Theorem iccgelb 13488

Description: An element of a closed interval is more than or equal to its lower bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iccgelb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem iccgelb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc1 13475	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
2	1	biimpa 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
3	2	simp2d 1161	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
4	3	3impa 1127	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7409  ℝ^*cxr 11299   ≤ cle 11301  [,]cicc 13434

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fv 6536  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-xr 11304  df-icc 13438

This theorem is used by:  xrge0neqmnf  13538  supicc  13587  ttgcontlem1  29381  xrge0infss  33271  xrge0addgt0  33497  xrge0adddir  33498  esumcst  34614  esumpinfval  34624  oms0  34849  probmeasb  34982  broucube  38486  areaquad  44155  lefldiveq  46223  xadd0ge  46250  xrge0nemnfd  46260  eliccelioc  46449  iccintsng  46451  eliccnelico  46457  eliccelicod  46458  ge0xrre  46459  inficc  46462  iccdificc  46467  iccgelbd  46471  cncfiooiccre  46821  iblspltprt  46899  itgioocnicc  46903  itgspltprt  46905  itgiccshift  46906  fourierdlem1  47034  fourierdlem20  47053  fourierdlem24  47057  fourierdlem25  47058  fourierdlem27  47060  fourierdlem43  47076  fourierdlem44  47077  fourierdlem50  47082  fourierdlem51  47083  fourierdlem52  47084  fourierdlem64  47096  fourierdlem73  47105  fourierdlem76  47108  fourierdlem81  47113  fourierdlem92  47124  fourierdlem102  47134  fourierdlem103  47135  fourierdlem104  47136  fourierdlem114  47146  rrxsnicc  47226  salgencntex  47269  fge0iccico  47296  gsumge0cl  47297  sge0sn  47305  sge0tsms  47306  sge0cl  47307  sge0ge0  47310  sge0fsum  47313  sge0pr  47320  sge0prle  47327  sge0p1  47340  sge0rernmpt  47348  meage0  47401  omessre  47436  omeiunltfirp  47445  carageniuncllem2  47448  omege0  47459  ovnlerp  47488  ovn0lem  47491  hoidmvlelem1  47521  hoidmvlelem2  47522  hoidmvlelem3  47523