Theorem iooiinicc 45555

Description: A closed interval expressed as the indexed intersection of open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iooiinicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iooiinicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iooiinicc	⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,]𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem iooiinicc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooiinicc.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		iooiinicc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		1nn 12277	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		ioossre 13448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (1 / 1))(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ
7		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
8	7	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐴 − (1 / 𝑛)) = (𝐴 − (1 / 1)))
9	7	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐵 + (1 / 1)))
10	8, 9	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = ((𝐴 − (1 / 1))(,)(𝐵 + (1 / 1))))
11	10	sseq1d 4015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → (((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ ↔ ((𝐴 − (1 / 1))(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ))
12	11	rspcev 3622	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 − (1 / 1))(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
13	5, 6, 12	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ
14		iinss 5056	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ → ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
18	16, 17	sseldd 3984	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
19		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
20		nfcv 2905	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛𝑥
21		nfii1 5029	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))
22	20, 21	nfel 2920	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))
23	19, 22	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
24		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
25		iinss2 5057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
27		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
28	26, 27	sseldd 3984	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
29	28	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
30		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
31	1	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
32	31	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
33		elioore 13417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝑥 ∈ ℝ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
35		nnrecre 12308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
37	34, 36	readdcld 11290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
38	37	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
39	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
40	31, 39	resubcld 11691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
41	40	rexrd 11311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
42	41	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
43	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
44	43, 39	readdcld 11290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
45	44	rexrd 11311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
46	45	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
47		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
48		ioogtlb 45508	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝑥)
49	42, 46, 47, 48	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝑥)
50	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
51	34	adantll 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
52	32, 50, 51	ltsubaddd 11859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝑥 ↔ 𝐴 < (𝑥 + (1 / 𝑛))))
53	49, 52	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 < (𝑥 + (1 / 𝑛)))
54	32, 38, 53	ltled 11409	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝑥 + (1 / 𝑛)))
55	24, 29, 30, 54	syl21anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝑥 + (1 / 𝑛)))
56	55	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝑛 ∈ ℕ → 𝐴 ≤ (𝑥 + (1 / 𝑛))))
57	23, 56	ralrimi 3257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝑥 + (1 / 𝑛)))
58	2	rexrd 11311	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
59	23, 58, 18	xrralrecnnle 45394	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝑥 + (1 / 𝑛))))
60	57, 59	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐴 ≤ 𝑥)
61	44	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
62		iooltub 45523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
63	42, 46, 47, 62	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
64	51, 61, 63	ltled 11409	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
65	24, 29, 30, 64	syl21anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
66	65	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝑛 ∈ ℕ → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
67	23, 66	ralrimi 3257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
68	18	rexrd 11311	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
69	23, 68, 4	xrralrecnnle 45394	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
70	67, 69	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ≤ 𝐵)
71	2, 4, 18, 60, 70	eliccd 45517	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
72	71	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
73		dfss3 3972	. . 3 ⊢ (∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴[,]𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
74	72, 73	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
75		1rp 13038	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
76	75	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
77		nnrp 13046	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
78	76, 77	rpdivcld 13094	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
79	78	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
80	31, 79	ltsubrpd 13109	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴)
81	43, 79	ltaddrpd 13110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
82		iccssioo 13456	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴 ∧ 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
83	41, 45, 80, 81, 82	syl22anc 839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
84	83	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
85		ssiin 5055	. . 3 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
86	84, 85	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
87	74, 86	eqssd 4001	1 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951  ∩ ciin 4992   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  1c1 11156   + caddc 11158  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492   / cdiv 11920  ℕcn 12266  ℝ⁺crp 13034  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13391  df-icc 13394  df-fl 13832

This theorem is referenced by:  iccvonmbllem  46693