Theorem iooiinicc 45704

Description: A closed interval expressed as the indexed intersection of open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iooiinicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iooiinicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iooiinicc	⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,]𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem iooiinicc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooiinicc.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		iooiinicc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		1nn 12147	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		ioossre 13314	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (1 / 1))(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ
7		oveq2 7363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
8	7	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐴 − (1 / 𝑛)) = (𝐴 − (1 / 1)))
9	7	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐵 + (1 / 1)))
10	8, 9	oveq12d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = ((𝐴 − (1 / 1))(,)(𝐵 + (1 / 1))))
11	10	sseq1d 3962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → (((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ ↔ ((𝐴 − (1 / 1))(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ))
12	11	rspcev 3573	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 − (1 / 1))(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
13	5, 6, 12	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ
14		iinss 5009	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ → ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
18	16, 17	sseldd 3931	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
19		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
20		nfcv 2895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛𝑥
21		nfii1 4981	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))
22	20, 21	nfel 2910	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))
23	19, 22	nfan 1900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
24		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
25		iinss2 5010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
27		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
28	26, 27	sseldd 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
29	28	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
30		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
31	1	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
32	31	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
33		elioore 13282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝑥 ∈ ℝ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
35		nnrecre 12178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
37	34, 36	readdcld 11152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
38	37	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
39	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
40	31, 39	resubcld 11556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
41	40	rexrd 11173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
42	41	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
43	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
44	43, 39	readdcld 11152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
45	44	rexrd 11173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
46	45	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
47		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
48		ioogtlb 45657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝑥)
49	42, 46, 47, 48	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝑥)
50	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
51	34	adantll 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
52	32, 50, 51	ltsubaddd 11724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝑥 ↔ 𝐴 < (𝑥 + (1 / 𝑛))))
53	49, 52	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 < (𝑥 + (1 / 𝑛)))
54	32, 38, 53	ltled 11272	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝑥 + (1 / 𝑛)))
55	24, 29, 30, 54	syl21anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝑥 + (1 / 𝑛)))
56	55	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝑛 ∈ ℕ → 𝐴 ≤ (𝑥 + (1 / 𝑛))))
57	23, 56	ralrimi 3231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝑥 + (1 / 𝑛)))
58	2	rexrd 11173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
59	23, 58, 18	xrralrecnnle 45543	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝑥 + (1 / 𝑛))))
60	57, 59	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐴 ≤ 𝑥)
61	44	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
62		iooltub 45672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
63	42, 46, 47, 62	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
64	51, 61, 63	ltled 11272	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
65	24, 29, 30, 64	syl21anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
66	65	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝑛 ∈ ℕ → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
67	23, 66	ralrimi 3231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
68	18	rexrd 11173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
69	23, 68, 4	xrralrecnnle 45543	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
70	67, 69	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ≤ 𝐵)
71	2, 4, 18, 60, 70	eliccd 45666	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
72	71	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
73		dfss3 3919	. . 3 ⊢ (∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴[,]𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
74	72, 73	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
75		1rp 12900	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
76	75	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
77		nnrp 12908	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
78	76, 77	rpdivcld 12957	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
79	78	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
80	31, 79	ltsubrpd 12972	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴)
81	43, 79	ltaddrpd 12973	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
82		iccssioo 13322	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴 ∧ 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
83	41, 45, 80, 81, 82	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
84	83	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
85		ssiin 5008	. . 3 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
86	84, 85	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
87	74, 86	eqssd 3948	1 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ ((𝐴 − (1 / 𝑛))(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  ∃wrex 3057   ⊆ wss 3898  ∩ ciin 4944   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  1c1 11018   + caddc 11020  ℝ^*cxr 11156   < clt 11157   ≤ cle 11158   − cmin 11355   / cdiv 11785  ℕcn 12136  ℝ⁺crp 12896  (,)cioo 13252  [,]cicc 13255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-q 12853  df-rp 12897  df-ioo 13256  df-icc 13259  df-fl 13703

This theorem is referenced by:  iccvonmbllem  46838