Theorem igamgam 27110

Description: Value of the inverse Gamma function in terms of the Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
igamgam	⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (1/Γ‘𝐴) = (1 / (Γ‘𝐴)))

Proof of Theorem igamgam

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3914	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)))
2		igamval 27108	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1/Γ‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))
3		iffalse 4489	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))) = (1 / (Γ‘𝐴)))
4	2, 3	sylan9eq 2817	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)) → (1/Γ‘𝐴) = (1 / (Γ‘𝐴)))
5	1, 4	sylbi 219	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (1/Γ‘𝐴) = (1 / (Γ‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ∖ cdif 3901  ifcif 4480  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  0cc0 11073  1c1 11074   / cdiv 11844  ℕcn 12210  ℤcz 12568  Γcgam 27078  1/Γcigam 27079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-mulcl 11135  ax-i2m1 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fv 6529  df-ov 7399  df-igam 27082

This theorem is referenced by:  igamlgam  27111  gamigam  27114