Theorem nmopcoadji 32120

Description: The norm of an operator composed with its adjoint. Part of Theorem 3.11(vi) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 8-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmopcoadj.1	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmopcoadji	⊢ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop‘𝑇)↑2)

Proof of Theorem nmopcoadji

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmopcoadj.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
2		adjbdlnb 32103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp ↔ (adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp)
3	1, 2	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp
4		bdopf 31881	. . . . . 6 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp → (adjℎ‘𝑇): ℋ⟶ ℋ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (adjℎ‘𝑇): ℋ⟶ ℋ
6		bdopf 31881	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
8	5, 7	hocofi 31785	. . . 4 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
9		nmopre 31889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
10	1, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
11	10	resqcli 14225	. . . . 5 ⊢ ((normop‘𝑇)↑2) ∈ ℝ
12		rexr 11307	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇)↑2) ∈ ℝ → ((normop‘𝑇)↑2) ∈ ℝ*)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((normop‘𝑇)↑2) ∈ ℝ*
14		nmopub 31927	. . . 4 ⊢ ((((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((normop‘𝑇)↑2) ∈ ℝ*) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2))))
15	8, 13, 14	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2)))
16	5, 7	hocoi 31783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)))
17	16	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))
19	7	ffvelcdmi 7103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
20	5	ffvelcdmi 7103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → ((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
21		normcl 31144	. . . . . . . . 9 ⊢ (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
24		nmopre 31889	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ ℝ)
25	3, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (normop‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ ℝ
26		normcl 31144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
27	19, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
28		remulcl 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
29	25, 27, 28	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ)
31	25, 10	remulcli 11277	. . . . . . . 8 ⊢ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
33	3	nmbdoplbi 32043	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
34	19, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
35	34	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
36	27	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
37	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
38		normcl 31144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
39		remulcl 11240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
40	10, 38, 39	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
42	1	nmbdoplbi 32043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)))
43	42	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)))
44		1re 11261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
45		nmopge0 31930	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘𝑇))
46	1, 6, 45	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ (normop‘𝑇)
47	10, 46	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘𝑇))
48		lemul2a 12122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘𝑇))) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · 1))
49	47, 48	mp3anl3 1459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · 1))
50	44, 49	mpanl2 701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · 1))
51	38, 50	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · 1))
52	10	recni 11275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
53	52	mulridi 11265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((normop‘𝑇) · 1) = (normop‘𝑇)
54	51, 53	breqtrdi 5184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
55	36, 41, 37, 43, 54	letrd 11418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
56		nmopge0 31930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((adjℎ‘𝑇): ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘(adjℎ‘𝑇)))
57	3, 4, 56	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (normop‘(adjℎ‘𝑇))
58	25, 57	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘(adjℎ‘𝑇)))
59		lemul2a 12122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘(adjℎ‘𝑇)))) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇)) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)))
60	58, 59	mp3anl3 1459	. . . . . . . 8 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇)) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)))
61	36, 37, 55, 60	syl21anc 838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)))
62	23, 30, 32, 35, 61	letrd 11418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)))
63	18, 62	eqbrtrd 5165	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)))
64	1	nmopadji 32109	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘(adjℎ‘𝑇)) = (normop‘𝑇)
65	64	oveq1i 7441	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) = ((normop‘𝑇) · (normop‘𝑇))
66	52	sqvali 14219	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘𝑇)↑2) = ((normop‘𝑇) · (normop‘𝑇))
67	65, 66	eqtr4i 2768	. . . . 5 ⊢ ((normop‘(adjℎ‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) = ((normop‘𝑇)↑2)
68	63, 67	breqtrdi 5184	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2))
69	68	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2)))
70	15, 69	mprgbir 3068	. 2 ⊢ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2)
71		nmopge0 31930	. . . . . . . 8 ⊢ (((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
72	8, 71	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))
73	3, 1	bdopcoi 32117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp
74		nmopre 31889	. . . . . . . . 9 ⊢ (((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ)
75	73, 74	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ
76	75	sqrtcli 15410	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) → (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ)
77		rexr 11307	. . . . . . 7 ⊢ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ → (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*)
78	72, 76, 77	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*
79		nmopub 31927	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*) → ((normop‘𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))))))
80	7, 78, 79	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((normop‘𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))))
81	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
82		hicl 31099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
83	81, 82	mpancom 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
84	83	abscld 15475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
85	84	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
86	22, 38	remulcld 11291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
87	86	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
88	75	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ)
89		bcs 31200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)))
90	81, 89	mpancom 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)))
91	90	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)))
92	5, 7	hococli 31784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ)
93		normcl 31144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
95	94	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
96	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
97		normge0 31145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))
98	19, 20, 97	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))
99	22, 98	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)))))
100	99	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)))))
101		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘𝑥) ≤ 1)
102		lemul2a 12122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1))
103	44, 102	mp3anl2 1458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1))
104	96, 100, 101, 103	syl21anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1))
105	22	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) ∈ ℂ)
106	105	mulridd 11278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1) = (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))))
107	106, 17	eqtr4d 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1) = (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · 1) = (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
109	104, 108	breqtrd 5169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
110		remulcl 11240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
111	75, 38, 110	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
112	111	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
113	73	nmbdoplbi 32043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)))
114	113	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)))
115	75, 72	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
116		lemul2a 12122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
117	115, 116	mp3anl3 1459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
118	44, 117	mpanl2 701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
119	38, 118	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
120	75	recni 11275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℂ
121	120	mulridi 11265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · 1) = (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))
122	119, 121	breqtrdi 5184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
123	95, 112, 88, 114, 122	letrd 11418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
124	87, 95, 88, 109, 123	letrd 11418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥))) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
125	85, 87, 88, 91, 124	letrd 11418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
126		resqcl 14164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ∈ ℝ)
127		sqge0 14176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ → 0 ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2))
128	126, 127	absidd 15461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ → (abs‘((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2)) = ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2))
129	19, 26, 128	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2)) = ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2))
130		normsq 31153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑥)))
131	19, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑥)))
132		bdopadj 32101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp → (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)
133	3, 132	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ
134		adj2 31953	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥)))
135	133, 134	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥)))
136	19, 135	mpancom 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥)))
137		bdopadj 32101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ dom adjℎ)
138		adjadj 31955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) = 𝑇)
139	1, 137, 138	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) = 𝑇
140	139	fveq1i 6907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) = (𝑇‘𝑥)
141	140	oveq2i 7442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑥))
142	136, 141	eqtr2di 2794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑥)) = (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥))
143	131, 142	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) = (((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥))
144	143	fveq2d 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2)) = (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)))
145	129, 144	eqtr3d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) = (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)))
146	145	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) = (abs‘(((adjℎ‘𝑇)‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥)))
147	75	sqsqrti 15414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) → ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
148	8, 71, 147	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))
149	148	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
150	125, 146, 149	3brtr4d 5175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2))
151		normge0 31145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)))
152	19, 151	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)))
153	8, 71, 76	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ
154	75	sqrtge0i 15415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) → 0 ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))))
155	8, 71, 154	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
156		le2sq 14174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ∧ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))))) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
157	153, 155, 156	mpanr12 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
158	27, 152, 157	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
159	158	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
160	150, 159	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))))
161	160	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))))
162	80, 161	mprgbir 3068	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))
163	10, 153	le2sqi 14229	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (normop‘𝑇) ∧ 0 ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))) → ((normop‘𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normop‘𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
164	46, 155, 163	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((normop‘𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normop‘𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2))
165	162, 164	mpbi 230	. . 3 ⊢ ((normop‘𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)
166	165, 148	breqtri 5168	. 2 ⊢ ((normop‘𝑇)↑2) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))
167	75, 11	letri3i 11377	. 2 ⊢ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop‘𝑇)↑2) ↔ ((normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑇)↑2) ∧ ((normop‘𝑇)↑2) ≤ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇))))
168	70, 166, 167	mpbir2an 711	1 ⊢ (normop‘((adjℎ‘𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop‘𝑇)↑2)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   class class class wbr 5143  dom cdm 5685   ∘ ccom 5689  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  ℝ^*cxr 11294   ≤ cle 11296  2c2 12321  ↑cexp 14102  √csqrt 15272  abscabs 15273   ℋchba 30938   ·_ih csp 30941  norm_ℎcno 30942  norm_opcnop 30964  BndLinOpcbo 30967  adj_ℎcado 30974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104  ax-hcompl 31221

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-lm 23237  df-t1 23322  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cfil 25289  df-cau 25290  df-cmet 25291  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-dip 30720  df-ssp 30741  df-lno 30763  df-nmoo 30764  df-0o 30766  df-ph 30832  df-cbn 30882  df-hnorm 30987  df-hba 30988  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-hcau 30992  df-sh 31226  df-ch 31240  df-oc 31271  df-ch0 31272  df-shs 31327  df-pjh 31414  df-h0op 31767  df-nmop 31858  df-cnop 31859  df-lnop 31860  df-bdop 31861  df-unop 31862  df-hmop 31863  df-nmfn 31864  df-nlfn 31865  df-cnfn 31866  df-lnfn 31867  df-adjh 31868

This theorem is referenced by:  nmopcoadj2i  32121