Theorem iccgelb 13455

Description: An element of a closed interval is more than or equal to its lower bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iccgelb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem iccgelb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc1 13442	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
2	1	biimpa 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
3	2	simp2d 1161	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
4	3	3impa 1127	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  ℝ^*cxr 11266   ≤ cle 11268  [,]cicc 13401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-xr 11271  df-icc 13405

This theorem is used by:  xrge0neqmnf  13505  supicc  13554  ttgcontlem1  29341  xrge0infss  33231  xrge0addgt0  33457  xrge0adddir  33458  esumcst  34573  esumpinfval  34583  oms0  34808  probmeasb  34941  broucube  38403  areaquad  44057  lefldiveq  46125  xadd0ge  46152  xrge0nemnfd  46162  eliccelioc  46351  iccintsng  46353  eliccnelico  46359  eliccelicod  46360  ge0xrre  46361  inficc  46364  iccdificc  46369  iccgelbd  46373  cncfiooiccre  46723  iblspltprt  46801  itgioocnicc  46805  itgspltprt  46807  itgiccshift  46808  fourierdlem1  46936  fourierdlem20  46955  fourierdlem24  46959  fourierdlem25  46960  fourierdlem27  46962  fourierdlem43  46978  fourierdlem44  46979  fourierdlem50  46984  fourierdlem51  46985  fourierdlem52  46986  fourierdlem64  46998  fourierdlem73  47007  fourierdlem76  47010  fourierdlem81  47015  fourierdlem92  47026  fourierdlem102  47036  fourierdlem103  47037  fourierdlem104  47038  fourierdlem114  47048  rrxsnicc  47128  salgencntex  47171  fge0iccico  47198  gsumge0cl  47199  sge0sn  47207  sge0tsms  47208  sge0cl  47209  sge0ge0  47212  sge0fsum  47215  sge0pr  47222  sge0prle  47229  sge0p1  47242  sge0rernmpt  47250  meage0  47303  omessre  47338  omeiunltfirp  47347  carageniuncllem2  47350  omege0  47361  ovnlerp  47390  ovn0lem  47393  hoidmvlelem1  47423  hoidmvlelem2  47424  hoidmvlelem3  47425