Theorem iinpreima 6594

Description: Preimage of an intersection. (Contributed by FL, 16-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
iinpreima	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iinpreima

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 785	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Fun 𝐹)
2		cnvimass 5726	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ⊆ dom 𝐹
3	2	sseli 3823	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
4	3	adantl 475	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
5		fvex 6446	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑦) ∈ V
6		fvimacnvi 6580	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
7	6	adantlr 708	. . . . . 6 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
8		eliin 4745	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ V → ((𝐹‘𝑦) ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵))
9	8	biimpa 470	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑦) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
10	5, 7, 9	sylancr 583	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
11		fvimacnv 6581	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
12	11	ralbidv 3195	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
13	12	biimpa 470	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵))
14	1, 4, 10, 13	syl21anc 873	. . . 4 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵))
15		vex 3417	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
16		eliin 4745	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵))
18	14, 17	sylibr 226	. . 3 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵))
19		simpll 785	. . . . . 6 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵)) → Fun 𝐹)
20	16	biimpd 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
21	15, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵))
22	21	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵))
23		fvimacnvi 6580	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
24	23	ex 403	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵))
25	24	ralimdv 3172	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵))
26	19, 22, 25	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
27	5, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
28	26, 27	sylibr 226	. . . 4 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
29		r19.2zb 4283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
30	29	biimpi 208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
31		cnvimass 5726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐵) ⊆ dom 𝐹
32	31	sseli 3823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
33	32	rexlimivw 3238	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
34	30, 33	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹))
35	17, 34	syl5bi 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹))
36	35	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹))
37	36	imp 397	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
38		fvimacnv 6581	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑦) ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)))
39	19, 37, 38	syl2anc 581	. . . 4 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑦) ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)))
40	28, 39	mpbid 224	. . 3 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
41	18, 40	impbida 837	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵)))
42	41	eqrdv 2823	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2999  ∀wral 3117  ∃wrex 3118  Vcvv 3414  ∅c0 4144  ∩ ciin 4741  ^◡ccnv 5341  dom cdm 5342   “ cima 5345  Fun wfun 6117  ‘cfv 6123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pr 5127

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-fv 6131

This theorem is referenced by:  intpreima  6595