Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooiinicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooiinicc 43787
Description: A closed interval expressed as the indexed intersection of open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iooiinicc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
iooiinicc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iooiinicc (𝜑 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,]𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem iooiinicc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooiinicc.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 iooiinicc.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 1nn 12165 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
6 ioossre 13326 . . . . . . . . 9 ((𝐴 − (1 / 1))(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ
7 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
87oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (𝐴 − (1 / 𝑛)) = (𝐴 − (1 / 1)))
97oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐵 + (1 / 1)))
108, 9oveq12d 7376 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = ((𝐴 − (1 / 1))(,)(𝐵 + (1 / 1))))
1110sseq1d 3976 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → (((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ ↔ ((𝐴 − (1 / 1))(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ))
1211rspcev 3582 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 − (1 / 1))(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
135, 6, 12mp2an 691 . . . . . . . 8 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ
14 iinss 5017 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ → 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ
1615a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
17 simpr 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
1816, 17sseldd 3946 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
19 nfv 1918 . . . . . . . 8 𝑛𝜑
20 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 𝑛𝑥
21 nfii1 4990 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))
2220, 21nfel 2922 . . . . . . . 8 𝑛 𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))
2319, 22nfan 1903 . . . . . . 7 𝑛(𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
24 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
25 iinss2 5018 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
2625adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
27 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
2826, 27sseldd 3946 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
2928adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
30 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
311adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3231adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
33 elioore 13295 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝑥 ∈ ℝ)
3433adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
35 nnrecre 12196 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
3635adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
3734, 36readdcld 11185 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3837adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3935adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
4031, 39resubcld 11584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
4140rexrd 11206 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
4241adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
433adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
4443, 39readdcld 11185 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
4544rexrd 11206 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
4645adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
47 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
48 ioogtlb 43740 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝑥)
4942, 46, 47, 48syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝑥)
5035adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5134adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
5232, 50, 51ltsubaddd 11752 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝑥𝐴 < (𝑥 + (1 / 𝑛))))
5349, 52mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 < (𝑥 + (1 / 𝑛)))
5432, 38, 53ltled 11304 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝑥 + (1 / 𝑛)))
5524, 29, 30, 54syl21anc 837 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝑥 + (1 / 𝑛)))
5655ex 414 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝑛 ∈ ℕ → 𝐴 ≤ (𝑥 + (1 / 𝑛))))
5723, 56ralrimi 3241 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝑥 + (1 / 𝑛)))
582rexrd 11206 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5923, 58, 18xrralrecnnle 43624 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴𝑥 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝑥 + (1 / 𝑛))))
6057, 59mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐴𝑥)
6144adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
62 iooltub 43755 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6342, 46, 47, 62syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6451, 61, 63ltled 11304 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6524, 29, 30, 64syl21anc 837 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6665ex 414 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝑛 ∈ ℕ → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
6723, 66ralrimi 3241 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6818rexrd 11206 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
6923, 68, 4xrralrecnnle 43624 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝑥𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
7067, 69mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥𝐵)
712, 4, 18, 60, 70eliccd 43749 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7271ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
73 dfss3 3933 . . 3 ( 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴[,]𝐵) ↔ ∀𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7472, 73sylibr 233 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
75 1rp 12920 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
7675a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
77 nnrp 12927 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
7876, 77rpdivcld 12975 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
7978adantl 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
8031, 79ltsubrpd 12990 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴)
8143, 79ltaddrpd 12991 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
82 iccssioo 13334 . . . . 5 ((((𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
8341, 45, 80, 81, 82syl22anc 838 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
8483ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
85 ssiin 5016 . . 3 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
8684, 85sylibr 233 . 2 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
8774, 86eqssd 3962 1 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  wrex 3074  wss 3911   ciin 4956   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11051  1c1 11053   + caddc 11055  *cxr 11189   < clt 11190  cle 11191  cmin 11386   / cdiv 11813  cn 12154  +crp 12916  (,)cioo 13265  [,]cicc 13268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-ioo 13269  df-icc 13272  df-fl 13698
This theorem is referenced by:  iccvonmbllem  44926
  Copyright terms: Public domain W3C validator