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Theorem nmopcoadji 31043
Description: The norm of an operator composed with its adjoint. Part of Theorem 3.11(vi) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 8-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmopcoadj.1 𝑇 ∈ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmopcoadji (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop𝑇)↑2)

Proof of Theorem nmopcoadji
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmopcoadj.1 . . . . . . 7 𝑇 ∈ BndLinOp
2 adjbdlnb 31026 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ BndLinOp ↔ (adj𝑇) ∈ BndLinOp)
31, 2mpbi 229 . . . . . 6 (adj𝑇) ∈ BndLinOp
4 bdopf 30804 . . . . . 6 ((adj𝑇) ∈ BndLinOp → (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ
6 bdopf 30804 . . . . . 6 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
71, 6ax-mp 5 . . . . 5 𝑇: ℋ⟶ ℋ
85, 7hocofi 30708 . . . 4 ((adj𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
9 nmopre 30812 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop𝑇) ∈ ℝ)
101, 9ax-mp 5 . . . . . 6 (normop𝑇) ∈ ℝ
1110resqcli 14090 . . . . 5 ((normop𝑇)↑2) ∈ ℝ
12 rexr 11201 . . . . 5 (((normop𝑇)↑2) ∈ ℝ → ((normop𝑇)↑2) ∈ ℝ*)
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 ((normop𝑇)↑2) ∈ ℝ*
14 nmopub 30850 . . . 4 ((((adj𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((normop𝑇)↑2) ∈ ℝ*) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop𝑇)↑2) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑇)↑2))))
158, 13, 14mp2an 690 . . 3 ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop𝑇)↑2) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑇)↑2)))
165, 7hocoi 30706 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)))
1716fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))
1817adantr 481 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))
197ffvelcdmi 7034 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
205ffvelcdmi 7034 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → ((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
21 normcl 30067 . . . . . . . . 9 (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ∈ ℋ → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
2322adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
24 nmopre 30812 . . . . . . . . . 10 ((adj𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘(adj𝑇)) ∈ ℝ)
253, 24ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (normop‘(adj𝑇)) ∈ ℝ
26 normcl 30067 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
2719, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
28 remulcl 11136 . . . . . . . . 9 (((normop‘(adj𝑇)) ∈ ℝ ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ) → ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
2925, 27, 28sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
3029adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
3125, 10remulcli 11171 . . . . . . . 8 ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)) ∈ ℝ
3231a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)) ∈ ℝ)
333nmbdoplbi 30966 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
3419, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
3534adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
3627adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
3710a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (normop𝑇) ∈ ℝ)
38 normcl 30067 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℝ)
39 remulcl 11136 . . . . . . . . . . 11 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ (norm𝑥) ∈ ℝ) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
4010, 38, 39sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
4140adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
421nmbdoplbi 30966 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑥)))
4342adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑥)))
44 1re 11155 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
45 nmopge0 30853 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop𝑇))
461, 6, 45mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ (normop𝑇)
4710, 46pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . 13 ((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop𝑇))
48 lemul2a 12010 . . . . . . . . . . . . 13 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop𝑇))) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · 1))
4947, 48mp3anl3 1457 . . . . . . . . . . . 12 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · 1))
5044, 49mpanl2 699 . . . . . . . . . . 11 (((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · 1))
5138, 50sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · 1))
5210recni 11169 . . . . . . . . . . 11 (normop𝑇) ∈ ℂ
5352mulid1i 11159 . . . . . . . . . 10 ((normop𝑇) · 1) = (normop𝑇)
5451, 53breqtrdi 5146 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ≤ (normop𝑇))
5536, 41, 37, 43, 54letrd 11312 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇))
56 nmopge0 30853 . . . . . . . . . . 11 ((adj𝑇): ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘(adj𝑇)))
573, 4, 56mp2b 10 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (normop‘(adj𝑇))
5825, 57pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 ((normop‘(adj𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘(adj𝑇)))
59 lemul2a 12010 . . . . . . . . 9 ((((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ ∧ ((normop‘(adj𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘(adj𝑇)))) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇)) → ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)))
6058, 59mp3anl3 1457 . . . . . . . 8 ((((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇)) → ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)))
6136, 37, 55, 60syl21anc 836 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)))
6223, 30, 32, 35, 61letrd 11312 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)))
6318, 62eqbrtrd 5127 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)))
641nmopadji 31032 . . . . . . 7 (normop‘(adj𝑇)) = (normop𝑇)
6564oveq1i 7367 . . . . . 6 ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)) = ((normop𝑇) · (normop𝑇))
6652sqvali 14084 . . . . . 6 ((normop𝑇)↑2) = ((normop𝑇) · (normop𝑇))
6765, 66eqtr4i 2767 . . . . 5 ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)) = ((normop𝑇)↑2)
6863, 67breqtrdi 5146 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑇)↑2))
6968ex 413 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑇)↑2)))
7015, 69mprgbir 3071 . 2 (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop𝑇)↑2)
71 nmopge0 30853 . . . . . . . 8 (((adj𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
728, 71ax-mp 5 . . . . . . 7 0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))
733, 1bdopcoi 31040 . . . . . . . . 9 ((adj𝑇) ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp
74 nmopre 30812 . . . . . . . . 9 (((adj𝑇) ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ)
7573, 74ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ
7675sqrtcli 15256 . . . . . . 7 (0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) → (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ)
77 rexr 11201 . . . . . . 7 ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ → (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*)
7872, 76, 77mp2b 10 . . . . . 6 (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*
79 nmopub 30850 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*) → ((normop𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))))))
807, 78, 79mp2an 690 . . . . 5 ((normop𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))))
8119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
82 hicl 30022 . . . . . . . . . . . 12 ((((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
8381, 82mpancom 686 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
8483abscld 15321 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
8584adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
8622, 38remulcld 11185 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
8786adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
8875a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ)
89 bcs 30123 . . . . . . . . . . 11 ((((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)))
9081, 89mpancom 686 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)))
9190adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)))
925, 7hococli 30707 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → (((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ)
93 normcl 30067 . . . . . . . . . . . 12 ((((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
9594adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
9638adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm𝑥) ∈ ℝ)
97 normge0 30068 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))
9819, 20, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))
9922, 98jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)))))
10099adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)))))
101 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm𝑥) ≤ 1)
102 lemul2a 12010 . . . . . . . . . . . . 13 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ≤ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · 1))
10344, 102mp3anl2 1456 . . . . . . . . . . . 12 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ≤ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · 1))
10496, 100, 101, 103syl21anc 836 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ≤ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · 1))
10522recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℂ)
106105mulid1d 11172 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · 1) = (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))
107106, 17eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · 1) = (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
108107adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · 1) = (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
109104, 108breqtrd 5131 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ≤ (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
110 remulcl 11136 . . . . . . . . . . . . 13 (((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ (norm𝑥) ∈ ℝ) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
11175, 38, 110sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
112111adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
11373nmbdoplbi 30966 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)))
114113adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)))
11575, 72pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
116 lemul2a 12010 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ≤ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
117115, 116mp3anl3 1457 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ≤ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
11844, 117mpanl2 699 . . . . . . . . . . . . 13 (((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ≤ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
11938, 118sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ≤ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
12075recni 11169 . . . . . . . . . . . . 13 (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℂ
121120mulid1i 11159 . . . . . . . . . . . 12 ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · 1) = (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))
122119, 121breqtrdi 5146 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
12395, 112, 88, 114, 122letrd 11312 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
12487, 95, 88, 109, 123letrd 11312 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
12585, 87, 88, 91, 124letrd 11312 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
126 resqcl 14029 . . . . . . . . . . . 12 ((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) ∈ ℝ)
127 sqge0 14041 . . . . . . . . . . . 12 ((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → 0 ≤ ((norm‘(𝑇𝑥))↑2))
128126, 127absidd 15307 . . . . . . . . . . 11 ((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → (abs‘((norm‘(𝑇𝑥))↑2)) = ((norm‘(𝑇𝑥))↑2))
12919, 26, 1283syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘((norm‘(𝑇𝑥))↑2)) = ((norm‘(𝑇𝑥))↑2))
130 normsq 30076 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)))
13119, 130syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)))
132 bdopadj 31024 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((adj𝑇) ∈ BndLinOp → (adj𝑇) ∈ dom adj)
1333, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (adj𝑇) ∈ dom adj
134 adj2 30876 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((adj𝑇) ∈ dom adj ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑥) ·ih ((adj‘(adj𝑇))‘𝑥)))
135133, 134mp3an1 1448 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑥) ·ih ((adj‘(adj𝑇))‘𝑥)))
13619, 135mpancom 686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑥) ·ih ((adj‘(adj𝑇))‘𝑥)))
137 bdopadj 31024 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ dom adj)
138 adjadj 30878 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ dom adj → (adj‘(adj𝑇)) = 𝑇)
1391, 137, 138mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15 (adj‘(adj𝑇)) = 𝑇
140139fveq1i 6843 . . . . . . . . . . . . . 14 ((adj‘(adj𝑇))‘𝑥) = (𝑇𝑥)
141140oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇𝑥) ·ih ((adj‘(adj𝑇))‘𝑥)) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥))
142136, 141eqtr2di 2793 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) = (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥))
143131, 142eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) = (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥))
144143fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘((norm‘(𝑇𝑥))↑2)) = (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)))
145129, 144eqtr3d 2778 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) = (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)))
146145adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) = (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)))
14775sqsqrti 15260 . . . . . . . . . 10 (0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) → ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
1488, 71, 147mp2b 10 . . . . . . . . 9 ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))
149148a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
150125, 146, 1493brtr4d 5137 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2))
151 normge0 30068 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝑇𝑥)))
15219, 151syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝑇𝑥)))
1538, 71, 76mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ
15475sqrtge0i 15261 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) → 0 ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))))
1558, 71, 154mp2b 10 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
156 le2sq 14039 . . . . . . . . . 10 ((((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑇𝑥))) ∧ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))))) → ((norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
157153, 155, 156mpanr12 703 . . . . . . . . 9 (((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑇𝑥))) → ((norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
15827, 152, 157syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
159158adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
160150, 159mpbird 256 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))))
161160ex 413 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))))
16280, 161mprgbir 3071 . . . 4 (normop𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
16310, 153le2sqi 14094 . . . . 5 ((0 ≤ (normop𝑇) ∧ 0 ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))) → ((normop𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normop𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
16446, 155, 163mp2an 690 . . . 4 ((normop𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normop𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2))
165162, 164mpbi 229 . . 3 ((normop𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)
166165, 148breqtri 5130 . 2 ((normop𝑇)↑2) ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))
16775, 11letri3i 11271 . 2 ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop𝑇)↑2) ↔ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop𝑇)↑2) ∧ ((normop𝑇)↑2) ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))))
16870, 166, 167mpbir2an 709 1 (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop𝑇)↑2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064   class class class wbr 5105  dom cdm 5633  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  *cxr 11188  cle 11190  2c2 12208  cexp 13967  csqrt 15118  abscabs 15119  chba 29861   ·ih csp 29864  normcno 29865  normopcnop 29887  BndLinOpcbo 29890  adjcado 29897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131  ax-hilex 29941  ax-hfvadd 29942  ax-hvcom 29943  ax-hvass 29944  ax-hv0cl 29945  ax-hvaddid 29946  ax-hfvmul 29947  ax-hvmulid 29948  ax-hvmulass 29949  ax-hvdistr1 29950  ax-hvdistr2 29951  ax-hvmul0 29952  ax-hfi 30021  ax-his1 30024  ax-his2 30025  ax-his3 30026  ax-his4 30027  ax-hcompl 30144
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-lm 22580  df-t1 22665  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cfil 24619  df-cau 24620  df-cmet 24621  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542  df-ims 29543  df-dip 29643  df-ssp 29664  df-lno 29686  df-nmoo 29687  df-0o 29689  df-ph 29755  df-cbn 29805  df-hnorm 29910  df-hba 29911  df-hvsub 29913  df-hlim 29914  df-hcau 29915  df-sh 30149  df-ch 30163  df-oc 30194  df-ch0 30195  df-shs 30250  df-pjh 30337  df-h0op 30690  df-nmop 30781  df-cnop 30782  df-lnop 30783  df-bdop 30784  df-unop 30785  df-hmop 30786  df-nmfn 30787  df-nlfn 30788  df-cnfn 30789  df-lnfn 30790  df-adjh 30791
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