Theorem igamz 27008

Description: Value of the inverse Gamma function on nonpositive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
igamz	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → (1/Γ‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem igamz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4106	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12696	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		igamval 27007	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1/Γ‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → (1/Γ‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))
5		iftrue 4506	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))) = 0)
6	4, 5	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → (1/Γ‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3923  ifcif 4500  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   / cdiv 11892  ℕcn 12238  ℤcz 12586  Γcgam 26977  1/Γcigam 26978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-mulcl 11189  ax-i2m1 11195

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fv 6538  df-ov 7406  df-neg 11467  df-z 12587  df-igam 26981

This theorem is referenced by: (None)