MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iinpreima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iinpreima 7069
Description: Preimage of an intersection. (Contributed by FL, 16-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
iinpreima ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝐹 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑥𝐴 (𝐹𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iinpreima
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 763 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → Fun 𝐹)
2 cnvimass 6079 . . . . . . 7 (𝐹 𝑥𝐴 𝐵) ⊆ dom 𝐹
32sseli 3977 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
43adantl 480 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
5 fvex 6903 . . . . . 6 (𝐹𝑦) ∈ V
6 fvimacnvi 7052 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵)
76adantlr 711 . . . . . 6 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵)
8 eliin 5001 . . . . . . 7 ((𝐹𝑦) ∈ V → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵))
98biimpa 475 . . . . . 6 (((𝐹𝑦) ∈ V ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
105, 7, 9sylancr 585 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
11 fvimacnv 7053 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝐵𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
1211ralbidv 3175 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
1312biimpa 475 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵))
141, 4, 10, 13syl21anc 834 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵))
15 eliin 5001 . . . . 5 (𝑦 ∈ V → (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
1615elv 3478 . . . 4 (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵))
1714, 16sylibr 233 . . 3 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵))
18 simpll 763 . . . . . 6 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → Fun 𝐹)
1915biimpd 228 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V → (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
2019elv 3478 . . . . . . 7 (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵))
2120adantl 480 . . . . . 6 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵))
22 fvimacnvi 7052 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ (𝐹𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
2322ex 411 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵))
2423ralimdv 3167 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵))
2518, 21, 24sylc 65 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
265, 8ax-mp 5 . . . . 5 ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
2725, 26sylibr 233 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵)
28 r19.2zb 4494 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ≠ ∅ ↔ (∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
2928biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
30 cnvimass 6079 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐵) ⊆ dom 𝐹
3130sseli 3977 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
3231rexlimivw 3149 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
3329, 32syl6 35 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹))
3416, 33biimtrid 241 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹))
3534adantl 480 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹))
3635imp 405 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
37 fvimacnv 7053 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)))
3818, 36, 37syl2anc 582 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)))
3927, 38mpbid 231 . . 3 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵))
4017, 39impbida 797 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵) ↔ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)))
4140eqrdv 2728 1 ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝐹 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑥𝐴 (𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3472  c0 4321   ciin 4997  ccnv 5674  dom cdm 5675  cima 5678  Fun wfun 6536  cfv 6542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-fv 6550
This theorem is referenced by:  intpreima  7070
  Copyright terms: Public domain W3C validator