)))
114	113	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)))
115	75, 72	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
116		lemul2a 12015	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
117	115, 116	mp3anl3 1459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
118	44, 117	mpanl2 701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
119	38, 118	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
120	75	recni 11166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℂ
121	120	mulridi 11156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · 1) = (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))
122	119, 121	breqtrdi 5143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
123	95, 112, 88, 114, 122	letrd 11309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
124	87, 95, 88, 109, 123	letrd 11309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
125	85, 87, 88, 91, 124	letrd 11309	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
126		resqcl 14067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ∈ ℝ)
127		sqge0 14079	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ → 0 ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2))
128	126, 127	absidd 15366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ → (abs‘((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2)) = ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2))
129	19, 26, 128	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2)) = ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2))
130		normsq 31114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑥)))
131	19, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑥)))
132		bdopadj 32062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp → (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)
133	3, 132	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ
134		adj2 31914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥)))
135	133, 134	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥)))
136	19, 135	mpancom 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥)))
137		bdopadj 32062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ dom adjℎ)
138		adjadj 31916	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) = 𝑇)
139	1, 137, 138	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) = 𝑇
140	139	fveq1i 6841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) = (𝑇‘𝑥)
141	140	oveq2i 7380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑥))
142	136, 141	eqtr2di 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑥)) = (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥))
143	131, 142	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) = (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥))
144	143	fveq2d 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2)) = (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)))
145	129, 144	eqtr3d 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) = (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)))
146	145	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) = (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)))
147	75	sqsqrti 15319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) → ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
148	8, 71, 147	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))
149	148	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
150	125, 146, 149	3brtr4d 5134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2))
151		normge0 31106	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)))
152	19, 151	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)))
153	8, 71, 76	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ
154	75	sqrtge0i 15320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) → 0 ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))))
155	8, 71, 154	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
156		le2sq 14077	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ∧ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))))) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
157	153, 155, 156	mpanr12 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
158	27, 152, 157	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
159	158	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
160	150, 159	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))))
161	160	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))))
162	80, 161	mprgbir 3051	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
163	10, 153	le2sqi 14133	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (normop‘𝑇) ∧ 0 ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))) → ((normop‘𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normop‘𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
164	46, 155, 163	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((normop‘𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normop‘𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2))
165	162, 164	mpbi 230	. . 3 ⊢ ((normop‘𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)
166	165, 148	breqtri 5127	. 2 ⊢ ((normop‘𝑇)↑2) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))
167	75, 11	letri3i 11268	. 2 ⊢ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop‘𝑇)↑2) ↔ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2) ∧ ((normop‘𝑇)↑2) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))))
168	70, 166, 167	mpbir2an 711	1 ⊢ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop‘𝑇)↑2)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   class class class wbr 5102  dom cdm 5631   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11044  ℝcr 11045  0cc0 11046  1c1 11047   · cmul 11051  ℝ^*cxr 11185   ≤ cle 11187  2c2 12219  ↑cexp 14004  √csqrt 15176  abscabs 15177   ℋchba 30899   ·_ih csp 30902  norm_ℎcno 30903  norm_opcnop 30925  BndLinOpcbo 30928  adj_ℎcado 30935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9572  ax-cc 10366  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-pre-sup 11124  ax-addf 11125  ax-mulf 11126  ax-hilex 30979  ax-hfvadd 30980  ax-hvcom 30981  ax-hvass 30982  ax-hv0cl 30983  ax-hvaddid 30984  ax-hfvmul 30985  ax-hvmulid 30986  ax-hvmulass 30987  ax-hvdistr1 30988  ax-hvdistr2 30989  ax-hvmul0 30990  ax-hfi 31059  ax-his1 31062  ax-his2 31063  ax-his3 31064  ax-his4 31065  ax-hcompl 31182

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9870  df-acn 9873  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-4 12229  df-5 12230  df-6 12231  df-7 12232  df-8 12233  df-9 12234  df-n0 12421  df-z 12508  df-dec 12628  df-uz 12772  df-q 12886  df-rp 12930  df-xneg 13050  df-xadd 13051  df-xmul 13052  df-ioo 13288  df-ico 13290  df-icc 13291  df-fz 13447  df-fzo 13594  df-fl 13732  df-seq 13945  df-exp 14005  df-hash 14274  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15630  df-struct 17094  df-sets 17111  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-ress 17178  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17362  df-topn 17363  df-0g 17381  df-gsum 17382  df-topgen 17383  df-pt 17384  df-prds 17387  df-xrs 17442  df-qtop 17447  df-imas 17448  df-xps 17450  df-mre 17524  df-mrc 17525  df-acs 17527  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-mulg 18983  df-cntz 19232  df-cmn 19697  df-psmet 21289  df-xmet 21290  df-met 21291  df-bl 21292  df-mopn 21293  df-fbas 21294  df-fg 21295  df-cnfld 21298  df-top 22815  df-topon 22832  df-topsp 22854  df-bases 22867  df-cld 22940  df-ntr 22941  df-cls 22942  df-nei 23019  df-cn 23148  df-cnp 23149  df-lm 23150  df-t1 23235  df-haus 23236  df-tx 23483  df-hmeo 23676  df-fil 23767  df-fm 23859  df-flim 23860  df-flf 23861  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cfil 25189  df-cau 25190  df-cmet 25191  df-grpo 30473  df-gid 30474  df-ginv 30475  df-gdiv 30476  df-ablo 30525  df-vc 30539  df-nv 30572  df-va 30575  df-ba 30576  df-sm 30577  df-0v 30578  df-vs 30579  df-nmcv 30580  df-ims 30581  df-dip 30681  df-ssp 30702  df-lno 30724  df-nmoo 30725  df-0o 30727  df-ph 30793  df-cbn 30843  df-hnorm 30948  df-hba 30949  df-hvsub 30951  df-hlim 30952  df-hcau 30953  df-sh 31187  df-ch 31201  df-oc 31232  df-ch0 31233  df-shs 31288  df-pjh 31375  df-h0op 31728  df-nmop 31819  df-cnop 31820  df-lnop 31821  df-bdop 31822  df-unop 31823  df-hmop 31824  df-nmfn 31825  df-nlfn 31826  df-cnfn 31827  df-lnfn 31828  df-adjh 31829

This theorem is referenced by:  nmopcoadj2i  32082