Theorem nmopcoadji 30364

Description: The norm of an operator composed with its adjoint. Part of Theorem 3.11(vi) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 8-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmopcoadj.1	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmopcoadji	⊢ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop‘𝑇)↑2)

Proof of Theorem nmopcoadji

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmopcoadj.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
2		adjbdlnb 30347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp ↔ (adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp)
3	1, 2	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ (adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp
4		bdopf 30125	. . . . . 6 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp → (adjℎ‘𝑇): ℋ⟶ ℋ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (adjℎ‘𝑇): ℋ⟶ ℋ
6		bdopf 30125	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
8	5, 7	hocofi 30029	. . . 4 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
9		nmopre 30133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
10	1, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
11	10	resqcli 13831	. . . . 5 ⊢ ((normop‘𝑇)↑2) ∈ ℝ
12		rexr 10952	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇)↑2) ∈ ℝ → ((normop‘𝑇)↑2) ∈ ℝ*)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((normop‘𝑇)↑2) ∈ ℝ*
14		nmopub 30171	. . . 4 ⊢ ((((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((normop‘𝑇)↑2) ∈ ℝ*) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2))))
15	8, 13, 14	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2)))
16	5, 7	hocoi 30027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)))
17	16	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))
19	7	ffvelrni 6942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
20	5	ffvelrni 6942	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → ((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
21		normcl 29388	. . . . . . . . 9 ⊢ (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
24		nmopre 30133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ ℝ)
25	3, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (normop‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ ℝ
26		normcl 29388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
27	19, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
28		remulcl 10887	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
29	25, 27, 28	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
31	25, 10	remulcli 10922	. . . . . . . 8 ⊢ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
33	3	nmbdoplbi 30287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
34	19, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
35	34	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
36	27	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
37	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
38		normcl 29388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
39		remulcl 10887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
40	10, 38, 39	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
42	1	nmbdoplbi 30287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)))
43	42	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)))
44		1re 10906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
45		nmopge0 30174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘𝑇))
46	1, 6, 45	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ (normop‘𝑇)
47	10, 46	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘𝑇))
48		lemul2a 11760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘𝑇))) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · 1))
49	47, 48	mp3anl3 1455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · 1))
50	44, 49	mpanl2 697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · 1))
51	38, 50	sylan 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · 1))
52	10	recni 10920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
53	52	mulid1i 10910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((normop‘𝑇) · 1) = (normop‘𝑇)
54	51, 53	breqtrdi 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
55	36, 41, 37, 43, 54	letrd 11062	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
56		nmopge0 30174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((adjℎ‘𝑇): ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘(adjℎ‘𝑇)))
57	3, 4, 56	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (normop‘(adjℎ‘𝑇))
58	25, 57	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘(adjℎ‘𝑇)))
59		lemul2a 11760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘(adjℎ‘𝑇)))) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇)) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)))
60	58, 59	mp3anl3 1455	. . . . . . . 8 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇)) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)))
61	36, 37, 55, 60	syl21anc 834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)))
62	23, 30, 32, 35, 61	letrd 11062	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)))
63	18, 62	eqbrtrd 5092	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)))
64	1	nmopadji 30353	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘(adjℎ‘𝑇)) = (normop‘𝑇)
65	64	oveq1i 7265	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) = ((normop‘𝑇) · (normop‘𝑇))
66	52	sqvali 13825	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘𝑇)↑2) = ((normop‘𝑇) · (normop‘𝑇))
67	65, 66	eqtr4i 2769	. . . . 5 ⊢ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) = ((normop‘𝑇)↑2)
68	63, 67	breqtrdi 5111	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2))
69	68	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2)))
70	15, 69	mprgbir 3078	. 2 ⊢ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2)
71		nmopge0 30174	. . . . . . . 8 ⊢ (((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
72	8, 71	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))
73	3, 1	bdopcoi 30361	. . . . . . . . 9 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp
74		nmopre 30133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ)
75	73, 74	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ
76	75	sqrtcli 15011	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) → (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ)
77		rexr 10952	. . . . . . 7 ⊢ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ → (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*)
78	72, 76, 77	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*
79		nmopub 30171	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*) → ((normop‘𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))))))
80	7, 78, 79	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ ((normop‘𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))))
81	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
82		hicl 29343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
83	81, 82	mpancom 684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
84	83	abscld 15076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
85	84	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
86	22, 38	remulcld 10936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
87	86	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
88	75	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ)
89		bcs 29444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)))
90	81, 89	mpancom 684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)))
91	90	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)))
92	5, 7	hococli 30028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ)
93		normcl 29388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
95	94	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
96	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
97		normge0 29389	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))
98	19, 20, 97	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))
99	22, 98	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)))))
100	99	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)))))
101		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘𝑥) ≤ 1)
102		lemul2a 11760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1))
103	44, 102	mp3anl2 1454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1))
104	96, 100, 101, 103	syl21anc 834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1))
105	22	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℂ)
106	105	mulid1d 10923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1) = (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))
107	106, 17	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1) = (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1) = (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
109	104, 108	breqtrd 5096	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
110		remulcl 10887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
111	75, 38, 110	sylancr 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
112	111	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
113	73	nmbdoplbi 30287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)))
114	113	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)))
115	75, 72	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
116		lemul2a 11760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
117	115, 116	mp3anl3 1455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
118	44, 117	mpanl2 697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
119	38, 118	sylan 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
120	75	recni 10920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℂ
121	120	mulid1i 10910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · 1) = (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))
122	119, 121	breqtrdi 5111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
123	95, 112, 88, 114, 122	letrd 11062	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
124	87, 95, 88, 109, 123	letrd 11062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
125	85, 87, 88, 91, 124	letrd 11062	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
126		resqcl 13772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ∈ ℝ)
127		sqge0 13783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ → 0 ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2))
128	126, 127	absidd 15062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ → (abs‘((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2)) = ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2))
129	19, 26, 128	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2)) = ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2))
130		normsq 29397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑥)))
131	19, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑥)))
132		bdopadj 30345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp → (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)
133	3, 132	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ
134		adj2 30197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥)))
135	133, 134	mp3an1 1446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥)))
136	19, 135	mpancom 684	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥)))
137		bdopadj 30345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ dom adjℎ)
138		adjadj 30199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) = 𝑇)
139	1, 137, 138	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) = 𝑇
140	139	fveq1i 6757	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) = (𝑇‘𝑥)
141	140	oveq2i 7266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑥))
142	136, 141	eqtr2di 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑥)) = (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥))
143	131, 142	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) = (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥))
144	143	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2)) = (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)))
145	129, 144	eqtr3d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) = (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)))
146	145	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) = (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)))
147	75	sqsqrti 15015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) → ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
148	8, 71, 147	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))
149	148	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
150	125, 146, 149	3brtr4d 5102	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2))
151		normge0 29389	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)))
152	19, 151	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)))
153	8, 71, 76	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ
154	75	sqrtge0i 15016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) → 0 ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))))
155	8, 71, 154	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
156		le2sq 13781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ∧ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))))) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
157	153, 155, 156	mpanr12 701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
158	27, 152, 157	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
159	158	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
160	150, 159	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))))
161	160	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))))
162	80, 161	mprgbir 3078	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
163	10, 153	le2sqi 13835	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (normop‘𝑇) ∧ 0 ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))) → ((normop‘𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normop‘𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
164	46, 155, 163	mp2an 688	. . . 4 ⊢ ((normop‘𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normop‘𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2))
165	162, 164	mpbi 229	. . 3 ⊢ ((normop‘𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)
166	165, 148	breqtri 5095	. 2 ⊢ ((normop‘𝑇)↑2) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))
167	75, 11	letri3i 11021	. 2 ⊢ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop‘𝑇)↑2) ↔ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2) ∧ ((normop‘𝑇)↑2) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))))
168	70, 166, 167	mpbir2an 707	1 ⊢ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop‘𝑇)↑2)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   class class class wbr 5070  dom cdm 5580   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807  ℝ^*cxr 10939   ≤ cle 10941  2c2 11958  ↑cexp 13710  √csqrt 14872  abscabs 14873   ℋchba 29182   ·_ih csp 29185  norm_ℎcno 29186  norm_opcnop 29208  BndLinOpcbo 29211  adj_ℎcado 29218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hvcom 29264  ax-hvass 29265  ax-hv0cl 29266  ax-hvaddid 29267  ax-hfvmul 29268  ax-hvmulid 29269  ax-hvmulass 29270  ax-hvdistr1 29271  ax-hvdistr2 29272  ax-hvmul0 29273  ax-hfi 29342  ax-his1 29345  ax-his2 29346  ax-his3 29347  ax-his4 29348  ax-hcompl 29465

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-lm 22288  df-t1 22373  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cfil 24324  df-cau 24325  df-cmet 24326  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-gdiv 28759  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-vs 28862  df-nmcv 28863  df-ims 28864  df-dip 28964  df-ssp 28985  df-lno 29007  df-nmoo 29008  df-0o 29010  df-ph 29076  df-cbn 29126  df-hnorm 29231  df-hba 29232  df-hvsub 29234  df-hlim 29235  df-hcau 29236  df-sh 29470  df-ch 29484  df-oc 29515  df-ch0 29516  df-shs 29571  df-pjh 29658  df-h0op 30011  df-nmop 30102  df-cnop 30103  df-lnop 30104  df-bdop 30105  df-unop 30106  df-hmop 30107  df-nmfn 30108  df-nlfn 30109  df-cnfn 30110  df-lnfn 30111  df-adjh 30112

This theorem is referenced by:  nmopcoadj2i  30365