MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  igamz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem igamz 25552
Description: Value of the inverse Gamma function on nonpositive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
igamz (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → (1/Γ‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem igamz
StepHypRef Expression
1 eldifi 4100 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
21zcnd 12076 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 igamval 25551 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (1/Γ‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))
42, 3syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → (1/Γ‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))
5 iftrue 4469 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))) = 0)
64, 5eqtrd 2853 1 (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → (1/Γ‘𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cdif 3930  ifcif 4463  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   / cdiv 11285  cn 11626  cz 11969  Γcgam 25521  1/Γcigam 25522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-mulcl 10587  ax-i2m1 10593
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-ov 7148  df-neg 10861  df-z 11970  df-igam 25525
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator