MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subbascn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subbascn 21837
Description: The continuity predicate when the range is given by a subbasis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subbascn.1 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
subbascn.2 (𝜑𝐵𝑉)
subbascn.3 (𝜑𝐾 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
subbascn.4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
Assertion
Ref Expression
subbascn (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝐽   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem subbascn
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subbascn.1 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 subbascn.3 . . 3 (𝜑𝐾 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
3 subbascn.4 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
41, 2, 3tgcn 21835 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
5 subbascn.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑉)
65adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐹:𝑋𝑌) → 𝐵𝑉)
7 ssfii 8859 . . . . 5 (𝐵𝑉𝐵 ⊆ (fi‘𝐵))
8 ssralv 4009 . . . . 5 (𝐵 ⊆ (fi‘𝐵) → (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
96, 7, 83syl 18 . . . 4 ((𝜑𝐹:𝑋𝑌) → (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
10 vex 3474 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
11 elfi 8853 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = 𝑧))
1210, 6, 11sylancr 590 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹:𝑋𝑌) → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = 𝑧))
13 simpr2 1192 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑥 = 𝑧)
1413imaeq2d 5902 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → (𝐹𝑥) = (𝐹 𝑧))
15 ffun 6490 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑋𝑌 → Fun 𝐹)
1615ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → Fun 𝐹)
1713, 10eqeltrrdi 2921 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ∈ V)
18 intex 5213 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑧 ∈ V)
1917, 18sylibr 237 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ≠ ∅)
20 intpreima 6811 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹𝑧 ≠ ∅) → (𝐹 𝑧) = 𝑦𝑧 (𝐹𝑦))
2116, 19, 20syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → (𝐹 𝑧) = 𝑦𝑧 (𝐹𝑦))
2214, 21eqtrd 2856 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → (𝐹𝑥) = 𝑦𝑧 (𝐹𝑦))
23 topontop 21496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
241, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ Top)
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
26 simpr1 1191 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
2726elin2d 4151 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ∈ Fin)
2826elin1d 4150 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵)
2928elpwid 4523 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧𝐵)
30 simpr3 1193 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)
31 ssralv 4009 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐵 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
3229, 30, 31sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → ∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)
33 iinopn 21485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)
3425, 27, 19, 32, 33syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)
3522, 34eqeltrd 2912 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)
36353exp2 1351 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹:𝑋𝑌) → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽))))
3736rexlimdv 3269 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹:𝑋𝑌) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
3812, 37sylbid 243 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹:𝑋𝑌) → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
3938com23 86 . . . . . 6 ((𝜑𝐹:𝑋𝑌) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
4039ralrimdv 3176 . . . . 5 ((𝜑𝐹:𝑋𝑌) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐵)(𝐹𝑥) ∈ 𝐽))
41 imaeq2 5898 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
4241eleq1d 2896 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹𝑦) ∈ 𝐽 ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽))
4342cbvralvw 3426 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(𝐹𝑦) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐵)(𝐹𝑥) ∈ 𝐽)
4440, 43syl6ibr 255 . . . 4 ((𝜑𝐹:𝑋𝑌) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
459, 44impbid 215 . . 3 ((𝜑𝐹:𝑋𝑌) → (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(𝐹𝑦) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
4645pm5.32da 582 . 2 (𝜑 → ((𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(𝐹𝑦) ∈ 𝐽) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
474, 46bitrd 282 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007  wral 3126  wrex 3127  Vcvv 3471  cin 3909  wss 3910  c0 4266  𝒫 cpw 4512   cint 4849   ciin 4893  ccnv 5527  cima 5531  Fun wfun 6322  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7130  Fincfn 8484  ficfi 8850  topGenctg 16689  Topctop 21476  TopOnctopon 21493   Cn ccn 21807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-fin 8488  df-fi 8851  df-topgen 16695  df-top 21477  df-topon 21494  df-bases 21529  df-cn 21810
This theorem is referenced by:  xkoccn  22202  ptrescn  22222  xkoco1cn  22240  xkoco2cn  22241  xkococn  22243  xkoinjcn  22270  ordthmeolem  22384
  Copyright terms: Public domain W3C validator