Theorem nmopcoadji 29976

Description: The norm of an operator composed with its adjoint. Part of Theorem 3.11(vi) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 8-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmopcoadj.1	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmopcoadji	⊢ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop‘𝑇)↑2)

Proof of Theorem nmopcoadji

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmopcoadj.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
2		adjbdlnb 29959	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp ↔ (adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp)
3	1, 2	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp
4		bdopf 29737	. . . . . 6 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp → (adjℎ‘𝑇): ℋ⟶ ℋ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (adjℎ‘𝑇): ℋ⟶ ℋ
6		bdopf 29737	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
8	5, 7	hocofi 29641	. . . 4 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
9		nmopre 29745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
10	1, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
11	10	resqcli 13592	. . . . 5 ⊢ ((normop‘𝑇)↑2) ∈ ℝ
12		rexr 10718	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇)↑2) ∈ ℝ → ((normop‘𝑇)↑2) ∈ ℝ*)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((normop‘𝑇)↑2) ∈ ℝ*
14		nmopub 29783	. . . 4 ⊢ ((((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((normop‘𝑇)↑2) ∈ ℝ*) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2))))
15	8, 13, 14	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2)))
16	5, 7	hocoi 29639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)))
17	16	fveq2d 6663	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))
18	17	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))
19	7	ffvelrni 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
20	5	ffvelrni 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → ((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
21		normcl 29000	. . . . . . . . 9 ⊢ (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
23	22	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
24		nmopre 29745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ ℝ)
25	3, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (normop‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ ℝ
26		normcl 29000	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
27	19, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
28		remulcl 10653	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
29	25, 27, 28	sylancr 591	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
30	29	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
31	25, 10	remulcli 10688	. . . . . . . 8 ⊢ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
33	3	nmbdoplbi 29899	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
34	19, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
35	34	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
36	27	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
37	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
38		normcl 29000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
39		remulcl 10653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
40	10, 38, 39	sylancr 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
41	40	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
42	1	nmbdoplbi 29899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)))
43	42	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)))
44		1re 10672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
45		nmopge0 29786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘𝑇))
46	1, 6, 45	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ (normop‘𝑇)
47	10, 46	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘𝑇))
48		lemul2a 11526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘𝑇))) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · 1))
49	47, 48	mp3anl3 1455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · 1))
50	44, 49	mpanl2 701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · 1))
51	38, 50	sylan 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · 1))
52	10	recni 10686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
53	52	mulid1i 10676	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((normop‘𝑇) · 1) = (normop‘𝑇)
54	51, 53	breqtrdi 5074	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
55	36, 41, 37, 43, 54	letrd 10828	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
56		nmopge0 29786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((adjℎ‘𝑇): ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘(adjℎ‘𝑇)))
57	3, 4, 56	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (normop‘(adjℎ‘𝑇))
58	25, 57	pm3.2i 475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘(adjℎ‘𝑇)))
59		lemul2a 11526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘(adjℎ‘𝑇)))) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇)) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)))
60	58, 59	mp3anl3 1455	. . . . . . . 8 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇)) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)))
61	36, 37, 55, 60	syl21anc 837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)))
62	23, 30, 32, 35, 61	letrd 10828	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)))
63	18, 62	eqbrtrd 5055	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)))
64	1	nmopadji 29965	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘(adjℎ‘𝑇)) = (normop‘𝑇)
65	64	oveq1i 7161	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) = ((normop‘𝑇) · (normop‘𝑇))
66	52	sqvali 13586	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘𝑇)↑2) = ((normop‘𝑇) · (normop‘𝑇))
67	65, 66	eqtr4i 2785	. . . . 5 ⊢ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) = ((normop‘𝑇)↑2)
68	63, 67	breqtrdi 5074	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2))
69	68	ex 417	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2)))
70	15, 69	mprgbir 3086	. 2 ⊢ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2)
71		nmopge0 29786	. . . . . . . 8 ⊢ (((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
72	8, 71	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))
73	3, 1	bdopcoi 29973	. . . . . . . . 9 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp
74		nmopre 29745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ)
75	73, 74	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ
76	75	sqrtcli 14772	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) → (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ)
77		rexr 10718	. . . . . . 7 ⊢ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ → (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*)
78	72, 76, 77	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*
79		nmopub 29783	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*) → ((normop‘𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))))))
80	7, 78, 79	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((normop‘𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))))
81	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
82		hicl 28955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
83	81, 82	mpancom 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
84	83	abscld 14837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
85	84	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
86	22, 38	remulcld 10702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
87	86	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
88	75	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ)
89		bcs 29056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)))
90	81, 89	mpancom 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)))
91	90	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)))
92	5, 7	hococli 29640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ)
93		normcl 29000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
95	94	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
96	38	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
97		normge0 29001	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))
98	19, 20, 97	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))
99	22, 98	jca 516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)))))
100	99	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)))))
101		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘𝑥) ≤ 1)
102		lemul2a 11526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1))
103	44, 102	mp3anl2 1454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1))
104	96, 100, 101, 103	syl21anc 837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1))
105	22	recnd 10700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℂ)
106	105	mulid1d 10689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1) = (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))
107	106, 17	eqtr4d 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1) = (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
108	107	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1) = (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
109	104, 108	breqtrd 5059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
110		remulcl 10653	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
111	75, 38, 110	sylancr 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
112	111	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
113	73	nmbdoplbi 29899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)))
114	113	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)))
115	75, 72	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
116		lemul2a 11526	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
117	115, 116	mp3anl3 1455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
118	44, 117	mpanl2 701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
119	38, 118	sylan 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
120	75	recni 10686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℂ
121	120	mulid1i 10676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · 1) = (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))
122	119, 121	breqtrdi 5074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
123	95, 112, 88, 114, 122	letrd 10828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
124	87, 95, 88, 109, 123	letrd 10828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
125	85, 87, 88, 91, 124	letrd 10828	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
126		resqcl 13533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ∈ ℝ)
127		sqge0 13544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ → 0 ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2))
128	126, 127	absidd 14823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ → (abs‘((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2)) = ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2))
129	19, 26, 128	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2)) = ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2))
130		normsq 29009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑥)))
131	19, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑥)))
132		bdopadj 29957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp → (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)
133	3, 132	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ
134		adj2 29809	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥)))
135	133, 134	mp3an1 1446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥)))
136	19, 135	mpancom 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥)))
137		bdopadj 29957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ dom adjℎ)
138		adjadj 29811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) = 𝑇)
139	1, 137, 138	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) = 𝑇
140	139	fveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) = (𝑇‘𝑥)
141	140	oveq2i 7162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑥))
142	136, 141	eqtr2di 2811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑥)) = (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥))
143	131, 142	eqtrd 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) = (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥))
144	143	fveq2d 6663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2)) = (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)))
145	129, 144	eqtr3d 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) = (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)))
146	145	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) = (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)))
147	75	sqsqrti 14776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) → ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
148	8, 71, 147	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))
149	148	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
150	125, 146, 149	3brtr4d 5065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2))
151		normge0 29001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)))
152	19, 151	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)))
153	8, 71, 76	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ
154	75	sqrtge0i 14777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) → 0 ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))))
155	8, 71, 154	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
156		le2sq 13542	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ∧ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))))) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
157	153, 155, 156	mpanr12 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
158	27, 152, 157	syl2anc 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
159	158	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
160	150, 159	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))))
161	160	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))))
162	80, 161	mprgbir 3086	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
163	10, 153	le2sqi 13596	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (normop‘𝑇) ∧ 0 ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))) → ((normop‘𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normop‘𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
164	46, 155, 163	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((normop‘𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normop‘𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2))
165	162, 164	mpbi 233	. . 3 ⊢ ((normop‘𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)
166	165, 148	breqtri 5058	. 2 ⊢ ((normop‘𝑇)↑2) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))
167	75, 11	letri3i 10787	. 2 ⊢ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop‘𝑇)↑2) ↔ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2) ∧ ((normop‘𝑇)↑2) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))))
168	70, 166, 167	mpbir2an 711	1 ⊢ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop‘𝑇)↑2)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071   class class class wbr 5033  dom cdm 5525   ∘ ccom 5529  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ℂcc 10566  ℝcr 10567  0cc0 10568  1c1 10569   · cmul 10573  ℝ^*cxr 10705   ≤ cle 10707  2c2 11722  ↑cexp 13472  √csqrt 14633  abscabs 14634   ℋchba 28794   ·_ih csp 28797  norm_ℎcno 28798  norm_opcnop 28820  BndLinOpcbo 28823  adj_ℎcado 28830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-inf2 9130  ax-cc 9888  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646  ax-addf 10647  ax-mulf 10648  ax-hilex 28874  ax-hfvadd 28875  ax-hvcom 28876  ax-hvass 28877  ax-hv0cl 28878  ax-hvaddid 28879  ax-hfvmul 28880  ax-hvmulid 28881  ax-hvmulass 28882  ax-hvdistr1 28883  ax-hvdistr2 28884  ax-hvmul0 28885  ax-hfi 28954  ax-his1 28957  ax-his2 28958  ax-his3 28959  ax-his4 28960  ax-hcompl 29077

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7406  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-supp 7837  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-2o 8114  df-oadd 8117  df-omul 8118  df-er 8300  df-map 8419  df-pm 8420  df-ixp 8481  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fsupp 8860  df-fi 8901  df-sup 8932  df-inf 8933  df-oi 9000  df-card 9394  df-acn 9397  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-9 11737  df-n0 11928  df-z 12014  df-dec 12131  df-uz 12276  df-q 12382  df-rp 12424  df-xneg 12541  df-xadd 12542  df-xmul 12543  df-ioo 12776  df-ico 12778  df-icc 12779  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-fl 13204  df-seq 13412  df-exp 13473  df-hash 13734  df-cj 14499  df-re 14500  df-im 14501  df-sqrt 14635  df-abs 14636  df-clim 14886  df-rlim 14887  df-sum 15084  df-struct 16536  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-ress 16542  df-plusg 16629  df-mulr 16630  df-starv 16631  df-sca 16632  df-vsca 16633  df-ip 16634  df-tset 16635  df-ple 16636  df-ds 16638  df-unif 16639  df-hom 16640  df-cco 16641  df-rest 16747  df-topn 16748  df-0g 16766  df-gsum 16767  df-topgen 16768  df-pt 16769  df-prds 16772  df-xrs 16826  df-qtop 16831  df-imas 16832  df-xps 16834  df-mre 16908  df-mrc 16909  df-acs 16911  df-mgm 17911  df-sgrp 17960  df-mnd 17971  df-submnd 18016  df-mulg 18285  df-cntz 18507  df-cmn 18968  df-psmet 20151  df-xmet 20152  df-met 20153  df-bl 20154  df-mopn 20155  df-fbas 20156  df-fg 20157  df-cnfld 20160  df-top 21587  df-topon 21604  df-topsp 21626  df-bases 21639  df-cld 21712  df-ntr 21713  df-cls 21714  df-nei 21791  df-cn 21920  df-cnp 21921  df-lm 21922  df-t1 22007  df-haus 22008  df-tx 22255  df-hmeo 22448  df-fil 22539  df-fm 22631  df-flim 22632  df-flf 22633  df-xms 23015  df-ms 23016  df-tms 23017  df-cfil 23948  df-cau 23949  df-cmet 23950  df-grpo 28368  df-gid 28369  df-ginv 28370  df-gdiv 28371  df-ablo 28420  df-vc 28434  df-nv 28467  df-va 28470  df-ba 28471  df-sm 28472  df-0v 28473  df-vs 28474  df-nmcv 28475  df-ims 28476  df-dip 28576  df-ssp 28597  df-lno 28619  df-nmoo 28620  df-0o 28622  df-ph 28688  df-cbn 28738  df-hnorm 28843  df-hba 28844  df-hvsub 28846  df-hlim 28847  df-hcau 28848  df-sh 29082  df-ch 29096  df-oc 29127  df-ch0 29128  df-shs 29183  df-pjh 29270  df-h0op 29623  df-nmop 29714  df-cnop 29715  df-lnop 29716  df-bdop 29717  df-unop 29718  df-hmop 29719  df-nmfn 29720  df-nlfn 29721  df-cnfn 29722  df-lnfn 29723  df-adjh 29724

This theorem is referenced by:  nmopcoadj2i  29977