Theorem igamval 26973

Description: Value of the inverse Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
igamval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1/Γ‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))

Proof of Theorem igamval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2816	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)))
2		fveq2 6826	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (Γ‘𝑥) = (Γ‘𝐴))
3	2	oveq2d 7369	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1 / (Γ‘𝑥)) = (1 / (Γ‘𝐴)))
4	1, 3	ifbieq2d 4505	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝑥))) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))
5		df-igam 26947	. 2 ⊢ 1/Γ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑥 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝑥))))
6		c0ex 11128	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
7		ovex 7386	. . 3 ⊢ (1 / (Γ‘𝐴)) ∈ V
8	6, 7	ifex 4529	. 2 ⊢ if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))) ∈ V
9	4, 5, 8	fvmpt 6934	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1/Γ‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3902  ifcif 4478  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   / cdiv 11795  ℕcn 12146  ℤcz 12489  Γcgam 26943  1/Γcigam 26944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-mulcl 11090  ax-i2m1 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-ov 7356  df-igam 26947

This theorem is referenced by:  igamz  26974  igamgam  26975  igamcl  26978