Theorem iooltubd 46650

Description: An element of an open interval is less than its upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iooltubd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iooltubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
iooltubd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iooltubd	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Proof of Theorem iooltubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooltubd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		iooltubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		iooltubd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4		iooltub 46616	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7421  ℝ^*cxr 11346   < clt 11347  (,)cioo 13480

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-ioo 13484

This theorem is used by:  fourierdlem48  47258  fourierdlem49  47259  fourierdlem60  47270  fourierdlem61  47271  pimiooltgt  47814  pimrecltneg  47828  smfmullem1  47895