Theorem iooiinicc 45972

Description: A closed interval expressed as the indexed intersection of open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iooiinicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iooiinicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iooiinicc	⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,]𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem iooiinicc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooiinicc.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		iooiinicc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		1nn 12185	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		ioossre 13360	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (1 / 1))(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ
7		oveq2 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
8	7	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐴 − (1 / 𝑛)) = (𝐴 − (1 / 1)))
9	7	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐵 + (1 / 1)))
10	8, 9	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = ((𝐴 − (1 / 1))(,)(𝐵 + (1 / 1))))
11	10	sseq1d 3953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → (((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ ↔ ((𝐴 − (1 / 1))(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ))
12	11	rspcev 3564	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 − (1 / 1))(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
13	5, 6, 12	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ
14		iinss 4999	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ → ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
18	16, 17	sseldd 3922	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
19		nfv 1916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
20		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛𝑥
21		nfii1 4971	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))
22	20, 21	nfel 2913	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))
23	19, 22	nfan 1901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
24		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
25		iinss2 5000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
27		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
28	26, 27	sseldd 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
29	28	adantll 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
30		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
31	1	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
32	31	adantlr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
33		elioore 13328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝑥 ∈ ℝ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
35		nnrecre 12219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
37	34, 36	readdcld 11174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
38	37	adantll 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
39	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
40	31, 39	resubcld 11578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
41	40	rexrd 11195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
42	41	adantlr 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
43	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
44	43, 39	readdcld 11174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
45	44	rexrd 11195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
46	45	adantlr 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
47		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
48		ioogtlb 45925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝑥)
49	42, 46, 47, 48	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝑥)
50	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
51	34	adantll 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
52	32, 50, 51	ltsubaddd 11746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝑥 ↔ 𝐴 < (𝑥 + (1 / 𝑛))))
53	49, 52	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 < (𝑥 + (1 / 𝑛)))
54	32, 38, 53	ltled 11294	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝑥 + (1 / 𝑛)))
55	24, 29, 30, 54	syl21anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝑥 + (1 / 𝑛)))
56	55	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝑛 ∈ ℕ → 𝐴 ≤ (𝑥 + (1 / 𝑛))))
57	23, 56	ralrimi 3235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝑥 + (1 / 𝑛)))
58	2	rexrd 11195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
59	23, 58, 18	xrralrecnnle 45812	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝑥 + (1 / 𝑛))))
60	57, 59	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐴 ≤ 𝑥)
61	44	adantlr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
62		iooltub 45940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
63	42, 46, 47, 62	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
64	51, 61, 63	ltled 11294	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
65	24, 29, 30, 64	syl21anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
66	65	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝑛 ∈ ℕ → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
67	23, 66	ralrimi 3235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
68	18	rexrd 11195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
69	23, 68, 4	xrralrecnnle 45812	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
70	67, 69	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ≤ 𝐵)
71	2, 4, 18, 60, 70	eliccd 45934	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
72	71	ralrimiva 3129	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
73		dfss3 3910	. . 3 ⊢ (∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴[,]𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
74	72, 73	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
75		1rp 12946	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
76	75	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
77		nnrp 12954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
78	76, 77	rpdivcld 13003	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
79	78	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
80	31, 79	ltsubrpd 13018	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴)
81	43, 79	ltaddrpd 13019	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
82		iccssioo 13368	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴 ∧ 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
83	41, 45, 80, 81, 82	syl22anc 839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
84	83	ralrimiva 3129	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
85		ssiin 4998	. . 3 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
86	84, 85	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
87	74, 86	eqssd 3939	1 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889  ∩ ciin 4934   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377   / cdiv 11807  ℕcn 12174  ℝ⁺crp 12942  (,)cioo 13298  [,]cicc 13301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-ioo 13302  df-icc 13305  df-fl 13751

This theorem is referenced by:  iccvonmbllem  47106