Theorem iooltubd 45542

Description: An element of an open interval is less than its upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iooltubd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iooltubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
iooltubd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iooltubd	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Proof of Theorem iooltubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooltubd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		iooltubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		iooltubd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4		iooltub 45508	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208  (,)cioo 13306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-ioo 13310

This theorem is referenced by:  fourierdlem60  46164  fourierdlem61  46165  pimrecltneg  46722  smfmullem1  46789