Theorem sqrlearg 44345

Description: The square compared with its argument. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqrlearg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sqrlearg	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ (0[,]1)))

Proof of Theorem sqrlearg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11218	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
3		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → ¬ 𝐴 ≤ 1)
4		1red 11217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
5		sqrlearg.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	4, 6	ltnled 11363	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → (1 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 1))
8	3, 7	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 1 < 𝐴)
9		1red 11217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
10	5	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
11	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
12		0lt1 11738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
14		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
15	11, 9, 10, 13, 14	lttrd 11377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
16	10, 15	elrpd 13015	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
17	9, 10, 16, 14	ltmul2dd 13074	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐴))
18	5	recnd 11244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	mulridd 11233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
21	18	sqvald 14110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
22	21	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
24	20, 23	breq12d 5161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ((𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐴) ↔ 𝐴 < (𝐴↑2)))
25	17, 24	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 < (𝐴↑2))
26	8, 25	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 < (𝐴↑2))
27	26	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 < (𝐴↑2))
28		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴)
29	5	resqcld 14092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
30	29	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
31	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
32	30, 31	lenltd 11362	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (𝐴↑2)))
33	28, 32	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → ¬ 𝐴 < (𝐴↑2))
34	33	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → ¬ 𝐴 < (𝐴↑2))
35	27, 34	condan 816	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ 1)
36		1red 11217	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
37	35, 36	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
38	31	sqge0d 14104	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴↑2))
39	2, 30, 31, 38, 28	letrd 11373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
40	2, 37, 31, 39, 35	eliccd 44296	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]1))
41	40	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴 → 𝐴 ∈ (0[,]1)))
42		unitssre 13478	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
43	42	sseli 3978	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
44		1red 11217	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 1 ∈ ℝ)
45		0xr 11263	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
46	45	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 0 ∈ ℝ*)
47	44	rexrd 11266	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 1 ∈ ℝ*)
48		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ∈ (0[,]1))
49	46, 47, 48	iccgelbd 44335	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝐴)
50	46, 47, 48	iccleubd 44340	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ≤ 1)
51	43, 44, 43, 49, 50	lemul2ad 12156	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐴 · 1))
52	51	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐴 · 1))
53	22	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
54	19	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
55	53, 54	breq12d 5161	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (0[,]1)) → ((𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐴 · 1) ↔ (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
56	52, 55	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴)
57	56	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (0[,]1) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
58	41, 57	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ (0[,]1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   · cmul 11117  ℝ^*cxr 11249   < clt 11250   ≤ cle 11251  2c2 12269  [,]cicc 13329  ↑cexp 14029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-icc 13333  df-seq 13969  df-exp 14030

This theorem is referenced by:  smfmullem1  45586