Theorem subbascn 23210

Description: The continuity predicate when the range is given by a subbasis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subbascn.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
subbascn.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
subbascn.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
subbascn.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
subbascn	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝐽   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem subbascn

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subbascn.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		subbascn.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
3		subbascn.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
4	1, 2, 3	tgcn 23208	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))
5		subbascn.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → 𝐵 ∈ 𝑉)
7		ssfii 9334	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ⊆ (fi‘𝐵))
8		ssralv 4004	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (fi‘𝐵) → (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽))
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽))
10		vex 3446	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
11		elfi 9328	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ∩ 𝑧))
12	10, 6, 11	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ∩ 𝑧))
13		simpr2 1197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑥 = ∩ 𝑧)
14	13	imaeq2d 6027	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ ∩ 𝑧))
15		ffun 6673	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → Fun 𝐹)
16	15	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → Fun 𝐹)
17	13, 10	eqeltrrdi 2846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → ∩ 𝑧 ∈ V)
18		intex 5291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝑧 ∈ V)
19	17, 18	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ≠ ∅)
20		intpreima 7024	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → (◡𝐹 “ ∩ 𝑧) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦))
21	16, 19, 20	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → (◡𝐹 “ ∩ 𝑧) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦))
22	14, 21	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → (◡𝐹 “ 𝑥) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦))
23		topontop 22869	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
24	1, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
25	24	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
26		simpr1 1196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
27	26	elin2d 4159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ∈ Fin)
28	26	elin1d 4158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵)
29	28	elpwid 4565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ⊆ 𝐵)
30		simpr3 1198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)
31		ssralv 4004	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽))
32	29, 30, 31	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → ∀𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)
33		iinopn 22858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)
34	25, 27, 19, 32, 33	syl13anc 1375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)
35	22, 34	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)
36	35	3exp2 1356	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → (𝑥 = ∩ 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))))
37	36	rexlimdv 3137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ∩ 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
38	12, 37	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
39	38	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
40	39	ralrimdv 3136	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
41		imaeq2 6023	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (◡𝐹 “ 𝑦) = (◡𝐹 “ 𝑥))
42	41	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
43	42	cbvralvw 3216	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)
44	40, 43	imbitrrdi 252	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽))
45	9, 44	impbid 212	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽))
46	45	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))
47	4, 46	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  ∩ cint 4904  ∩ ciin 4949  ^◡ccnv 5631   “ cima 5635  Fun wfun 6494  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  ficfi 9325  topGenctg 17369  Topctop 22849  TopOnctopon 22866   Cn ccn 23180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-1o 8407  df-2o 8408  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-fin 8899  df-fi 9326  df-topgen 17375  df-top 22850  df-topon 22867  df-bases 22902  df-cn 23183

This theorem is referenced by:  xkoccn  23575  ptrescn  23595  xkoco1cn  23613  xkoco2cn  23614  xkococn  23616  xkoinjcn  23643  ordthmeolem  23757