Theorem iccgelbd 46477

Description: An element of a closed interval is more than or equal to its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccgelbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iccgelbd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
iccgelbd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iccgelbd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem iccgelbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccgelbd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		iccgelbd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		iccgelbd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4		iccgelb 13502	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  (class class class)co 7408  ℝ^*cxr 11313   ≤ cle 11315  [,]cicc 13448

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-xr 11318  df-icc 13452

This theorem is used by:  sqrlearg  46487