Theorem iinpreima 7072

Description: Preimage of an intersection. (Contributed by FL, 16-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
iinpreima	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iinpreima

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Fun 𝐹)
2		cnvimass 6200	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ⊆ dom 𝐹
3	2	sseli 3905	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
4	3	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
5		fvex 6901	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑦) ∈ V
6		fvimacnvi 7054	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
7	6	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
8		eliin 4955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ V → ((𝐹‘𝑦) ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵))
9	8	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑦) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
10	5, 7, 9	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
11		fvimacnv 7055	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
12	11	ralbidv 3185	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
13	12	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵))
14	1, 4, 10, 13	syl21anc 851	. . . 4 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵))
15		eliin 4955	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
16	15	elv 3455	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵))
17	14, 16	sylibr 237	. . 3 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵))
18		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵)) → Fun 𝐹)
19	15	biimpd 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
20	19	elv 3455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵))
21	20	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵))
22		fvimacnvi 7054	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
23	22	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵))
24	23	ralimdv 3176	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵))
25	18, 21, 24	sylc 66	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
26	5, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
27	25, 26	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
28		r19.2zb 4455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
29	28	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
30		cnvimass 6200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐵) ⊆ dom 𝐹
31	30	sseli 3905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
32	31	rexlimivw 3159	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
33	29, 32	syl6 36	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹))
34	16, 33	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹))
35	34	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹))
36	35	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
37		fvimacnv 7055	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑦) ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)))
38	18, 36, 37	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑦) ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)))
39	27, 38	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
40	17, 39	impbida 813	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵)))
41	40	eqrdv 2758	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  ∅c0 4277  ∩ ciin 4951  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650   “ cima 5653  Fun wfun 6535  ‘cfv 6541

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-fv 6549

This theorem is used by:  intpreima  7073