Theorem iooltubd 46771

Description: An element of an open interval is less than its upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iooltubd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iooltubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
iooltubd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iooltubd	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Proof of Theorem iooltubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooltubd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		iooltubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		iooltubd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4		iooltub 46737	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7446  ℝ^*cxr 11372   < clt 11373  (,)cioo 13506

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-ioo 13510

This theorem is used by:  fourierdlem48  47379  fourierdlem49  47380  fourierdlem60  47391  fourierdlem61  47392  pimiooltgt  47935  pimrecltneg  47949  smfmullem1  48016