Theorem intpreima 7069

Description: Preimage of an intersection. (Contributed by FL, 28-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
intpreima	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝐹 “ ∩ 𝐴) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem intpreima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intiin 5029	. . 3 ⊢ ∩ 𝐴 = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥
2	1	imaeq2i 6064	. 2 ⊢ (◡𝐹 “ ∩ 𝐴) = (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥)
3		iinpreima 7068	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝑥))
4	2, 3	eqtrid 2817	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝐹 “ ∩ 𝐴) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ≠ wne 2965  ∅c0 4294  ∩ cint 4917  ∩ ciin 4962  ^◡ccnv 5664   “ cima 5668  Fun wfun 6534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5408

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rab 3424  df-v 3464  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-id 5560  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-fv 6548

This theorem is referenced by:  subbascn  23394