Theorem iinpreima 7102

Description: Preimage of an intersection. (Contributed by FL, 16-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
iinpreima	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iinpreima

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Fun 𝐹)
2		cnvimass 6111	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ⊆ dom 𝐹
3	2	sseli 4004	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
4	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
5		fvex 6933	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑦) ∈ V
6		fvimacnvi 7085	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
7	6	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
8		eliin 5020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ V → ((𝐹‘𝑦) ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵))
9	8	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑦) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
10	5, 7, 9	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
11		fvimacnv 7086	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
12	11	ralbidv 3184	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
13	12	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵))
14	1, 4, 10, 13	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵))
15		eliin 5020	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
16	15	elv 3493	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵))
17	14, 16	sylibr 234	. . 3 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵))
18		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵)) → Fun 𝐹)
19	15	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
20	19	elv 3493	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵))
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵))
22		fvimacnvi 7085	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
23	22	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵))
24	23	ralimdv 3175	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵))
25	18, 21, 24	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
26	5, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
27	25, 26	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
28		r19.2zb 4519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
29	28	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
30		cnvimass 6111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐵) ⊆ dom 𝐹
31	30	sseli 4004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
32	31	rexlimivw 3157	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
33	29, 32	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹))
34	16, 33	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹))
35	34	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹))
36	35	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
37		fvimacnv 7086	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑦) ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)))
38	18, 36, 37	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑦) ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)))
39	27, 38	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
40	17, 39	impbida 800	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵)))
41	40	eqrdv 2738	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝐹 “ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (◡𝐹 “ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488  ∅c0 4352  ∩ ciin 5016  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700   “ cima 5703  Fun wfun 6567  ‘cfv 6573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-fv 6581

This theorem is referenced by:  intpreima  7103