Theorem iooltubd 46243

Description: An element of an open interval is less than its upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iooltubd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iooltubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
iooltubd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iooltubd	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Proof of Theorem iooltubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooltubd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		iooltubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		iooltubd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4		iooltub 46209	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244  (,)cioo 13373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ioo 13377

This theorem is referenced by:  fourierdlem48  46851  fourierdlem49  46852  fourierdlem60  46863  fourierdlem61  46864  pimiooltgt  47407  pimrecltneg  47421  smfmullem1  47488