Theorem igamz 25237

Description: Value of the inverse Gamma function on nonpositive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
igamz	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → (1/Γ‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem igamz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3955	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 11840	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		igamval 25236	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1/Γ‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → (1/Γ‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))
5		iftrue 4313	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))) = 0)
6	4, 5	eqtrd 2814	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → (1/Γ‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3789  ifcif 4307  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ℂcc 10272  0cc0 10274  1c1 10275   / cdiv 11035  ℕcn 11379  ℤcz 11733  Γcgam 25206  1/Γcigam 25207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pr 5140  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-mulcl 10336  ax-i2m1 10342

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fv 6145  df-ov 6927  df-neg 10611  df-z 11734  df-igam 25210

This theorem is referenced by: (None)