HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopcoadji Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmopcoadji 31618
Description: The norm of an operator composed with its adjoint. Part of Theorem 3.11(vi) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 8-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmopcoadj.1 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmopcoadji (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) = ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2)

Proof of Theorem nmopcoadji
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmopcoadj.1 . . . . . . 7 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
2 adjbdlnb 31601 . . . . . . 7 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†” (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ BndLinOp)
31, 2mpbi 229 . . . . . 6 (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ BndLinOp
4 bdopf 31379 . . . . . 6 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ BndLinOp โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹
6 bdopf 31379 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
71, 6ax-mp 5 . . . . 5 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
85, 7hocofi 31283 . . . 4 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹
9 nmopre 31387 . . . . . . 7 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
101, 9ax-mp 5 . . . . . 6 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
1110resqcli 14155 . . . . 5 ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โˆˆ โ„
12 rexr 11265 . . . . 5 (((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โˆˆ โ„ โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โˆˆ โ„*)
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โˆˆ โ„*
14 nmopub 31425 . . . 4 ((((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โˆˆ โ„*) โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2))))
158, 13, 14mp2an 689 . . 3 ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2)))
165, 7hocoi 31281 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
1716fveq2d 6896 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
1817adantr 480 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
197ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
205ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
21 normcl 30642 . . . . . . . . 9 (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
2322adantr 480 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
24 nmopre 31387 . . . . . . . . . 10 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ BndLinOp โ†’ (normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
253, 24ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„
26 normcl 30642 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
2719, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
28 remulcl 11198 . . . . . . . . 9 (((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†’ ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
2925, 27, 28sylancr 586 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
3029adantr 480 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
3125, 10remulcli 11235 . . . . . . . 8 ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„
3231a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
333nmbdoplbi 31541 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
3419, 33syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
3534adantr 480 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
3627adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
3710a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
38 normcl 30642 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
39 remulcl 11198 . . . . . . . . . . 11 (((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
4010, 38, 39sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
4140adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
421nmbdoplbi 31541 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
4342adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
44 1re 11219 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„
45 nmopge0 31428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
461, 6, 45mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡)
4710, 46pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 ((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
48 lemul2a 12074 . . . . . . . . . . . . 13 ((((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท 1))
4947, 48mp3anl3 1456 . . . . . . . . . . . 12 ((((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท 1))
5044, 49mpanl2 698 . . . . . . . . . . 11 (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท 1))
5138, 50sylan 579 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท 1))
5210recni 11233 . . . . . . . . . . 11 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚
5352mulridi 11223 . . . . . . . . . 10 ((normopโ€˜๐‘‡) ยท 1) = (normopโ€˜๐‘‡)
5451, 53breqtrdi 5190 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
5536, 41, 37, 43, 54letrd 11376 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
56 nmopge0 31428 . . . . . . . . . . 11 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)))
573, 4, 56mp2b 10 . . . . . . . . . 10 0 โ‰ค (normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡))
5825, 57pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)))
59 lemul2a 12074 . . . . . . . . 9 ((((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)))) โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡)) โ†’ ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
6058, 59mp3anl3 1456 . . . . . . . 8 ((((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡)) โ†’ ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
6136, 37, 55, 60syl21anc 835 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
6223, 30, 32, 35, 61letrd 11376 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
6318, 62eqbrtrd 5171 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
641nmopadji 31607 . . . . . . 7 (normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) = (normopโ€˜๐‘‡)
6564oveq1i 7422 . . . . . 6 ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normopโ€˜๐‘‡))
6652sqvali 14149 . . . . . 6 ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normopโ€˜๐‘‡))
6765, 66eqtr4i 2762 . . . . 5 ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2)
6863, 67breqtrdi 5190 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2))
6968ex 412 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2)))
7015, 69mprgbir 3067 . 2 (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2)
71 nmopge0 31428 . . . . . . . 8 (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
728, 71ax-mp 5 . . . . . . 7 0 โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))
733, 1bdopcoi 31615 . . . . . . . . 9 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ BndLinOp
74 nmopre 31387 . . . . . . . . 9 (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ BndLinOp โ†’ (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
7573, 74ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โˆˆ โ„
7675sqrtcli 15323 . . . . . . 7 (0 โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โ†’ (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โˆˆ โ„)
77 rexr 11265 . . . . . . 7 ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โˆˆ โ„ โ†’ (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โˆˆ โ„*)
7872, 76, 77mp2b 10 . . . . . 6 (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โˆˆ โ„*
79 nmopub 31425 . . . . . 6 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โˆˆ โ„*) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))))))
807, 78, 79mp2an 689 . . . . 5 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))))
8119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
82 hicl 30597 . . . . . . . . . . . 12 ((((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
8381, 82mpancom 685 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
8483abscld 15388 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
8584adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
8622, 38remulcld 11249 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
8786adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
8875a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
89 bcs 30698 . . . . . . . . . . 11 ((((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
9081, 89mpancom 685 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
9190adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
925, 7hococli 31282 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
93 normcl 30642 . . . . . . . . . . . 12 ((((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
9594adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
9638adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
97 normge0 30643 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
9819, 20, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
9922, 98jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
10099adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
101 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)
102 lemul2a 12074 . . . . . . . . . . . . 13 ((((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท 1))
10344, 102mp3anl2 1455 . . . . . . . . . . . 12 ((((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท 1))
10496, 100, 101, 103syl21anc 835 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท 1))
10522recnd 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„‚)
106105mulridd 11236 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท 1) = (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
107106, 17eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท 1) = (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
108107adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท 1) = (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
109104, 108breqtrd 5175 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
110 remulcl 11198 . . . . . . . . . . . . 13 (((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„) โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
11175, 38, 110sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
112111adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
11373nmbdoplbi 31541 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
114113adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
11575, 72pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
116 lemul2a 12074 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท 1))
117115, 116mp3anl3 1456 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท 1))
11844, 117mpanl2 698 . . . . . . . . . . . . 13 (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท 1))
11938, 118sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท 1))
12075recni 11233 . . . . . . . . . . . . 13 (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โˆˆ โ„‚
121120mulridi 11223 . . . . . . . . . . . 12 ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท 1) = (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))
122119, 121breqtrdi 5190 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
12395, 112, 88, 114, 122letrd 11376 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
12487, 95, 88, 109, 123letrd 11376 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
12585, 87, 88, 91, 124letrd 11376 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
126 resqcl 14094 . . . . . . . . . . . 12 ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) โˆˆ โ„)
127 sqge0 14106 . . . . . . . . . . . 12 ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2))
128126, 127absidd 15374 . . . . . . . . . . 11 ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†’ (absโ€˜((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2)) = ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2))
12919, 26, 1283syl 18 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2)) = ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2))
130 normsq 30651 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
13119, 130syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
132 bdopadj 31599 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ BndLinOp โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž)
1333, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž
134 adj2 31451 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((adjโ„Žโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ)))
135133, 134mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((adjโ„Žโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ)))
13619, 135mpancom 685 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((adjโ„Žโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ)))
137 bdopadj 31599 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž)
138 adjadj 31453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) = ๐‘‡)
1391, 137, 138mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15 (adjโ„Žโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) = ๐‘‡
140139fveq1i 6893 . . . . . . . . . . . . . 14 ((adjโ„Žโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)
141140oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((adjโ„Žโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))
142136, 141eqtr2di 2788 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ))
143131, 142eqtrd 2771 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ))
144143fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2)) = (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)))
145129, 144eqtr3d 2773 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) = (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)))
146145adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) = (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)))
14775sqsqrti 15327 . . . . . . . . . 10 (0 โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โ†’ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2) = (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
1488, 71, 147mp2b 10 . . . . . . . . 9 ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2) = (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))
149148a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2) = (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
150125, 146, 1493brtr4d 5181 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2))
151 normge0 30643 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
15219, 151syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
1538, 71, 76mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โˆˆ โ„
15475sqrtge0i 15328 . . . . . . . . . . 11 (0 โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))))
1558, 71, 154mp2b 10 . . . . . . . . . 10 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
156 le2sq 14104 . . . . . . . . . 10 ((((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆง ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))))) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โ†” ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2)))
157153, 155, 156mpanr12 702 . . . . . . . . 9 (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โ†” ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2)))
15827, 152, 157syl2anc 583 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โ†” ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2)))
159158adantr 480 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โ†” ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2)))
160150, 159mpbird 256 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))))
161160ex 412 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))))
16280, 161mprgbir 3067 . . . 4 (normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
16310, 153le2sqi 14159 . . . . 5 ((0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡) โˆง 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โ†” ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2)))
16446, 155, 163mp2an 689 . . . 4 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โ†” ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2))
165162, 164mpbi 229 . . 3 ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2)
166165, 148breqtri 5174 . 2 ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))
16775, 11letri3i 11335 . 2 ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) = ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โ†” ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โˆง ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))))
16870, 166, 167mpbir2an 708 1 (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) = ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆ€wral 3060   class class class wbr 5149  dom cdm 5677   โˆ˜ ccom 5681  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  โ„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   ยท cmul 11118  โ„*cxr 11252   โ‰ค cle 11254  2c2 12272  โ†‘cexp 14032  โˆšcsqrt 15185  abscabs 15186   โ„‹chba 30436   ยทih csp 30439  normโ„Žcno 30440  normopcnop 30462  BndLinOpcbo 30465  adjโ„Žcado 30472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cc 10433  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193  ax-hilex 30516  ax-hfvadd 30517  ax-hvcom 30518  ax-hvass 30519  ax-hv0cl 30520  ax-hvaddid 30521  ax-hfvmul 30522  ax-hvmulid 30523  ax-hvmulass 30524  ax-hvdistr1 30525  ax-hvdistr2 30526  ax-hvmul0 30527  ax-hfi 30596  ax-his1 30599  ax-his2 30600  ax-his3 30601  ax-his4 30602  ax-hcompl 30719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-lm 22954  df-t1 23039  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cfil 25004  df-cau 25005  df-cmet 25006  df-grpo 30010  df-gid 30011  df-ginv 30012  df-gdiv 30013  df-ablo 30062  df-vc 30076  df-nv 30109  df-va 30112  df-ba 30113  df-sm 30114  df-0v 30115  df-vs 30116  df-nmcv 30117  df-ims 30118  df-dip 30218  df-ssp 30239  df-lno 30261  df-nmoo 30262  df-0o 30264  df-ph 30330  df-cbn 30380  df-hnorm 30485  df-hba 30486  df-hvsub 30488  df-hlim 30489  df-hcau 30490  df-sh 30724  df-ch 30738  df-oc 30769  df-ch0 30770  df-shs 30825  df-pjh 30912  df-h0op 31265  df-nmop 31356  df-cnop 31357  df-lnop 31358  df-bdop 31359  df-unop 31360  df-hmop 31361  df-nmfn 31362  df-nlfn 31363  df-cnfn 31364  df-lnfn 31365  df-adjh 31366
This theorem is referenced by:  nmopcoadj2i  31619
  Copyright terms: Public domain W3C validator