Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqrlearg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrlearg 45506
Description: The square compared with its argument. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
sqrlearg.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
sqrlearg (𝜑 → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴𝐴 ∈ (0[,]1)))

Proof of Theorem sqrlearg
StepHypRef Expression
1 0re 11261 . . . . 5 0 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
3 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → ¬ 𝐴 ≤ 1)
4 1red 11260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
5 sqrlearg.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
65adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
74, 6ltnled 11406 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → (1 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 1))
83, 7mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 1 < 𝐴)
9 1red 11260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
105adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
111a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
12 0lt1 11783 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
14 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
1511, 9, 10, 13, 14lttrd 11420 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
1610, 15elrpd 13072 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
179, 10, 16, 14ltmul2dd 13131 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐴))
185recnd 11287 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1918mulridd 11276 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
2019adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
2118sqvald 14180 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
2221eqcomd 2741 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
2322adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
2420, 23breq12d 5161 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ((𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐴) ↔ 𝐴 < (𝐴↑2)))
2517, 24mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 < (𝐴↑2))
268, 25syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 < (𝐴↑2))
2726adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 < (𝐴↑2))
28 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴)
295resqcld 14162 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3029adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
315adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3230, 31lenltd 11405 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (𝐴↑2)))
3328, 32mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → ¬ 𝐴 < (𝐴↑2))
3433adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → ¬ 𝐴 < (𝐴↑2))
3527, 34condan 818 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ 1)
36 1red 11260 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
3735, 36syldan 591 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
3831sqge0d 14174 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴↑2))
392, 30, 31, 38, 28letrd 11416 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
402, 37, 31, 39, 35eliccd 45457 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]1))
4140ex 412 . 2 (𝜑 → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴𝐴 ∈ (0[,]1)))
42 unitssre 13536 . . . . . . 7 (0[,]1) ⊆ ℝ
4342sseli 3991 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
44 1red 11260 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,]1) → 1 ∈ ℝ)
45 0xr 11306 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
4645a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,]1) → 0 ∈ ℝ*)
4744rexrd 11309 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,]1) → 1 ∈ ℝ*)
48 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ∈ (0[,]1))
4946, 47, 48iccgelbd 45496 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝐴)
5046, 47, 48iccleubd 45501 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ≤ 1)
5143, 44, 43, 49, 50lemul2ad 12206 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]1) → (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐴 · 1))
5251adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐴 · 1))
5322adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
5419adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
5553, 54breq12d 5161 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (0[,]1)) → ((𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐴 · 1) ↔ (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
5652, 55mpbid 232 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴)
5756ex 412 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (0[,]1) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
5841, 57impbid 212 1 (𝜑 → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴𝐴 ∈ (0[,]1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  2c2 12319  [,]cicc 13387  cexp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-icc 13391  df-seq 14040  df-exp 14100
This theorem is referenced by:  smfmullem1  46747
  Copyright terms: Public domain W3C validator