Theorem igamgam 27213

Description: Value of the inverse Gamma function in terms of the Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
igamgam	⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (1/Γ‘𝐴) = (1 / (Γ‘𝐴)))

Proof of Theorem igamgam

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3915	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)))
2		igamval 27211	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1/Γ‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))
3		iffalse 4496	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))) = (1 / (Γ‘𝐴)))
4	2, 3	sylan9eq 2818	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)) → (1/Γ‘𝐴) = (1 / (Γ‘𝐴)))
5	1, 4	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (1/Γ‘𝐴) = (1 / (Γ‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∖ cdif 3902  ifcif 4487  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  0cc0 11095  1c1 11096   / cdiv 11866  ℕcn 12228  ℤcz 12586  Γcgam 27181  1/Γcigam 27182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-mulcl 11157  ax-i2m1 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7413  df-igam 27185

This theorem is referenced by:  igamlgam  27214  gamigam  27217