Theorem iccgelb 13380

Description: An element of a closed interval is more than or equal to its lower bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iccgelb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem iccgelb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc1 13368	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
2	1	biimpa 478	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
3	2	simp2d 1144	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
4	3	3impa 1111	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝ^*cxr 11247   ≤ cle 11249  [,]cicc 13327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-xr 11252  df-icc 13331

This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  13429  supicc  13478  ttgcontlem1  28142  xrge0infss  31973  xrge0addgt0  32192  xrge0adddir  32193  esumcst  33061  esumpinfval  33071  oms0  33296  probmeasb  33429  broucube  36522  areaquad  41965  lefldiveq  44002  xadd0ge  44030  xrge0nemnfd  44042  eliccelioc  44234  iccintsng  44236  eliccnelico  44242  eliccelicod  44243  ge0xrre  44244  inficc  44247  iccdificc  44252  iccgelbd  44256  cncfiooiccre  44611  iblspltprt  44689  itgioocnicc  44693  itgspltprt  44695  itgiccshift  44696  fourierdlem1  44824  fourierdlem20  44843  fourierdlem24  44847  fourierdlem25  44848  fourierdlem27  44850  fourierdlem43  44866  fourierdlem44  44867  fourierdlem50  44872  fourierdlem51  44873  fourierdlem52  44874  fourierdlem64  44886  fourierdlem73  44895  fourierdlem76  44898  fourierdlem81  44903  fourierdlem92  44914  fourierdlem102  44924  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926  fourierdlem114  44936  rrxsnicc  45016  salgencntex  45059  fge0iccico  45086  gsumge0cl  45087  sge0sn  45095  sge0tsms  45096  sge0cl  45097  sge0ge0  45100  sge0fsum  45103  sge0pr  45110  sge0prle  45117  sge0p1  45130  sge0rernmpt  45138  meage0  45191  omessre  45226  omeiunltfirp  45235  carageniuncllem2  45238  omege0  45249  ovnlerp  45278  ovn0lem  45281  hoidmvlelem1  45311  hoidmvlelem2  45312  hoidmvlelem3  45313