Theorem iccgelb 13352

Description: An element of a closed interval is more than or equal to its lower bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iccgelb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem iccgelb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc1 13339	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
2	1	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
3	2	simp2d 1144	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
4	3	3impa 1110	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7364  ℝ^*cxr 11175   ≤ cle 11177  [,]cicc 13298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5523  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fv 6504  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-xr 11180  df-icc 13302

This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  13402  supicc  13451  ttgcontlem1  28973  xrge0infss  32854  xrge0addgt0  33098  xrge0adddir  33099  esumcst  34229  esumpinfval  34239  oms0  34463  probmeasb  34596  broucube  37997  areaquad  43670  lefldiveq  45751  xadd0ge  45778  xrge0nemnfd  45788  eliccelioc  45977  iccintsng  45979  eliccnelico  45985  eliccelicod  45986  ge0xrre  45987  inficc  45990  iccdificc  45995  iccgelbd  45999  cncfiooiccre  46349  iblspltprt  46427  itgioocnicc  46431  itgspltprt  46433  itgiccshift  46434  fourierdlem1  46562  fourierdlem20  46581  fourierdlem24  46585  fourierdlem25  46586  fourierdlem27  46588  fourierdlem43  46604  fourierdlem44  46605  fourierdlem50  46610  fourierdlem51  46611  fourierdlem52  46612  fourierdlem64  46624  fourierdlem73  46633  fourierdlem76  46636  fourierdlem81  46641  fourierdlem92  46652  fourierdlem102  46662  fourierdlem103  46663  fourierdlem104  46664  fourierdlem114  46674  rrxsnicc  46754  salgencntex  46797  fge0iccico  46824  gsumge0cl  46825  sge0sn  46833  sge0tsms  46834  sge0cl  46835  sge0ge0  46838  sge0fsum  46841  sge0pr  46848  sge0prle  46855  sge0p1  46868  sge0rernmpt  46876  meage0  46929  omessre  46964  omeiunltfirp  46973  carageniuncllem2  46976  omege0  46987  ovnlerp  47016  ovn0lem  47019  hoidmvlelem1  47049  hoidmvlelem2  47050  hoidmvlelem3  47051