Theorem igamval 27025

Description: Value of the inverse Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
igamval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1/Γ‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))

Proof of Theorem igamval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2825	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)))
2		fveq2 6842	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (Γ‘𝑥) = (Γ‘𝐴))
3	2	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1 / (Γ‘𝑥)) = (1 / (Γ‘𝐴)))
4	1, 3	ifbieq2d 4508	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝑥))) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))
5		df-igam 26999	. 2 ⊢ 1/Γ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑥 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝑥))))
6		c0ex 11138	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
7		ovex 7401	. . 3 ⊢ (1 / (Γ‘𝐴)) ∈ V
8	6, 7	ifex 4532	. 2 ⊢ if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))) ∈ V
9	4, 5, 8	fvmpt 6949	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1/Γ‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3900  ifcif 4481  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   / cdiv 11806  ℕcn 12157  ℤcz 12500  Γcgam 26995  1/Γcigam 26996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-mulcl 11100  ax-i2m1 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7371  df-igam 26999

This theorem is referenced by:  igamz  27026  igamgam  27027  igamcl  27030