Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooltubd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooltubd 43063
Description: An element of an open interval is less than its upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iooltubd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
iooltubd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
iooltubd.3 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
Assertion
Ref Expression
iooltubd (𝜑𝐶 < 𝐵)

Proof of Theorem iooltubd
StepHypRef Expression
1 iooltubd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 iooltubd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3 iooltubd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4 iooltub 43029 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)
51, 2, 3, 4syl3anc 1370 1 (𝜑𝐶 < 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106   class class class wbr 5073  (class class class)co 7267  *cxr 11018   < clt 11019  (,)cioo 13089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-id 5484  df-po 5498  df-so 5499  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-ioo 13093
This theorem is referenced by:  fourierdlem60  43688  fourierdlem61  43689  pimrecltneg  44238  smfmullem1  44303
  Copyright terms: Public domain W3C validator