Theorem igamz 26958

Description: Value of the inverse Gamma function on nonpositive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
igamz	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → (1/Γ‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem igamz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4094	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12639	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		igamval 26957	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1/Γ‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → (1/Γ‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))))
5		iftrue 4494	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → if(𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ), 0, (1 / (Γ‘𝐴))) = 0)
6	4, 5	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → (1/Γ‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3911  ifcif 4488  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069   / cdiv 11835  ℕcn 12186  ℤcz 12529  Γcgam 26927  1/Γcigam 26928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-mulcl 11130  ax-i2m1 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-ov 7390  df-neg 11408  df-z 12530  df-igam 26931

This theorem is referenced by: (None)