Theorem intpreima 7015

Description: Preimage of an intersection. (Contributed by FL, 28-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
intpreima	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝐹 “ ∩ 𝐴) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem intpreima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intiin 5014	. . 3 ⊢ ∩ 𝐴 = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥
2	1	imaeq2i 6016	. 2 ⊢ (◡𝐹 “ ∩ 𝐴) = (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥)
3		iinpreima 7014	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝑥))
4	2, 3	eqtrid 2782	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝐹 “ ∩ 𝐴) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ≠ wne 2931  ∅c0 4284  ∩ cint 4901  ∩ ciin 4946  ^◡ccnv 5622   “ cima 5626  Fun wfun 6485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iin 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-fv 6499

This theorem is referenced by:  subbascn  23200