Theorem sqrlearg 46658

Description: The square compared with its argument. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqrlearg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sqrlearg	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ (0[,]1)))

Proof of Theorem sqrlearg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11313	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
3		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → ¬ 𝐴 ≤ 1)
4		1red 11312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
5		sqrlearg.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	4, 6	ltnled 11460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → (1 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 1))
8	3, 7	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 1 < 𝐴)
9		1red 11312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
10	5	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
11	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
12		0lt1 11841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
14		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
15	11, 9, 10, 13, 14	lttrd 11474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
16	10, 15	elrpd 13164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
17	9, 10, 16, 14	ltmul2dd 13223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐴))
18	5	recnd 11340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	mulridd 11329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
21	18	sqvald 14289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
22	21	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
23	22	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
24	20, 23	breq12d 5115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ((𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐴) ↔ 𝐴 < (𝐴↑2)))
25	17, 24	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 < (𝐴↑2))
26	8, 25	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 < (𝐴↑2))
27	26	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 < (𝐴↑2))
28		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴)
29	5	resqcld 14271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
30	29	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
31	5	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
32	30, 31	lenltd 11459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (𝐴↑2)))
33	28, 32	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → ¬ 𝐴 < (𝐴↑2))
34	33	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → ¬ 𝐴 < (𝐴↑2))
35	27, 34	condan 830	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ 1)
36		1red 11312	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
37	35, 36	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
38	31	sqge0d 14283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴↑2))
39	2, 30, 31, 38, 28	letrd 11470	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
40	2, 37, 31, 39, 35	eliccd 46609	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]1))
41	40	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴 → 𝐴 ∈ (0[,]1)))
42		unitssre 13633	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
43	42	sseli 3904	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
44		1red 11312	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 1 ∈ ℝ)
45		0xr 11359	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
46	45	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 0 ∈ ℝ*)
47	44	rexrd 11362	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 1 ∈ ℝ*)
48		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ∈ (0[,]1))
49	46, 47, 48	iccgelbd 46648	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝐴)
50	46, 47, 48	iccleubd 46653	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ≤ 1)
51	43, 44, 43, 49, 50	lemul2ad 12260	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐴 · 1))
52	51	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐴 · 1))
53	22	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
54	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
55	53, 54	breq12d 5115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (0[,]1)) → ((𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐴 · 1) ↔ (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
56	52, 55	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴)
57	56	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (0[,]1) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
58	41, 57	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ (0[,]1)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   · cmul 11208  ℝ^*cxr 11345   < clt 11346   ≤ cle 11347  2c2 12400  [,]cicc 13482  ↑cexp 14207

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-icc 13486  df-seq 14148  df-exp 14208

This theorem is used by:  smfmullem1  47894