Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iinpreima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iinpreima 6832
 Description: Preimage of an intersection. (Contributed by FL, 16-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
iinpreima ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝐹 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑥𝐴 (𝐹𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iinpreima
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → Fun 𝐹)
2 cnvimass 5944 . . . . . . 7 (𝐹 𝑥𝐴 𝐵) ⊆ dom 𝐹
32sseli 3963 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
43adantl 484 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
5 fvex 6678 . . . . . 6 (𝐹𝑦) ∈ V
6 fvimacnvi 6817 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵)
76adantlr 713 . . . . . 6 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵)
8 eliin 4917 . . . . . . 7 ((𝐹𝑦) ∈ V → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵))
98biimpa 479 . . . . . 6 (((𝐹𝑦) ∈ V ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
105, 7, 9sylancr 589 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
11 fvimacnv 6818 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝐵𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
1211ralbidv 3197 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
1312biimpa 479 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵))
141, 4, 10, 13syl21anc 835 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵))
15 eliin 4917 . . . . 5 (𝑦 ∈ V → (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
1615elv 3500 . . . 4 (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵))
1714, 16sylibr 236 . . 3 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵))
18 simpll 765 . . . . . 6 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → Fun 𝐹)
1915biimpd 231 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V → (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
2019elv 3500 . . . . . . 7 (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵))
2120adantl 484 . . . . . 6 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵))
22 fvimacnvi 6817 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ (𝐹𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
2322ex 415 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵))
2423ralimdv 3178 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵))
2518, 21, 24sylc 65 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
265, 8ax-mp 5 . . . . 5 ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
2725, 26sylibr 236 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵)
28 r19.2zb 4441 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ≠ ∅ ↔ (∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
2928biimpi 218 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
30 cnvimass 5944 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐵) ⊆ dom 𝐹
3130sseli 3963 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
3231rexlimivw 3282 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
3329, 32syl6 35 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹))
3416, 33syl5bi 244 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹))
3534adantl 484 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹))
3635imp 409 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
37 fvimacnv 6818 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)))
3818, 36, 37syl2anc 586 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)))
3927, 38mpbid 234 . . 3 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵))
4017, 39impbida 799 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵) ↔ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)))
4140eqrdv 2819 1 ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝐹 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑥𝐴 (𝐹𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  Vcvv 3495  ∅c0 4291  ∩ ciin 4913  ◡ccnv 5549  dom cdm 5550   “ cima 5553  Fun wfun 6344  ‘cfv 6350 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pr 5322 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-fv 6358 This theorem is referenced by:  intpreima  6833
 Copyright terms: Public domain W3C validator