Theorem igamgam 26966

Description: Value of the inverse Gamma function in terms of the Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
igamgam	⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (1/Γ‘𝐴) = (1 / (Γ‘𝐴)))

Proof of Theorem igamgam

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3927	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)))
2		igamval 26964	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1/Γ‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))
3		iffalse 4500	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))) = (1 / (Γ‘𝐴)))
4	2, 3	sylan9eq 2785	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)) → (1/Γ‘𝐴) = (1 / (Γ‘𝐴)))
5	1, 4	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (1/Γ‘𝐴) = (1 / (Γ‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3914  ifcif 4491  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   / cdiv 11842  ℕcn 12193  ℤcz 12536  Γcgam 26934  1/Γcigam 26935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-mulcl 11137  ax-i2m1 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-ov 7393  df-igam 26938

This theorem is referenced by:  igamlgam  26967  gamigam  26970