Theorem intpreima 7058

Description: Preimage of an intersection. (Contributed by FL, 28-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
intpreima	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝐹 “ ∩ 𝐴) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem intpreima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intiin 5017	. . 3 ⊢ ∩ 𝐴 = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥
2	1	imaeq2i 6048	. 2 ⊢ (◡𝐹 “ ∩ 𝐴) = (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥)
3		iinpreima 7057	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝑥))
4	2, 3	eqtrid 2807	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝐹 “ ∩ 𝐴) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ≠ wne 2955  ∅c0 4278  ∩ cint 4906  ∩ ciin 4951  ^◡ccnv 5646   “ cima 5650  Fun wfun 6521

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-fv 6535

This theorem is used by:  subbascn  23533