Theorem intpreima 7065

Description: Preimage of an intersection. (Contributed by FL, 28-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
intpreima	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝐹 “ ∩ 𝐴) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem intpreima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intiin 5055	. . 3 ⊢ ∩ 𝐴 = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥
2	1	imaeq2i 6051	. 2 ⊢ (◡𝐹 “ ∩ 𝐴) = (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥)
3		iinpreima 7064	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝑥))
4	2, 3	eqtrid 2778	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝐹 “ ∩ 𝐴) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ≠ wne 2934  ∅c0 4317  ∩ cint 4943  ∩ ciin 4991  ^◡ccnv 5668   “ cima 5672  Fun wfun 6531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-fv 6545

This theorem is referenced by:  subbascn  23113