Theorem igamval 26929

Description: Value of the inverse Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
igamval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1/Γ‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))

Proof of Theorem igamval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2815	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)))
2		fveq2 6884	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (Γ‘𝑥) = (Γ‘𝐴))
3	2	oveq2d 7420	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1 / (Γ‘𝑥)) = (1 / (Γ‘𝐴)))
4	1, 3	ifbieq2d 4549	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝑥))) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))
5		df-igam 26903	. 2 ⊢ 1/Γ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑥 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝑥))))
6		c0ex 11209	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
7		ovex 7437	. . 3 ⊢ (1 / (Γ‘𝐴)) ∈ V
8	6, 7	ifex 4573	. 2 ⊢ if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))) ∈ V
9	4, 5, 8	fvmpt 6991	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1/Γ‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∖ cdif 3940  ifcif 4523  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   / cdiv 11872  ℕcn 12213  ℤcz 12559  Γcgam 26899  1/Γcigam 26900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-mulcl 11171  ax-i2m1 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7407  df-igam 26903

This theorem is referenced by:  igamz  26930  igamgam  26931  igamcl  26934