Theorem igamval 27356

Description: Value of the inverse Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
igamval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1/Γ‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))

Proof of Theorem igamval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2849	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)))
2		fveq2 6877	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (Γ‘𝑥) = (Γ‘𝐴))
3	2	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1 / (Γ‘𝑥)) = (1 / (Γ‘𝐴)))
4	1, 3	ifbieq2d 4509	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝑥))) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))
5		df-igam 27330	. 2 ⊢ 1/Γ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑥 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝑥))))
6		c0ex 11281	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
7		ovex 7445	. . 3 ⊢ (1 / (Γ‘𝐴)) ∈ V
8	6, 7	ifex 4533	. 2 ⊢ if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))) ∈ V
9	4, 5, 8	fvmpt 6985	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1/Γ‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896  ifcif 4482  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   / cdiv 11954  ℕcn 12316  ℤcz 12674  Γcgam 27326  1/Γcigam 27327

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-mulcl 11243  ax-i2m1 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fv 6539  df-ov 7415  df-igam 27330

This theorem is used by:  igamz  27357  igamgam  27358  igamcl  27361