HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopcoadji Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmopcoadji 31354
Description: The norm of an operator composed with its adjoint. Part of Theorem 3.11(vi) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 8-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmopcoadj.1 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmopcoadji (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) = ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2)

Proof of Theorem nmopcoadji
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmopcoadj.1 . . . . . . 7 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
2 adjbdlnb 31337 . . . . . . 7 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†” (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ BndLinOp)
31, 2mpbi 229 . . . . . 6 (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ BndLinOp
4 bdopf 31115 . . . . . 6 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ BndLinOp โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹
6 bdopf 31115 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
71, 6ax-mp 5 . . . . 5 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
85, 7hocofi 31019 . . . 4 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹
9 nmopre 31123 . . . . . . 7 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
101, 9ax-mp 5 . . . . . 6 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
1110resqcli 14150 . . . . 5 ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โˆˆ โ„
12 rexr 11260 . . . . 5 (((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โˆˆ โ„ โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โˆˆ โ„*)
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โˆˆ โ„*
14 nmopub 31161 . . . 4 ((((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โˆˆ โ„*) โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2))))
158, 13, 14mp2an 691 . . 3 ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2)))
165, 7hocoi 31017 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
1716fveq2d 6896 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
1817adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
197ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
205ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
21 normcl 30378 . . . . . . . . 9 (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
2322adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
24 nmopre 31123 . . . . . . . . . 10 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ BndLinOp โ†’ (normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
253, 24ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„
26 normcl 30378 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
2719, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
28 remulcl 11195 . . . . . . . . 9 (((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†’ ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
2925, 27, 28sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
3029adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
3125, 10remulcli 11230 . . . . . . . 8 ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„
3231a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
333nmbdoplbi 31277 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
3419, 33syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
3534adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
3627adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
3710a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
38 normcl 30378 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
39 remulcl 11195 . . . . . . . . . . 11 (((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
4010, 38, 39sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
4140adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
421nmbdoplbi 31277 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
4342adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
44 1re 11214 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„
45 nmopge0 31164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
461, 6, 45mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡)
4710, 46pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
48 lemul2a 12069 . . . . . . . . . . . . 13 ((((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท 1))
4947, 48mp3anl3 1458 . . . . . . . . . . . 12 ((((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท 1))
5044, 49mpanl2 700 . . . . . . . . . . 11 (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท 1))
5138, 50sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท 1))
5210recni 11228 . . . . . . . . . . 11 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚
5352mulridi 11218 . . . . . . . . . 10 ((normopโ€˜๐‘‡) ยท 1) = (normopโ€˜๐‘‡)
5451, 53breqtrdi 5190 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
5536, 41, 37, 43, 54letrd 11371 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
56 nmopge0 31164 . . . . . . . . . . 11 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)))
573, 4, 56mp2b 10 . . . . . . . . . 10 0 โ‰ค (normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡))
5825, 57pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)))
59 lemul2a 12069 . . . . . . . . 9 ((((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)))) โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡)) โ†’ ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
6058, 59mp3anl3 1458 . . . . . . . 8 ((((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡)) โ†’ ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
6136, 37, 55, 60syl21anc 837 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
6223, 30, 32, 35, 61letrd 11371 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
6318, 62eqbrtrd 5171 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
641nmopadji 31343 . . . . . . 7 (normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) = (normopโ€˜๐‘‡)
6564oveq1i 7419 . . . . . 6 ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normopโ€˜๐‘‡))
6652sqvali 14144 . . . . . 6 ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normopโ€˜๐‘‡))
6765, 66eqtr4i 2764 . . . . 5 ((normopโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2)
6863, 67breqtrdi 5190 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2))
6968ex 414 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2)))
7015, 69mprgbir 3069 . 2 (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2)
71 nmopge0 31164 . . . . . . . 8 (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
728, 71ax-mp 5 . . . . . . 7 0 โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))
733, 1bdopcoi 31351 . . . . . . . . 9 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ BndLinOp
74 nmopre 31123 . . . . . . . . 9 (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ BndLinOp โ†’ (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
7573, 74ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โˆˆ โ„
7675sqrtcli 15318 . . . . . . 7 (0 โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โ†’ (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โˆˆ โ„)
77 rexr 11260 . . . . . . 7 ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โˆˆ โ„ โ†’ (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โˆˆ โ„*)
7872, 76, 77mp2b 10 . . . . . 6 (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โˆˆ โ„*
79 nmopub 31161 . . . . . 6 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โˆˆ โ„*) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))))))
807, 78, 79mp2an 691 . . . . 5 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))))
8119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
82 hicl 30333 . . . . . . . . . . . 12 ((((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
8381, 82mpancom 687 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
8483abscld 15383 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
8584adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
8622, 38remulcld 11244 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
8786adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
8875a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
89 bcs 30434 . . . . . . . . . . 11 ((((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
9081, 89mpancom 687 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
9190adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
925, 7hococli 31018 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
93 normcl 30378 . . . . . . . . . . . 12 ((((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
9594adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
9638adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
97 normge0 30379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
9819, 20, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
9922, 98jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
10099adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
101 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)
102 lemul2a 12069 . . . . . . . . . . . . 13 ((((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท 1))
10344, 102mp3anl2 1457 . . . . . . . . . . . 12 ((((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท 1))
10496, 100, 101, 103syl21anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท 1))
10522recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„‚)
106105mulridd 11231 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท 1) = (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
107106, 17eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท 1) = (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
108107adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท 1) = (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
109104, 108breqtrd 5175 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
110 remulcl 11195 . . . . . . . . . . . . 13 (((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„) โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
11175, 38, 110sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
112111adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
11373nmbdoplbi 31277 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
114113adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
11575, 72pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
116 lemul2a 12069 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท 1))
117115, 116mp3anl3 1458 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท 1))
11844, 117mpanl2 700 . . . . . . . . . . . . 13 (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท 1))
11938, 118sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท 1))
12075recni 11228 . . . . . . . . . . . . 13 (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โˆˆ โ„‚
121120mulridi 11218 . . . . . . . . . . . 12 ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท 1) = (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))
122119, 121breqtrdi 5190 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
12395, 112, 88, 114, 122letrd 11371 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
12487, 95, 88, 109, 123letrd 11371 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
12585, 87, 88, 91, 124letrd 11371 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
126 resqcl 14089 . . . . . . . . . . . 12 ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) โˆˆ โ„)
127 sqge0 14101 . . . . . . . . . . . 12 ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2))
128126, 127absidd 15369 . . . . . . . . . . 11 ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†’ (absโ€˜((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2)) = ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2))
12919, 26, 1283syl 18 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2)) = ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2))
130 normsq 30387 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
13119, 130syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
132 bdopadj 31335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ BndLinOp โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž)
1333, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž
134 adj2 31187 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((adjโ„Žโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ)))
135133, 134mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((adjโ„Žโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ)))
13619, 135mpancom 687 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((adjโ„Žโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ)))
137 bdopadj 31335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž)
138 adjadj 31189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) = ๐‘‡)
1391, 137, 138mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15 (adjโ„Žโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡)) = ๐‘‡
140139fveq1i 6893 . . . . . . . . . . . . . 14 ((adjโ„Žโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)
141140oveq2i 7420 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((adjโ„Žโ€˜(adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))
142136, 141eqtr2di 2790 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ))
143131, 142eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ))
144143fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2)) = (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)))
145129, 144eqtr3d 2775 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) = (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)))
146145adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) = (absโ€˜(((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ)))
14775sqsqrti 15322 . . . . . . . . . 10 (0 โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โ†’ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2) = (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
1488, 71, 147mp2b 10 . . . . . . . . 9 ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2) = (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))
149148a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2) = (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
150125, 146, 1493brtr4d 5181 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2))
151 normge0 30379 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
15219, 151syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
1538, 71, 76mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โˆˆ โ„
15475sqrtge0i 15323 . . . . . . . . . . 11 (0 โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))))
1558, 71, 154mp2b 10 . . . . . . . . . 10 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
156 le2sq 14099 . . . . . . . . . 10 ((((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆง ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))))) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โ†” ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2)))
157153, 155, 156mpanr12 704 . . . . . . . . 9 (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โ†” ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2)))
15827, 152, 157syl2anc 585 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โ†” ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2)))
159158adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โ†” ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2)))
160150, 159mpbird 257 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))))
161160ex 414 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))))
16280, 161mprgbir 3069 . . . 4 (normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))
16310, 153le2sqi 14154 . . . . 5 ((0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡) โˆง 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โ†” ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2)))
16446, 155, 163mp2an 691 . . . 4 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))) โ†” ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2))
165162, 164mpbi 229 . . 3 ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)))โ†‘2)
166165, 148breqtri 5174 . 2 ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))
16775, 11letri3i 11330 . 2 ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) = ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โ†” ((normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โˆง ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2) โ‰ค (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡))))
16870, 166, 167mpbir2an 710 1 (normopโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ ๐‘‡)) = ((normopโ€˜๐‘‡)โ†‘2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062   class class class wbr 5149  dom cdm 5677   โˆ˜ ccom 5681  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115  โ„*cxr 11247   โ‰ค cle 11249  2c2 12267  โ†‘cexp 14027  โˆšcsqrt 15180  abscabs 15181   โ„‹chba 30172   ยทih csp 30175  normโ„Žcno 30176  normopcnop 30198  BndLinOpcbo 30201  adjโ„Žcado 30208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338  ax-hcompl 30455
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-lm 22733  df-t1 22818  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cfil 24772  df-cau 24773  df-cmet 24774  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-dip 29954  df-ssp 29975  df-lno 29997  df-nmoo 29998  df-0o 30000  df-ph 30066  df-cbn 30116  df-hnorm 30221  df-hba 30222  df-hvsub 30224  df-hlim 30225  df-hcau 30226  df-sh 30460  df-ch 30474  df-oc 30505  df-ch0 30506  df-shs 30561  df-pjh 30648  df-h0op 31001  df-nmop 31092  df-cnop 31093  df-lnop 31094  df-bdop 31095  df-unop 31096  df-hmop 31097  df-nmfn 31098  df-nlfn 31099  df-cnfn 31100  df-lnfn 31101  df-adjh 31102
This theorem is referenced by:  nmopcoadj2i  31355
  Copyright terms: Public domain W3C validator