Theorem iccgelbd 46211

Description: An element of a closed interval is more than or equal to its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccgelbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iccgelbd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
iccgelbd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iccgelbd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem iccgelbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccgelbd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		iccgelbd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		iccgelbd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4		iccgelb 13432	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1396	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2150   class class class wbr 5114  (class class class)co 7414  ℝ^*cxr 11245   ≤ cle 11247  [,]cicc 13378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-id 5560  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-xr 11250  df-icc 13382

This theorem is referenced by:  sqrlearg  46221