MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  intpreima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem intpreima 7062
Description: Preimage of an intersection. (Contributed by FL, 28-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
intpreima ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝐹 𝐴) = 𝑥𝐴 (𝐹𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem intpreima
StepHypRef Expression
1 intiin 5053 . . 3 𝐴 = 𝑥𝐴 𝑥
21imaeq2i 6048 . 2 (𝐹 𝐴) = (𝐹 𝑥𝐴 𝑥)
3 iinpreima 7061 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝐹 𝑥𝐴 𝑥) = 𝑥𝐴 (𝐹𝑥))
42, 3eqtrid 2776 1 ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝐹 𝐴) = 𝑥𝐴 (𝐹𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wne 2932  c0 4315   cint 4941   ciin 4989  ccnv 5666  cima 5670  Fun wfun 6528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-fv 6542
This theorem is referenced by:  subbascn  23082
  Copyright terms: Public domain W3C validator