Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooiinicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooiinicc 41683
Description: A closed interval expressed as the indexed intersection of open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iooiinicc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
iooiinicc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iooiinicc (𝜑 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,]𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem iooiinicc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooiinicc.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 iooiinicc.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 1nn 11638 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
6 ioossre 12788 . . . . . . . . 9 ((𝐴 − (1 / 1))(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ
7 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
87oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (𝐴 − (1 / 𝑛)) = (𝐴 − (1 / 1)))
97oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐵 + (1 / 1)))
108, 9oveq12d 7166 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = ((𝐴 − (1 / 1))(,)(𝐵 + (1 / 1))))
1110sseq1d 4002 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → (((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ ↔ ((𝐴 − (1 / 1))(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ))
1211rspcev 3627 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 − (1 / 1))(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
135, 6, 12mp2an 688 . . . . . . . 8 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ
14 iinss 4977 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ → 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ
1615a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
17 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
1816, 17sseldd 3972 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
19 nfv 1908 . . . . . . . 8 𝑛𝜑
20 nfcv 2982 . . . . . . . . 9 𝑛𝑥
21 nfii1 4951 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))
2220, 21nfel 2997 . . . . . . . 8 𝑛 𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))
2319, 22nfan 1893 . . . . . . 7 𝑛(𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
24 simpll 763 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
25 iinss2 4978 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
2625adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
27 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
2826, 27sseldd 3972 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
2928adantll 710 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
30 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
311adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3231adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
33 elioore 12758 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝑥 ∈ ℝ)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
35 nnrecre 11668 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
3635adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
3734, 36readdcld 10659 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3837adantll 710 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3935adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
4031, 39resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
4140rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
4241adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
4443, 39readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
4544rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
4645adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
47 simplr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
48 ioogtlb 41635 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝑥)
4942, 46, 47, 48syl3anc 1365 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝑥)
5035adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5134adantll 710 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
5232, 50, 51ltsubaddd 11225 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝑥𝐴 < (𝑥 + (1 / 𝑛))))
5349, 52mpbid 233 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 < (𝑥 + (1 / 𝑛)))
5432, 38, 53ltled 10777 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝑥 + (1 / 𝑛)))
5524, 29, 30, 54syl21anc 835 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝑥 + (1 / 𝑛)))
5655ex 413 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝑛 ∈ ℕ → 𝐴 ≤ (𝑥 + (1 / 𝑛))))
5723, 56ralrimi 3221 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝑥 + (1 / 𝑛)))
582rexrd 10680 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5923, 58, 18xrralrecnnle 41518 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴𝑥 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝑥 + (1 / 𝑛))))
6057, 59mpbird 258 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐴𝑥)
6144adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
62 iooltub 41651 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6342, 46, 47, 62syl3anc 1365 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6451, 61, 63ltled 10777 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6524, 29, 30, 64syl21anc 835 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6665ex 413 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝑛 ∈ ℕ → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
6723, 66ralrimi 3221 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6818rexrd 10680 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
6923, 68, 4xrralrecnnle 41518 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝑥𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
7067, 69mpbird 258 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥𝐵)
712, 4, 18, 60, 70eliccd 41644 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7271ralrimiva 3187 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
73 dfss3 3960 . . 3 ( 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴[,]𝐵) ↔ ∀𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7472, 73sylibr 235 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
75 1rp 12383 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
7675a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
77 nnrp 12390 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
7876, 77rpdivcld 12438 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
7978adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
8031, 79ltsubrpd 12453 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴)
8143, 79ltaddrpd 12454 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
82 iccssioo 12795 . . . . 5 ((((𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
8341, 45, 80, 81, 82syl22anc 836 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
8483ralrimiva 3187 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
85 ssiin 4976 . . 3 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
8684, 85sylibr 235 . 2 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
8774, 86eqssd 3988 1 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144  wss 3940   ciin 4918   class class class wbr 5063  (class class class)co 7148  cr 10525  1c1 10527   + caddc 10529  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  cn 11627  +crp 12379  (,)cioo 12728  [,]cicc 12731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-ioo 12732  df-icc 12735  df-fl 13152
This theorem is referenced by:  iccvonmbllem  42826
  Copyright terms: Public domain W3C validator