Theorem sqrlearg 46093

Description: The square compared with its argument. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqrlearg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sqrlearg	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ (0[,]1)))

Proof of Theorem sqrlearg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11180	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
3		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → ¬ 𝐴 ≤ 1)
4		1red 11179	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
5		sqrlearg.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	4, 6	ltnled 11327	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → (1 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 1))
8	3, 7	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 1 < 𝐴)
9		1red 11179	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
10	5	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
11	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
12		0lt1 11706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
14		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
15	11, 9, 10, 13, 14	lttrd 11341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
16	10, 15	elrpd 13031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
17	9, 10, 16, 14	ltmul2dd 13090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐴))
18	5	recnd 11207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	mulridd 11196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
20	19	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
21	18	sqvald 14153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
22	21	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
23	22	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
24	20, 23	breq12d 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ((𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐴) ↔ 𝐴 < (𝐴↑2)))
25	17, 24	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 < (𝐴↑2))
26	8, 25	syldan 600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 < (𝐴↑2))
27	26	adantlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 < (𝐴↑2))
28		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴)
29	5	resqcld 14135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
30	29	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
31	5	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
32	30, 31	lenltd 11326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (𝐴↑2)))
33	28, 32	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → ¬ 𝐴 < (𝐴↑2))
34	33	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → ¬ 𝐴 < (𝐴↑2))
35	27, 34	condan 827	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ 1)
36		1red 11179	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
37	35, 36	syldan 600	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
38	31	sqge0d 14147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴↑2))
39	2, 30, 31, 38, 28	letrd 11337	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
40	2, 37, 31, 39, 35	eliccd 46044	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]1))
41	40	ex 416	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴 → 𝐴 ∈ (0[,]1)))
42		unitssre 13500	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
43	42	sseli 3932	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
44		1red 11179	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 1 ∈ ℝ)
45		0xr 11226	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
46	45	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 0 ∈ ℝ*)
47	44	rexrd 11229	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 1 ∈ ℝ*)
48		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ∈ (0[,]1))
49	46, 47, 48	iccgelbd 46083	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝐴)
50	46, 47, 48	iccleubd 46088	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ≤ 1)
51	43, 44, 43, 49, 50	lemul2ad 12129	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐴 · 1))
52	51	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐴 · 1))
53	22	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
54	19	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
55	53, 54	breq12d 5112	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (0[,]1)) → ((𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐴 · 1) ↔ (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
56	52, 55	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴)
57	56	ex 416	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (0[,]1) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
58	41, 57	impbid 214	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ (0[,]1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   · cmul 11075  ℝ^*cxr 11212   < clt 11213   ≤ cle 11214  2c2 12269  [,]cicc 13349  ↑cexp 14071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-icc 13353  df-seq 14012  df-exp 14072

This theorem is referenced by:  smfmullem1  47329