Theorem intpreima 7066

Description: Preimage of an intersection. (Contributed by FL, 28-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
intpreima	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝐹 “ ∩ 𝐴) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem intpreima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intiin 5022	. . 3 ⊢ ∩ 𝐴 = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥
2	1	imaeq2i 6058	. 2 ⊢ (◡𝐹 “ ∩ 𝐴) = (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥)
3		iinpreima 7065	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝑥))
4	2, 3	eqtrid 2809	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝐹 “ ∩ 𝐴) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ≠ wne 2957  ∅c0 4282  ∩ cint 4910  ∩ ciin 4955  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  Fun wfun 6531

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-fv 6545

This theorem is used by:  subbascn  23480