Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqrlearg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrlearg 43798
Description: The square compared with its argument. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
sqrlearg.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
Assertion
Ref Expression
sqrlearg (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด โ†” ๐ด โˆˆ (0[,]1)))

Proof of Theorem sqrlearg
StepHypRef Expression
1 0re 11158 . . . . 5 0 โˆˆ โ„
21a1i 11 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
3 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ยฌ ๐ด โ‰ค 1)
4 1red 11157 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ด โ‰ค 1) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
5 sqrlearg.1 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
65adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
74, 6ltnled 11303 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (1 < ๐ด โ†” ยฌ ๐ด โ‰ค 1))
83, 7mpbird 257 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ด โ‰ค 1) โ†’ 1 < ๐ด)
9 1red 11157 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
105adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
111a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
12 0lt1 11678 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 < 1)
14 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 1 < ๐ด)
1511, 9, 10, 13, 14lttrd 11317 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด)
1610, 15elrpd 12955 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
179, 10, 16, 14ltmul2dd 13014 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ด))
185recnd 11184 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1918mulid1d 11173 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
2019adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
2118sqvald 14049 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) = (๐ด ยท ๐ด))
2221eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ด) = (๐ดโ†‘2))
2322adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) = (๐ดโ†‘2))
2420, 23breq12d 5119 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ด) โ†” ๐ด < (๐ดโ†‘2)))
2517, 24mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ๐ด < (๐ดโ†‘2))
268, 25syldan 592 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ๐ด < (๐ดโ†‘2))
2726adantlr 714 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด) โˆง ยฌ ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ๐ด < (๐ดโ†‘2))
28 simpr 486 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด)
295resqcld 14031 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
3029adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
315adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3230, 31lenltd 11302 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด โ†” ยฌ ๐ด < (๐ดโ†‘2)))
3328, 32mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด) โ†’ ยฌ ๐ด < (๐ดโ†‘2))
3433adantr 482 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด) โˆง ยฌ ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ยฌ ๐ด < (๐ดโ†‘2))
3527, 34condan 817 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰ค 1)
36 1red 11157 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
3735, 36syldan 592 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
3831sqge0d 14043 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘2))
392, 30, 31, 38, 28letrd 11313 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
402, 37, 31, 39, 35eliccd 43749 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ (0[,]1))
4140ex 414 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด โ†’ ๐ด โˆˆ (0[,]1)))
42 unitssre 13417 . . . . . . 7 (0[,]1) โŠ† โ„
4342sseli 3941 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
44 1red 11157 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0[,]1) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
45 0xr 11203 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„*
4645a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0[,]1) โ†’ 0 โˆˆ โ„*)
4744rexrd 11206 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0[,]1) โ†’ 1 โˆˆ โ„*)
48 id 22 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐ด โˆˆ (0[,]1))
4946, 47, 48iccgelbd 43788 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0[,]1) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
5046, 47, 48iccleubd 43793 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐ด โ‰ค 1)
5143, 44, 43, 49, 50lemul2ad 12096 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0[,]1) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โ‰ค (๐ด ยท 1))
5251adantl 483 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โ‰ค (๐ด ยท 1))
5322adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) = (๐ดโ†‘2))
5419adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
5553, 54breq12d 5119 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) โ‰ค (๐ด ยท 1) โ†” (๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด))
5652, 55mpbid 231 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด)
5756ex 414 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ (0[,]1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด))
5841, 57impbid 211 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด โ†” ๐ด โˆˆ (0[,]1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„cr 11051  0cc0 11052  1c1 11053   ยท cmul 11057  โ„*cxr 11189   < clt 11190   โ‰ค cle 11191  2c2 12209  [,]cicc 13268  โ†‘cexp 13968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-icc 13272  df-seq 13908  df-exp 13969
This theorem is referenced by:  smfmullem1  45039
  Copyright terms: Public domain W3C validator