HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopcoadji Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmopcoadji 31621
Description: The norm of an operator composed with its adjoint. Part of Theorem 3.11(vi) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 8-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmopcoadj.1 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmopcoadji (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) = ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2)

Proof of Theorem nmopcoadji
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmopcoadj.1 . . . . . . 7 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
2 adjbdlnb 31604 . . . . . . 7 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†” (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ BndLinOp)
31, 2mpbi 229 . . . . . 6 (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ BndLinOp
4 bdopf 31382 . . . . . 6 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ BndLinOp โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹
6 bdopf 31382 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
71, 6ax-mp 5 . . . . 5 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
85, 7hocofi 31286 . . . 4 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹
9 nmopre 31390 . . . . . . 7 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
101, 9ax-mp 5 . . . . . 6 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
1110resqcli 14154 . . . . 5 ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โˆˆ โ„
12 rexr 11264 . . . . 5 (((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โˆˆ โ„ โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โˆˆ โ„*)
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โˆˆ โ„*
14 nmopub 31428 . . . 4 ((((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โˆˆ โ„*) โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2))))
158, 13, 14mp2an 688 . . 3 ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2)))
165, 7hocoi 31284 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
1716fveq2d 6894 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
1817adantr 479 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
197ffvelcdmi 7084 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
205ffvelcdmi 7084 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
21 normcl 30645 . . . . . . . . 9 (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
2322adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
24 nmopre 31390 . . . . . . . . . 10 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ BndLinOp โ†’ (normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
253, 24ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„
26 normcl 30645 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
2719, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
28 remulcl 11197 . . . . . . . . 9 (((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†’ ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
2925, 27, 28sylancr 585 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
3029adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
3125, 10remulcli 11234 . . . . . . . 8 ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„
3231a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
333nmbdoplbi 31544 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
3419, 33syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
3534adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
3627adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
3710a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
38 normcl 30645 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
39 remulcl 11197 . . . . . . . . . . 11 (((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
4010, 38, 39sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
4140adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
421nmbdoplbi 31544 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
4342adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
44 1re 11218 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„
45 nmopge0 31431 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
461, 6, 45mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡)
4710, 46pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
48 lemul2a 12073 . . . . . . . . . . . . 13 ((((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท 1))
4947, 48mp3anl3 1455 . . . . . . . . . . . 12 ((((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท 1))
5044, 49mpanl2 697 . . . . . . . . . . 11 (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท 1))
5138, 50sylan 578 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท 1))
5210recni 11232 . . . . . . . . . . 11 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚
5352mulridi 11222 . . . . . . . . . 10 ((normopโ€˜๐‘‡) ยท 1) = (normopโ€˜๐‘‡)
5451, 53breqtrdi 5188 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
5536, 41, 37, 43, 54letrd 11375 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
56 nmopge0 31431 . . . . . . . . . . 11 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)))
573, 4, 56mp2b 10 . . . . . . . . . 10 0 โ‰ค (normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡))
5825, 57pm3.2i 469 . . . . . . . . 9 ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)))
59 lemul2a 12073 . . . . . . . . 9 ((((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)))) โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡)) โ†’ ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
6058, 59mp3anl3 1455 . . . . . . . 8 ((((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡)) โ†’ ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
6136, 37, 55, 60syl21anc 834 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
6223, 30, 32, 35, 61letrd 11375 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
6318, 62eqbrtrd 5169 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
641nmopadji 31610 . . . . . . 7 (normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) = (normopโ€˜๐‘‡)
6564oveq1i 7421 . . . . . 6 ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normopโ€˜๐‘‡))
6652sqvali 14148 . . . . . 6 ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normopโ€˜๐‘‡))
6765, 66eqtr4i 2761 . . . . 5 ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2)
6863, 67breqtrdi 5188 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2))
6968ex 411 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2)))
7015, 69mprgbir 3066 . 2 (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2)
71 nmopge0 31431 . . . . . . . 8 (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
728, 71ax-mp 5 . . . . . . 7 0 โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))
733, 1bdopcoi 31618 . . . . . . . . 9 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ BndLinOp
74 nmopre 31390 . . . . . . . . 9 (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ BndLinOp โ†’ (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
7573, 74ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โˆˆ โ„
7675sqrtcli 15322 . . . . . . 7 (0 โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โ†’ (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โˆˆ โ„)
77 rexr 11264 . . . . . . 7 ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โˆˆ โ„ โ†’ (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โˆˆ โ„*)
7872, 76, 77mp2b 10 . . . . . 6 (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โˆˆ โ„*
79 nmopub 31428 . . . . . 6 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โˆˆ โ„*) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))))))
807, 78, 79mp2an 688 . . . . 5 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))))
8119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
82 hicl 30600 . . . . . . . . . . . 12 ((((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
8381, 82mpancom 684 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
8483abscld 15387 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
8584adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
8622, 38remulcld 11248 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
8786adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
8875a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
89 bcs 30701 . . . . . . . . . . 11 ((((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
9081, 89mpancom 684 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
9190adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
925, 7hococli 31285 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
93 normcl 30645 . . . . . . . . . . . 12 ((((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
9594adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
9638adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
97 normge0 30646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
9819, 20, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
9922, 98jca 510 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
10099adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
101 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)
102 lemul2a 12073 . . . . . . . . . . . . 13 ((((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท 1))
10344, 102mp3anl2 1454 . . . . . . . . . . . 12 ((((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท 1))
10496, 100, 101, 103syl21anc 834 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท 1))
10522recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„‚)
106105mulridd 11235 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท 1) = (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
107106, 17eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท 1) = (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
108107adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท 1) = (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
109104, 108breqtrd 5173 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
110 remulcl 11197 . . . . . . . . . . . . 13 (((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„) โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
11175, 38, 110sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
112111adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
11373nmbdoplbi 31544 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
114113adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
11575, 72pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
116 lemul2a 12073 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท 1))
117115, 116mp3anl3 1455 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท 1))
11844, 117mpanl2 697 . . . . . . . . . . . . 13 (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท 1))
11938, 118sylan 578 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท 1))
12075recni 11232 . . . . . . . . . . . . 13 (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โˆˆ โ„‚
121120mulridi 11222 . . . . . . . . . . . 12 ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท 1) = (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))
122119, 121breqtrdi 5188 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
12395, 112, 88, 114, 122letrd 11375 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
12487, 95, 88, 109, 123letrd 11375 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
12585, 87, 88, 91, 124letrd 11375 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
126 resqcl 14093 . . . . . . . . . . . 12 ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) โˆˆ โ„)
127 sqge0 14105 . . . . . . . . . . . 12 ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2))
128126, 127absidd 15373 . . . . . . . . . . 11 ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†’ (absโ€˜((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2)) = ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2))
12919, 26, 1283syl 18 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2)) = ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2))
130 normsq 30654 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
13119, 130syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
132 bdopadj 31602 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ BndLinOp โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž)
1333, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž
134 adj2 31454 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((adjโ„Žโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ)))
135133, 134mp3an1 1446 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((adjโ„Žโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ)))
13619, 135mpancom 684 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((adjโ„Žโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ)))
137 bdopadj 31602 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž)
138 adjadj 31456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) = ๐‘‡)
1391, 137, 138mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15 (adjโ„Žโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) = ๐‘‡
140139fveq1i 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 ((adjโ„Žโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)
141140oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((adjโ„Žโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))
142136, 141eqtr2di 2787 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ))
143131, 142eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ))
144143fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2)) = (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)))
145129, 144eqtr3d 2772 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) = (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)))
146145adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) = (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)))
14775sqsqrti 15326 . . . . . . . . . 10 (0 โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โ†’ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2) = (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
1488, 71, 147mp2b 10 . . . . . . . . 9 ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2) = (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))
149148a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2) = (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
150125, 146, 1493brtr4d 5179 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2))
151 normge0 30646 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
15219, 151syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
1538, 71, 76mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โˆˆ โ„
15475sqrtge0i 15327 . . . . . . . . . . 11 (0 โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))))
1558, 71, 154mp2b 10 . . . . . . . . . 10 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
156 le2sq 14103 . . . . . . . . . 10 ((((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆง ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))))) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โ†” ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2)))
157153, 155, 156mpanr12 701 . . . . . . . . 9 (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โ†” ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2)))
15827, 152, 157syl2anc 582 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โ†” ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2)))
159158adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โ†” ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2)))
160150, 159mpbird 256 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))))
161160ex 411 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))))
16280, 161mprgbir 3066 . . . 4 (normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
16310, 153le2sqi 14158 . . . . 5 ((0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡) โˆง 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โ†” ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2)))
16446, 155, 163mp2an 688 . . . 4 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โ†” ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2))
165162, 164mpbi 229 . . 3 ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2)
166165, 148breqtri 5172 . 2 ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))
16775, 11letri3i 11334 . 2 ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) = ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โ†” ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โˆง ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))))
16870, 166, 167mpbir2an 707 1 (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) = ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059   class class class wbr 5147  dom cdm 5675   โˆ˜ ccom 5679  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117  โ„*cxr 11251   โ‰ค cle 11253  2c2 12271  โ†‘cexp 14031  โˆšcsqrt 15184  abscabs 15185   โ„‹chba 30439   ยทih csp 30442  normโ„Žcno 30443  normopcnop 30465  BndLinOpcbo 30468  adjโ„Žcado 30475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30519  ax-hfvadd 30520  ax-hvcom 30521  ax-hvass 30522  ax-hv0cl 30523  ax-hvaddid 30524  ax-hfvmul 30525  ax-hvmulid 30526  ax-hvmulass 30527  ax-hvdistr1 30528  ax-hvdistr2 30529  ax-hvmul0 30530  ax-hfi 30599  ax-his1 30602  ax-his2 30603  ax-his3 30604  ax-his4 30605  ax-hcompl 30722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-lm 22953  df-t1 23038  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cfil 25003  df-cau 25004  df-cmet 25005  df-grpo 30013  df-gid 30014  df-ginv 30015  df-gdiv 30016  df-ablo 30065  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-vs 30119  df-nmcv 30120  df-ims 30121  df-dip 30221  df-ssp 30242  df-lno 30264  df-nmoo 30265  df-0o 30267  df-ph 30333  df-cbn 30383  df-hnorm 30488  df-hba 30489  df-hvsub 30491  df-hlim 30492  df-hcau 30493  df-sh 30727  df-ch 30741  df-oc 30772  df-ch0 30773  df-shs 30828  df-pjh 30915  df-h0op 31268  df-nmop 31359  df-cnop 31360  df-lnop 31361  df-bdop 31362  df-unop 31363  df-hmop 31364  df-nmfn 31365  df-nlfn 31366  df-cnfn 31367  df-lnfn 31368  df-adjh 31369
This theorem is referenced by:  nmopcoadj2i  31622
  Copyright terms: Public domain W3C validator