MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iinpreima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iinpreima 7089
Description: Preimage of an intersection. (Contributed by FL, 16-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
iinpreima ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝐹 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑥𝐴 (𝐹𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iinpreima
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 767 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → Fun 𝐹)
2 cnvimass 6100 . . . . . . 7 (𝐹 𝑥𝐴 𝐵) ⊆ dom 𝐹
32sseli 3979 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
43adantl 481 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
5 fvex 6919 . . . . . 6 (𝐹𝑦) ∈ V
6 fvimacnvi 7072 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵)
76adantlr 715 . . . . . 6 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵)
8 eliin 4996 . . . . . . 7 ((𝐹𝑦) ∈ V → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵))
98biimpa 476 . . . . . 6 (((𝐹𝑦) ∈ V ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
105, 7, 9sylancr 587 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
11 fvimacnv 7073 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝐵𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
1211ralbidv 3178 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
1312biimpa 476 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵))
141, 4, 10, 13syl21anc 838 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵))
15 eliin 4996 . . . . 5 (𝑦 ∈ V → (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
1615elv 3485 . . . 4 (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵))
1714, 16sylibr 234 . . 3 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵))
18 simpll 767 . . . . . 6 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → Fun 𝐹)
1915biimpd 229 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V → (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
2019elv 3485 . . . . . . 7 (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵))
2120adantl 481 . . . . . 6 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵))
22 fvimacnvi 7072 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ (𝐹𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
2322ex 412 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵))
2423ralimdv 3169 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵))
2518, 21, 24sylc 65 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
265, 8ax-mp 5 . . . . 5 ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
2725, 26sylibr 234 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵)
28 r19.2zb 4496 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ≠ ∅ ↔ (∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
2928biimpi 216 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
30 cnvimass 6100 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐵) ⊆ dom 𝐹
3130sseli 3979 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
3231rexlimivw 3151 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
3329, 32syl6 35 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹))
3416, 33biimtrid 242 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹))
3534adantl 481 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹))
3635imp 406 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
37 fvimacnv 7073 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)))
3818, 36, 37syl2anc 584 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)))
3927, 38mpbid 232 . . 3 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵))
4017, 39impbida 801 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵) ↔ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)))
4140eqrdv 2735 1 ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝐹 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑥𝐴 (𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  c0 4333   ciin 4992  ccnv 5684  dom cdm 5685  cima 5688  Fun wfun 6555  cfv 6561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-fv 6569
This theorem is referenced by:  intpreima  7090
  Copyright terms: Public domain W3C validator