Theorem igamval 27013

Description: Value of the inverse Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
igamval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1/Γ‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))

Proof of Theorem igamval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2824	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)))
2		fveq2 6834	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (Γ‘𝑥) = (Γ‘𝐴))
3	2	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1 / (Γ‘𝑥)) = (1 / (Γ‘𝐴)))
4	1, 3	ifbieq2d 4506	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝑥))) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))
5		df-igam 26987	. 2 ⊢ 1/Γ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑥 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝑥))))
6		c0ex 11126	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
7		ovex 7391	. . 3 ⊢ (1 / (Γ‘𝐴)) ∈ V
8	6, 7	ifex 4530	. 2 ⊢ if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))) ∈ V
9	4, 5, 8	fvmpt 6941	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1/Γ‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3898  ifcif 4479  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   / cdiv 11794  ℕcn 12145  ℤcz 12488  Γcgam 26983  1/Γcigam 26984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-mulcl 11088  ax-i2m1 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7361  df-igam 26987

This theorem is referenced by:  igamz  27014  igamgam  27015  igamcl  27018