Theorem sqrlearg 44851

Description: The square compared with its argument. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqrlearg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sqrlearg	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ (0[,]1)))

Proof of Theorem sqrlearg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11232	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
3		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → ¬ 𝐴 ≤ 1)
4		1red 11231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
5		sqrlearg.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	4, 6	ltnled 11377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → (1 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 1))
8	3, 7	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 1 < 𝐴)
9		1red 11231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
10	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
11	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
12		0lt1 11752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
14		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
15	11, 9, 10, 13, 14	lttrd 11391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
16	10, 15	elrpd 13031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
17	9, 10, 16, 14	ltmul2dd 13090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐴))
18	5	recnd 11258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	mulridd 11247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
21	18	sqvald 14125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
22	21	eqcomd 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
24	20, 23	breq12d 5155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ((𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐴) ↔ 𝐴 < (𝐴↑2)))
25	17, 24	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 < (𝐴↑2))
26	8, 25	syldan 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 < (𝐴↑2))
27	26	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 < (𝐴↑2))
28		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴)
29	5	resqcld 14107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
31	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
32	30, 31	lenltd 11376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (𝐴↑2)))
33	28, 32	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → ¬ 𝐴 < (𝐴↑2))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → ¬ 𝐴 < (𝐴↑2))
35	27, 34	condan 817	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ 1)
36		1red 11231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
37	35, 36	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
38	31	sqge0d 14119	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴↑2))
39	2, 30, 31, 38, 28	letrd 11387	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
40	2, 37, 31, 39, 35	eliccd 44802	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]1))
41	40	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴 → 𝐴 ∈ (0[,]1)))
42		unitssre 13494	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
43	42	sseli 3974	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
44		1red 11231	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 1 ∈ ℝ)
45		0xr 11277	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
46	45	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 0 ∈ ℝ*)
47	44	rexrd 11280	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 1 ∈ ℝ*)
48		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ∈ (0[,]1))
49	46, 47, 48	iccgelbd 44841	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝐴)
50	46, 47, 48	iccleubd 44846	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ≤ 1)
51	43, 44, 43, 49, 50	lemul2ad 12170	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐴 · 1))
52	51	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐴 · 1))
53	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
54	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
55	53, 54	breq12d 5155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (0[,]1)) → ((𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐴 · 1) ↔ (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
56	52, 55	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴)
57	56	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (0[,]1) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
58	41, 57	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ (0[,]1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   · cmul 11129  ℝ^*cxr 11263   < clt 11264   ≤ cle 11265  2c2 12283  [,]cicc 13345  ↑cexp 14044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-icc 13349  df-seq 13985  df-exp 14045

This theorem is referenced by:  smfmullem1  46092