Theorem subbascn 23170

Description: The continuity predicate when the range is given by a subbasis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subbascn.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
subbascn.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
subbascn.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
subbascn.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
subbascn	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝐽   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem subbascn

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subbascn.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		subbascn.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
3		subbascn.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
4	1, 2, 3	tgcn 23168	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))
5		subbascn.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → 𝐵 ∈ 𝑉)
7		ssfii 9310	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ⊆ (fi‘𝐵))
8		ssralv 3999	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (fi‘𝐵) → (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽))
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽))
10		vex 3441	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
11		elfi 9304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ∩ 𝑧))
12	10, 6, 11	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ∩ 𝑧))
13		simpr2 1196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑥 = ∩ 𝑧)
14	13	imaeq2d 6013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ ∩ 𝑧))
15		ffun 6659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → Fun 𝐹)
16	15	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → Fun 𝐹)
17	13, 10	eqeltrrdi 2842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → ∩ 𝑧 ∈ V)
18		intex 5284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝑧 ∈ V)
19	17, 18	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ≠ ∅)
20		intpreima 7009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → (◡𝐹 “ ∩ 𝑧) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦))
21	16, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → (◡𝐹 “ ∩ 𝑧) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦))
22	14, 21	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → (◡𝐹 “ 𝑥) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦))
23		topontop 22829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
24	1, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
25	24	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
26		simpr1 1195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
27	26	elin2d 4154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ∈ Fin)
28	26	elin1d 4153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵)
29	28	elpwid 4558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ⊆ 𝐵)
30		simpr3 1197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)
31		ssralv 3999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽))
32	29, 30, 31	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → ∀𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)
33		iinopn 22818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)
34	25, 27, 19, 32, 33	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)
35	22, 34	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)
36	35	3exp2 1355	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → (𝑥 = ∩ 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))))
37	36	rexlimdv 3132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ∩ 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
38	12, 37	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
39	38	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
40	39	ralrimdv 3131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
41		imaeq2 6009	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (◡𝐹 “ 𝑦) = (◡𝐹 “ 𝑥))
42	41	eleq1d 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
43	42	cbvralvw 3211	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)
44	40, 43	imbitrrdi 252	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽))
45	9, 44	impbid 212	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽))
46	45	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))
47	4, 46	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  ∃wrex 3057  Vcvv 3437   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4549  ∩ cint 4897  ∩ ciin 4942  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622  Fun wfun 6480  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Fincfn 8875  ficfi 9301  topGenctg 17343  Topctop 22809  TopOnctopon 22826   Cn ccn 23140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-1o 8391  df-2o 8392  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-fin 8879  df-fi 9302  df-topgen 17349  df-top 22810  df-topon 22827  df-bases 22862  df-cn 23143

This theorem is referenced by:  xkoccn  23535  ptrescn  23555  xkoco1cn  23573  xkoco2cn  23574  xkococn  23576  xkoinjcn  23603  ordthmeolem  23717