Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqrlearg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrlearg 40698
Description: The square compared with its argument. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
sqrlearg.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
sqrlearg (𝜑 → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴𝐴 ∈ (0[,]1)))

Proof of Theorem sqrlearg
StepHypRef Expression
1 0re 10380 . . . . 5 0 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
3 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → ¬ 𝐴 ≤ 1)
4 1red 10379 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
5 sqrlearg.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
65adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
74, 6ltnled 10525 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → (1 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 1))
83, 7mpbird 249 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 1 < 𝐴)
9 1red 10379 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
105adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
111a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
12 0lt1 10899 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
14 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
1511, 9, 10, 13, 14lttrd 10539 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
1610, 15elrpd 12182 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
179, 10, 16, 14ltmul2dd 12241 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐴))
185recnd 10407 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1918mulid1d 10396 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
2019adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
2118sqvald 13328 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
2221eqcomd 2784 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
2322adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
2420, 23breq12d 4901 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ((𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐴) ↔ 𝐴 < (𝐴↑2)))
2517, 24mpbid 224 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 < (𝐴↑2))
268, 25syldan 585 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 < (𝐴↑2))
2726adantlr 705 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 < (𝐴↑2))
28 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴)
295resqcld 13360 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3029adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
315adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3230, 31lenltd 10524 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (𝐴↑2)))
3328, 32mpbid 224 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → ¬ 𝐴 < (𝐴↑2))
3433adantr 474 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → ¬ 𝐴 < (𝐴↑2))
3527, 34condan 808 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ 1)
36 1red 10379 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
3735, 36syldan 585 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
3831sqge0d 13361 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴↑2))
392, 30, 31, 38, 28letrd 10535 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
402, 37, 31, 39, 35eliccd 40648 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]1))
4140ex 403 . 2 (𝜑 → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴𝐴 ∈ (0[,]1)))
42 unitssre 12640 . . . . . . 7 (0[,]1) ⊆ ℝ
4342sseli 3817 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
44 1red 10379 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,]1) → 1 ∈ ℝ)
45 0xr 10425 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
4645a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,]1) → 0 ∈ ℝ*)
4744rexrd 10428 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,]1) → 1 ∈ ℝ*)
48 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ∈ (0[,]1))
4946, 47, 48iccgelbd 40688 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝐴)
5046, 47, 48iccleubd 40693 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ≤ 1)
5143, 44, 43, 49, 50lemul2ad 11320 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]1) → (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐴 · 1))
5251adantl 475 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐴 · 1))
5322adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
5419adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
5553, 54breq12d 4901 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (0[,]1)) → ((𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐴 · 1) ↔ (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
5652, 55mpbid 224 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴)
5756ex 403 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (0[,]1) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
5841, 57impbid 204 1 (𝜑 → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴𝐴 ∈ (0[,]1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107   class class class wbr 4888  (class class class)co 6924  cr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   · cmul 10279  *cxr 10412   < clt 10413  cle 10414  2c2 11434  [,]cicc 12494  cexp 13182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-rp 12142  df-icc 12498  df-seq 13124  df-exp 13183
This theorem is referenced by:  smfmullem1  41935
  Copyright terms: Public domain W3C validator