MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iinpreima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iinpreima 7016
Description: Preimage of an intersection. (Contributed by FL, 16-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
iinpreima ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝐹 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑥𝐴 (𝐹𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iinpreima
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → Fun 𝐹)
2 cnvimass 6031 . . . . . . 7 (𝐹 𝑥𝐴 𝐵) ⊆ dom 𝐹
32sseli 3938 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
43adantl 482 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
5 fvex 6852 . . . . . 6 (𝐹𝑦) ∈ V
6 fvimacnvi 6999 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵)
76adantlr 713 . . . . . 6 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵)
8 eliin 4957 . . . . . . 7 ((𝐹𝑦) ∈ V → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵))
98biimpa 477 . . . . . 6 (((𝐹𝑦) ∈ V ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
105, 7, 9sylancr 587 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
11 fvimacnv 7000 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝐵𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
1211ralbidv 3172 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
1312biimpa 477 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵))
141, 4, 10, 13syl21anc 836 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵))
15 eliin 4957 . . . . 5 (𝑦 ∈ V → (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
1615elv 3449 . . . 4 (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵))
1714, 16sylibr 233 . . 3 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵))
18 simpll 765 . . . . . 6 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → Fun 𝐹)
1915biimpd 228 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V → (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
2019elv 3449 . . . . . . 7 (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵))
2120adantl 482 . . . . . 6 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵))
22 fvimacnvi 6999 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ (𝐹𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
2322ex 413 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵))
2423ralimdv 3164 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵))
2518, 21, 24sylc 65 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
265, 8ax-mp 5 . . . . 5 ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
2725, 26sylibr 233 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵)
28 r19.2zb 4451 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ≠ ∅ ↔ (∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
2928biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
30 cnvimass 6031 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐵) ⊆ dom 𝐹
3130sseli 3938 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
3231rexlimivw 3146 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
3329, 32syl6 35 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹))
3416, 33biimtrid 241 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹))
3534adantl 482 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹))
3635imp 407 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
37 fvimacnv 7000 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)))
3818, 36, 37syl2anc 584 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)))
3927, 38mpbid 231 . . 3 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵))
4017, 39impbida 799 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵) ↔ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)))
4140eqrdv 2735 1 ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝐹 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑥𝐴 (𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3443  c0 4280   ciin 4953  ccnv 5630  dom cdm 5631  cima 5634  Fun wfun 6487  cfv 6493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-fv 6501
This theorem is referenced by:  intpreima  7017
  Copyright terms: Public domain W3C validator