MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  igamgam Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem igamgam 26344
Description: Value of the inverse Gamma function in terms of the Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
igamgam (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (1/Γ‘𝐴) = (1 / (Γ‘𝐴)))

Proof of Theorem igamgam
StepHypRef Expression
1 eldif 3918 . 2 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)))
2 igamval 26342 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (1/Γ‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))
3 iffalse 4493 . . 3 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))) = (1 / (Γ‘𝐴)))
42, 3sylan9eq 2796 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)) → (1/Γ‘𝐴) = (1 / (Γ‘𝐴)))
51, 4sylbi 216 1 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (1/Γ‘𝐴) = (1 / (Γ‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cdif 3905  ifcif 4484  cfv 6493  (class class class)co 7351  cc 11007  0cc0 11009  1c1 11010   / cdiv 11770  cn 12111  cz 12457  Γcgam 26312  1/Γcigam 26313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-mulcl 11071  ax-i2m1 11077
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fv 6501  df-ov 7354  df-igam 26316
This theorem is referenced by:  igamlgam  26345  gamigam  26348
  Copyright terms: Public domain W3C validator