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Theorem nmopcoadji 32120
Description: The norm of an operator composed with its adjoint. Part of Theorem 3.11(vi) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 8-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmopcoadj.1 𝑇 ∈ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmopcoadji (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop𝑇)↑2)

Proof of Theorem nmopcoadji
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmopcoadj.1 . . . . . . 7 𝑇 ∈ BndLinOp
2 adjbdlnb 32103 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ BndLinOp ↔ (adj𝑇) ∈ BndLinOp)
31, 2mpbi 230 . . . . . 6 (adj𝑇) ∈ BndLinOp
4 bdopf 31881 . . . . . 6 ((adj𝑇) ∈ BndLinOp → (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ
6 bdopf 31881 . . . . . 6 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
71, 6ax-mp 5 . . . . 5 𝑇: ℋ⟶ ℋ
85, 7hocofi 31785 . . . 4 ((adj𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
9 nmopre 31889 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop𝑇) ∈ ℝ)
101, 9ax-mp 5 . . . . . 6 (normop𝑇) ∈ ℝ
1110resqcli 14225 . . . . 5 ((normop𝑇)↑2) ∈ ℝ
12 rexr 11307 . . . . 5 (((normop𝑇)↑2) ∈ ℝ → ((normop𝑇)↑2) ∈ ℝ*)
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 ((normop𝑇)↑2) ∈ ℝ*
14 nmopub 31927 . . . 4 ((((adj𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((normop𝑇)↑2) ∈ ℝ*) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop𝑇)↑2) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑇)↑2))))
158, 13, 14mp2an 692 . . 3 ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop𝑇)↑2) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑇)↑2)))
165, 7hocoi 31783 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)))
1716fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))
1817adantr 480 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))
197ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
205ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → ((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
21 normcl 31144 . . . . . . . . 9 (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ∈ ℋ → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
2322adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
24 nmopre 31889 . . . . . . . . . 10 ((adj𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘(adj𝑇)) ∈ ℝ)
253, 24ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (normop‘(adj𝑇)) ∈ ℝ
26 normcl 31144 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
2719, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
28 remulcl 11240 . . . . . . . . 9 (((normop‘(adj𝑇)) ∈ ℝ ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ) → ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
2925, 27, 28sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
3029adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
3125, 10remulcli 11277 . . . . . . . 8 ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)) ∈ ℝ
3231a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)) ∈ ℝ)
333nmbdoplbi 32043 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
3419, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
3534adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
3627adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
3710a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (normop𝑇) ∈ ℝ)
38 normcl 31144 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℝ)
39 remulcl 11240 . . . . . . . . . . 11 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ (norm𝑥) ∈ ℝ) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
4010, 38, 39sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
4140adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
421nmbdoplbi 32043 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑥)))
4342adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑥)))
44 1re 11261 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
45 nmopge0 31930 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop𝑇))
461, 6, 45mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ (normop𝑇)
4710, 46pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 ((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop𝑇))
48 lemul2a 12122 . . . . . . . . . . . . 13 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop𝑇))) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · 1))
4947, 48mp3anl3 1459 . . . . . . . . . . . 12 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · 1))
5044, 49mpanl2 701 . . . . . . . . . . 11 (((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · 1))
5138, 50sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · 1))
5210recni 11275 . . . . . . . . . . 11 (normop𝑇) ∈ ℂ
5352mulridi 11265 . . . . . . . . . 10 ((normop𝑇) · 1) = (normop𝑇)
5451, 53breqtrdi 5184 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ≤ (normop𝑇))
5536, 41, 37, 43, 54letrd 11418 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇))
56 nmopge0 31930 . . . . . . . . . . 11 ((adj𝑇): ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘(adj𝑇)))
573, 4, 56mp2b 10 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (normop‘(adj𝑇))
5825, 57pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 ((normop‘(adj𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘(adj𝑇)))
59 lemul2a 12122 . . . . . . . . 9 ((((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ ∧ ((normop‘(adj𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘(adj𝑇)))) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇)) → ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)))
6058, 59mp3anl3 1459 . . . . . . . 8 ((((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇)) → ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)))
6136, 37, 55, 60syl21anc 838 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘(adj𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)))
6223, 30, 32, 35, 61letrd 11418 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)))
6318, 62eqbrtrd 5165 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)))
641nmopadji 32109 . . . . . . 7 (normop‘(adj𝑇)) = (normop𝑇)
6564oveq1i 7441 . . . . . 6 ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)) = ((normop𝑇) · (normop𝑇))
6652sqvali 14219 . . . . . 6 ((normop𝑇)↑2) = ((normop𝑇) · (normop𝑇))
6765, 66eqtr4i 2768 . . . . 5 ((normop‘(adj𝑇)) · (normop𝑇)) = ((normop𝑇)↑2)
6863, 67breqtrdi 5184 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑇)↑2))
6968ex 412 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑇)↑2)))
7015, 69mprgbir 3068 . 2 (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop𝑇)↑2)
71 nmopge0 31930 . . . . . . . 8 (((adj𝑇) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
728, 71ax-mp 5 . . . . . . 7 0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))
733, 1bdopcoi 32117 . . . . . . . . 9 ((adj𝑇) ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp
74 nmopre 31889 . . . . . . . . 9 (((adj𝑇) ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ)
7573, 74ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ
7675sqrtcli 15410 . . . . . . 7 (0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) → (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ)
77 rexr 11307 . . . . . . 7 ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ → (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*)
7872, 76, 77mp2b 10 . . . . . 6 (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*
79 nmopub 31927 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ*) → ((normop𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))))))
807, 78, 79mp2an 692 . . . . 5 ((normop𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))))
8119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
82 hicl 31099 . . . . . . . . . . . 12 ((((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
8381, 82mpancom 688 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
8483abscld 15475 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
8584adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
8622, 38remulcld 11291 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
8786adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
8875a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ)
89 bcs 31200 . . . . . . . . . . 11 ((((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)))
9081, 89mpancom 688 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)))
9190adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)))
925, 7hococli 31784 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → (((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ)
93 normcl 31144 . . . . . . . . . . . 12 ((((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
9594adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
9638adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm𝑥) ∈ ℝ)
97 normge0 31145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))
9819, 20, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))
9922, 98jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)))))
10099adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)))))
101 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm𝑥) ≤ 1)
102 lemul2a 12122 . . . . . . . . . . . . 13 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ≤ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · 1))
10344, 102mp3anl2 1458 . . . . . . . . . . . 12 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ≤ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · 1))
10496, 100, 101, 103syl21anc 838 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ≤ ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · 1))
10522recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) ∈ ℂ)
106105mulridd 11278 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · 1) = (norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))))
107106, 17eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · 1) = (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
108107adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · 1) = (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
109104, 108breqtrd 5169 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ≤ (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
110 remulcl 11240 . . . . . . . . . . . . 13 (((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ (norm𝑥) ∈ ℝ) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
11175, 38, 110sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
112111adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
11373nmbdoplbi 32043 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)))
114113adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)))
11575, 72pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
116 lemul2a 12122 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ≤ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
117115, 116mp3anl3 1459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ≤ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
11844, 117mpanl2 701 . . . . . . . . . . . . 13 (((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ≤ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
11938, 118sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ≤ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · 1))
12075recni 11275 . . . . . . . . . . . . 13 (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ∈ ℂ
121120mulridi 11265 . . . . . . . . . . . 12 ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · 1) = (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))
122119, 121breqtrdi 5184 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) · (norm𝑥)) ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
12395, 112, 88, 114, 122letrd 11418 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(((adj𝑇) ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
12487, 95, 88, 109, 123letrd 11418 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘((adj𝑇)‘(𝑇𝑥))) · (norm𝑥)) ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
12585, 87, 88, 91, 124letrd 11418 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)) ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
126 resqcl 14164 . . . . . . . . . . . 12 ((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) ∈ ℝ)
127 sqge0 14176 . . . . . . . . . . . 12 ((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → 0 ≤ ((norm‘(𝑇𝑥))↑2))
128126, 127absidd 15461 . . . . . . . . . . 11 ((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → (abs‘((norm‘(𝑇𝑥))↑2)) = ((norm‘(𝑇𝑥))↑2))
12919, 26, 1283syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘((norm‘(𝑇𝑥))↑2)) = ((norm‘(𝑇𝑥))↑2))
130 normsq 31153 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)))
13119, 130syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)))
132 bdopadj 32101 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((adj𝑇) ∈ BndLinOp → (adj𝑇) ∈ dom adj)
1333, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (adj𝑇) ∈ dom adj
134 adj2 31953 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((adj𝑇) ∈ dom adj ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑥) ·ih ((adj‘(adj𝑇))‘𝑥)))
135133, 134mp3an1 1450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑥) ·ih ((adj‘(adj𝑇))‘𝑥)))
13619, 135mpancom 688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑥) ·ih ((adj‘(adj𝑇))‘𝑥)))
137 bdopadj 32101 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ dom adj)
138 adjadj 31955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ dom adj → (adj‘(adj𝑇)) = 𝑇)
1391, 137, 138mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15 (adj‘(adj𝑇)) = 𝑇
140139fveq1i 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 ((adj‘(adj𝑇))‘𝑥) = (𝑇𝑥)
141140oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇𝑥) ·ih ((adj‘(adj𝑇))‘𝑥)) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥))
142136, 141eqtr2di 2794 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) = (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥))
143131, 142eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) = (((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥))
144143fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘((norm‘(𝑇𝑥))↑2)) = (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)))
145129, 144eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) = (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)))
146145adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) = (abs‘(((adj𝑇)‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥)))
14775sqsqrti 15414 . . . . . . . . . 10 (0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) → ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
1488, 71, 147mp2b 10 . . . . . . . . 9 ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))
149148a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2) = (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
150125, 146, 1493brtr4d 5175 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2))
151 normge0 31145 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝑇𝑥)))
15219, 151syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝑇𝑥)))
1538, 71, 76mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ
15475sqrtge0i 15415 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) → 0 ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))))
1558, 71, 154mp2b 10 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
156 le2sq 14174 . . . . . . . . . 10 ((((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑇𝑥))) ∧ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))))) → ((norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
157153, 155, 156mpanr12 705 . . . . . . . . 9 (((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑇𝑥))) → ((norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
15827, 152, 157syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
159158adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((norm‘(𝑇𝑥))↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
160150, 159mpbird 257 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))))
161160ex 412 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))))
16280, 161mprgbir 3068 . . . 4 (normop𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))
16310, 153le2sqi 14229 . . . . 5 ((0 ≤ (normop𝑇) ∧ 0 ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))) → ((normop𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normop𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)))
16446, 155, 163mp2an 692 . . . 4 ((normop𝑇) ≤ (√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))) ↔ ((normop𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2))
165162, 164mpbi 230 . . 3 ((normop𝑇)↑2) ≤ ((√‘(normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)))↑2)
166165, 148breqtri 5168 . 2 ((normop𝑇)↑2) ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))
16775, 11letri3i 11377 . 2 ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop𝑇)↑2) ↔ ((normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) ≤ ((normop𝑇)↑2) ∧ ((normop𝑇)↑2) ≤ (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇))))
16870, 166, 167mpbir2an 711 1 (normop‘((adj𝑇) ∘ 𝑇)) = ((normop𝑇)↑2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  *cxr 11294  cle 11296  2c2 12321  cexp 14102  csqrt 15272  abscabs 15273  chba 30938   ·ih csp 30941  normcno 30942  normopcnop 30964  BndLinOpcbo 30967  adjcado 30974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104  ax-hcompl 31221
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-lm 23237  df-t1 23322  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cfil 25289  df-cau 25290  df-cmet 25291  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-dip 30720  df-ssp 30741  df-lno 30763  df-nmoo 30764  df-0o 30766  df-ph 30832  df-cbn 30882  df-hnorm 30987  df-hba 30988  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-hcau 30992  df-sh 31226  df-ch 31240  df-oc 31271  df-ch0 31272  df-shs 31327  df-pjh 31414  df-h0op 31767  df-nmop 31858  df-cnop 31859  df-lnop 31860  df-bdop 31861  df-unop 31862  df-hmop 31863  df-nmfn 31864  df-nlfn 31865  df-cnfn 31866  df-lnfn 31867  df-adjh 31868
This theorem is referenced by:  nmopcoadj2i  32121
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