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Theorem nmopcoadji 29416
Description: The norm of an operator composed with its adjoint. Part of Theorem 3.11(vi) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 8-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmopcoadj.1 𝑇 ∈ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmopcoadji (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop𝑇)↑2)

Proof of Theorem nmopcoadji
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmopcoadj.1 . . . . . . 7 𝑇 ∈ BndLinOp
2 adjbdlnb 29399 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ BndLinOp ↔ (adj𝑇) ∈ BndLinOp)
31, 2mpbi 221 . . . . . 6 (adj𝑇) ∈ BndLinOp
4 bdopf 29177 . . . . . 6 ((adj𝑇) ∈ BndLinOp → (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ
6 bdopf 29177 . . . . . 6 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
71, 6ax-mp 5 . . . . 5 𝑇: ℋ⟶ ℋ
85, 7hocofi 29081 . . . 4 ((adj𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
9 nmopre 29185 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop𝑇) ∈ ℝ)
101, 9ax-mp 5 . . . . . 6 (normop𝑇) ∈ ℝ
1110resqcli 13156 . . . . 5 ((normop𝑇)↑2) ∈ ℝ
12 rexr 10339 . . . . 5 (((normop𝑇)↑2) ∈ ℝ → ((normop𝑇)↑2) ∈ ℝ*)
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 ((normop𝑇)↑2) ∈ ℝ*
14 nmopub 29223 . . . 4 ((((adj𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((normop𝑇)↑2) ∈ ℝ*) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop𝑇)↑2) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑇)↑2))))
158, 13, 14mp2an 683 . . 3 ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop𝑇)↑2) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑇)↑2)))
165, 7hocoi 29079 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)))
1716fveq2d 6379 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))
1817adantr 472 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))
197ffvelrni 6548 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
205ffvelrni 6548 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → ((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
21 normcl 28438 . . . . . . . . 9 (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ∈ ℋ → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
2322adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
24 nmopre 29185 . . . . . . . . . 10 ((adj𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘(adj𝑇)) ∈ ℝ)
253, 24ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (normop‘(adj𝑇)) ∈ ℝ
26 normcl 28438 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
2719, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
28 remulcl 10274 . . . . . . . . 9 (((normop‘(adj𝑇)) ∈ ℝ ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ) → ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
2925, 27, 28sylancr 581 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
3029adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
3125, 10remulcli 10310 . . . . . . . 8 ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)) ∈ ℝ
3231a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)) ∈ ℝ)
333nmbdoplbi 29339 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
3419, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
3534adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
3627adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
3710a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (normop𝑇) ∈ ℝ)
38 normcl 28438 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℝ)
39 remulcl 10274 . . . . . . . . . . 11 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ (norm𝑥) ∈ ℝ) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
4010, 38, 39sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
4140adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
421nmbdoplbi 29339 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑥)))
4342adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑥)))
44 1re 10293 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
45 nmopge0 29226 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop𝑇))
461, 6, 45mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ (normop𝑇)
4710, 46pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . 13 ((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop𝑇))
48 lemul2a 11132 . . . . . . . . . . . . 13 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop𝑇))) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · 1))
4947, 48mp3anl3 1581 . . . . . . . . . . . 12 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · 1))
5044, 49mpanl2 692 . . . . . . . . . . 11 (((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · 1))
5138, 50sylan 575 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · 1))
5210recni 10308 . . . . . . . . . . 11 (normop𝑇) ∈ ℂ
5352mulid1i 10298 . . . . . . . . . 10 ((normop𝑇) · 1) = (normop𝑇)
5451, 53syl6breq 4850 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ≤ (normop𝑇))
5536, 41, 37, 43, 54letrd 10448 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇))
56 nmopge0 29226 . . . . . . . . . . 11 ((adj𝑇): ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘(adj𝑇)))
573, 4, 56mp2b 10 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (normop‘(adj𝑇))
5825, 57pm3.2i 462 . . . . . . . . 9 ((normop‘(adj𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘(adj𝑇)))
59 lemul2a 11132 . . . . . . . . 9 ((((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ ∧ ((normop‘(adj𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘(adj𝑇)))) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇)) → ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)))
6058, 59mp3anl3 1581 . . . . . . . 8 ((((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇)) → ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)))
6136, 37, 55, 60syl21anc 866 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)))
6223, 30, 32, 35, 61letrd 10448 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)))
6318, 62eqbrtrd 4831 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)))
641nmopadji 29405 . . . . . . 7 (normop‘(adj𝑇)) = (normop𝑇)
6564oveq1i 6852 . . . . . 6 ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)) = ((normop𝑇) · (normop𝑇))
6652sqvali 13150 . . . . . 6 ((normop𝑇)↑2) = ((normop𝑇) · (normop𝑇))
6765, 66eqtr4i 2790 . . . . 5 ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)) = ((normop𝑇)↑2)
6863, 67syl6breq 4850 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑇)↑2))
6968ex 401 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑇)↑2)))
7015, 69mprgbir 3074 . 2 (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop𝑇)↑2)
71 nmopge0 29226 . . . . . . . 8 (((adj𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
728, 71ax-mp 5 . . . . . . 7 0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))
733, 1bdopcoi 29413 . . . . . . . . 9 ((adj𝑇) ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp
74 nmopre 29185 . . . . . . . . 9 (((adj𝑇) ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ)
7573, 74ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ
7675sqrtcli 14396 . . . . . . 7 (0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) → (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ)
77 rexr 10339 . . . . . . 7 ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ → (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*)
7872, 76, 77mp2b 10 . . . . . 6 (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*
79 nmopub 29223 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*) → ((normop𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))))))
807, 78, 79mp2an 683 . . . . 5 ((normop𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))))
8119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
82 hicl 28393 . . . . . . . . . . . 12 ((((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
8381, 82mpancom 679 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
8483abscld 14460 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
8584adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
8622, 38remulcld 10324 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
8786adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
8875a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ)
89 bcs 28494 . . . . . . . . . . 11 ((((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)))
9081, 89mpancom 679 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)))
9190adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)))
925, 7hococli 29080 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → (((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ)
93 normcl 28438 . . . . . . . . . . . 12 ((((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
9594adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
9638adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm𝑥) ∈ ℝ)
97 normge0 28439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))
9819, 20, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))
9922, 98jca 507 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)))))
10099adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)))))
101 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm𝑥) ≤ 1)
102 lemul2a 11132 . . . . . . . . . . . . 13 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ≤ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · 1))
10344, 102mp3anl2 1580 . . . . . . . . . . . 12 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ≤ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · 1))
10496, 100, 101, 103syl21anc 866 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ≤ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · 1))
10522recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℂ)
106105mulid1d 10311 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · 1) = (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))
107106, 17eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · 1) = (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
108107adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · 1) = (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
109104, 108breqtrd 4835 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ≤ (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
110 remulcl 10274 . . . . . . . . . . . . 13 (((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ (norm𝑥) ∈ ℝ) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
11175, 38, 110sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
112111adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
11373nmbdoplbi 29339 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)))
114113adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)))
11575, 72pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
116 lemul2a 11132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ≤ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
117115, 116mp3anl3 1581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ≤ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
11844, 117mpanl2 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ≤ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
11938, 118sylan 575 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ≤ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
12075recni 10308 . . . . . . . . . . . . 13 (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℂ
121120mulid1i 10298 . . . . . . . . . . . 12 ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · 1) = (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))
122119, 121syl6breq 4850 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
12395, 112, 88, 114, 122letrd 10448 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
12487, 95, 88, 109, 123letrd 10448 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
12585, 87, 88, 91, 124letrd 10448 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
126 resqcl 13138 . . . . . . . . . . . 12 ((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) ∈ ℝ)
127 sqge0 13147 . . . . . . . . . . . 12 ((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → 0 ≤ ((norm‘(𝑇𝑥))↑2))
128126, 127absidd 14446 . . . . . . . . . . 11 ((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → (abs‘((norm‘(𝑇𝑥))↑2)) = ((norm‘(𝑇𝑥))↑2))
12919, 26, 1283syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘((norm‘(𝑇𝑥))↑2)) = ((norm‘(𝑇𝑥))↑2))
130 normsq 28447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)))
13119, 130syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)))
132 bdopadj 29397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((adj𝑇) ∈ BndLinOp → (adj𝑇) ∈ dom adj)
1333, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (adj𝑇) ∈ dom adj
134 adj2 29249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((adj𝑇) ∈ dom adj ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑥) ·ih ((adj‘(adj𝑇))‘𝑥)))
135133, 134mp3an1 1572 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑥) ·ih ((adj‘(adj𝑇))‘𝑥)))
13619, 135mpancom 679 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑥) ·ih ((adj‘(adj𝑇))‘𝑥)))
137 bdopadj 29397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ dom adj)
138 adjadj 29251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ dom adj → (adj‘(adj𝑇)) = 𝑇)
1391, 137, 138mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15 (adj‘(adj𝑇)) = 𝑇
140139fveq1i 6376 . . . . . . . . . . . . . 14 ((adj‘(adj𝑇))‘𝑥) = (𝑇𝑥)
141140oveq2i 6853 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇𝑥) ·ih ((adj‘(adj𝑇))‘𝑥)) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥))
142136, 141syl6req 2816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) = (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥))
143131, 142eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) = (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥))
144143fveq2d 6379 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘((norm‘(𝑇𝑥))↑2)) = (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)))
145129, 144eqtr3d 2801 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) = (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)))
146145adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) = (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)))
14775sqsqrti 14400 . . . . . . . . . 10 (0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) → ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
1488, 71, 147mp2b 10 . . . . . . . . 9 ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))
149148a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
150125, 146, 1493brtr4d 4841 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2))
151 normge0 28439 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝑇𝑥)))
15219, 151syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝑇𝑥)))
1538, 71, 76mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ
15475sqrtge0i 14401 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) → 0 ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))))
1558, 71, 154mp2b 10 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
156 le2sq 13145 . . . . . . . . . 10 ((((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑇𝑥))) ∧ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))))) → ((norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
157153, 155, 156mpanr12 696 . . . . . . . . 9 (((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑇𝑥))) → ((norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
15827, 152, 157syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
159158adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
160150, 159mpbird 248 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))))
161160ex 401 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))))
16280, 161mprgbir 3074 . . . 4 (normop𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
16310, 153le2sqi 13160 . . . . 5 ((0 ≤ (normop𝑇) ∧ 0 ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))) → ((normop𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normop𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
16446, 155, 163mp2an 683 . . . 4 ((normop𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normop𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2))
165162, 164mpbi 221 . . 3 ((normop𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)
166165, 148breqtri 4834 . 2 ((normop𝑇)↑2) ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))
16775, 11letri3i 10407 . 2 ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop𝑇)↑2) ↔ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop𝑇)↑2) ∧ ((normop𝑇)↑2) ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))))
16870, 166, 167mpbir2an 702 1 (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop𝑇)↑2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055   class class class wbr 4809  dom cdm 5277  ccom 5281  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   · cmul 10194  *cxr 10327  cle 10329  2c2 11327  cexp 13067  csqrt 14258  abscabs 14259  chba 28232   ·ih csp 28235  normcno 28236  normopcnop 28258  BndLinOpcbo 28261  adjcado 28268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cc 9510  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269  ax-hilex 28312  ax-hfvadd 28313  ax-hvcom 28314  ax-hvass 28315  ax-hv0cl 28316  ax-hvaddid 28317  ax-hfvmul 28318  ax-hvmulid 28319  ax-hvmulass 28320  ax-hvdistr1 28321  ax-hvdistr2 28322  ax-hvmul0 28323  ax-hfi 28392  ax-his1 28395  ax-his2 28396  ax-his3 28397  ax-his4 28398  ax-hcompl 28515
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-lm 21313  df-t1 21398  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cfil 23332  df-cau 23333  df-cmet 23334  df-grpo 27804  df-gid 27805  df-ginv 27806  df-gdiv 27807  df-ablo 27856  df-vc 27870  df-nv 27903  df-va 27906  df-ba 27907  df-sm 27908  df-0v 27909  df-vs 27910  df-nmcv 27911  df-ims 27912  df-dip 28012  df-ssp 28033  df-lno 28055  df-nmoo 28056  df-0o 28058  df-ph 28124  df-cbn 28175  df-hnorm 28281  df-hba 28282  df-hvsub 28284  df-hlim 28285  df-hcau 28286  df-sh 28520  df-ch 28534  df-oc 28565  df-ch0 28566  df-shs 28623  df-pjh 28710  df-h0op 29063  df-nmop 29154  df-cnop 29155  df-lnop 29156  df-bdop 29157  df-unop 29158  df-hmop 29159  df-nmfn 29160  df-nlfn 29161  df-cnfn 29162  df-lnfn 29163  df-adjh 29164
This theorem is referenced by:  nmopcoadj2i  29417
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