Theorem sqrlearg 45549

Description: The square compared with its argument. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqrlearg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sqrlearg	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ (0[,]1)))

Proof of Theorem sqrlearg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11242	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
3		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → ¬ 𝐴 ≤ 1)
4		1red 11241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
5		sqrlearg.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	4, 6	ltnled 11387	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → (1 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 1))
8	3, 7	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 1 < 𝐴)
9		1red 11241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
10	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
11	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
12		0lt1 11764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
14		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
15	11, 9, 10, 13, 14	lttrd 11401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
16	10, 15	elrpd 13053	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
17	9, 10, 16, 14	ltmul2dd 13112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐴))
18	5	recnd 11268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	mulridd 11257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
21	18	sqvald 14166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
22	21	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
24	20, 23	breq12d 5137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ((𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐴) ↔ 𝐴 < (𝐴↑2)))
25	17, 24	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 < (𝐴↑2))
26	8, 25	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 < (𝐴↑2))
27	26	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 < (𝐴↑2))
28		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴)
29	5	resqcld 14148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
31	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
32	30, 31	lenltd 11386	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (𝐴↑2)))
33	28, 32	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → ¬ 𝐴 < (𝐴↑2))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → ¬ 𝐴 < (𝐴↑2))
35	27, 34	condan 817	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ 1)
36		1red 11241	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
37	35, 36	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
38	31	sqge0d 14160	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴↑2))
39	2, 30, 31, 38, 28	letrd 11397	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
40	2, 37, 31, 39, 35	eliccd 45500	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]1))
41	40	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴 → 𝐴 ∈ (0[,]1)))
42		unitssre 13521	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
43	42	sseli 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
44		1red 11241	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 1 ∈ ℝ)
45		0xr 11287	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
46	45	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 0 ∈ ℝ*)
47	44	rexrd 11290	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 1 ∈ ℝ*)
48		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ∈ (0[,]1))
49	46, 47, 48	iccgelbd 45539	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝐴)
50	46, 47, 48	iccleubd 45544	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ≤ 1)
51	43, 44, 43, 49, 50	lemul2ad 12187	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐴 · 1))
52	51	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐴 · 1))
53	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
54	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
55	53, 54	breq12d 5137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (0[,]1)) → ((𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐴 · 1) ↔ (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
56	52, 55	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴)
57	56	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (0[,]1) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
58	41, 57	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ (0[,]1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   · cmul 11139  ℝ^*cxr 11273   < clt 11274   ≤ cle 11275  2c2 12300  [,]cicc 13370  ↑cexp 14084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-icc 13374  df-seq 14025  df-exp 14085

This theorem is referenced by:  smfmullem1  46787