Theorem igamz 27018

Description: Value of the inverse Gamma function on nonpositive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
igamz	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → (1/Γ‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem igamz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4084	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12601	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		igamval 27017	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1/Γ‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → (1/Γ‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))
5		iftrue 4486	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))) = 0)
6	4, 5	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → (1/Γ‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3899  ifcif 4480  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  0cc0 11030  1c1 11031   / cdiv 11798  ℕcn 12149  ℤcz 12492  Γcgam 26987  1/Γcigam 26988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-mulcl 11092  ax-i2m1 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-ov 7363  df-neg 11371  df-z 12493  df-igam 26991

This theorem is referenced by: (None)