Theorem subbascn 23605

Description: The continuity predicate when the range is given by a subbasis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subbascn.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
subbascn.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
subbascn.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
subbascn.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
subbascn	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝐽   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem subbascn

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subbascn.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		subbascn.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
3		subbascn.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
4	1, 2, 3	tgcn 23603	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))
5		subbascn.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → 𝐵 ∈ 𝑉)
7		ssfii 9441	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ⊆ (fi‘𝐵))
8		ssralv 3982	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (fi‘𝐵) → (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽))
9	6, 7, 8	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽))
10		vex 3458	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
11		elfi 9435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ∩ 𝑧))
12	10, 6, 11	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ∩ 𝑧))
13		simpr2 1214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑥 = ∩ 𝑧)
14	13	imaeq2d 6065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ ∩ 𝑧))
15		ffun 6737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → Fun 𝐹)
16	15	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → Fun 𝐹)
17	13, 10	eqeltrrdi 2873	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → ∩ 𝑧 ∈ V)
18		intex 5310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝑧 ∈ V)
19	17, 18	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ≠ ∅)
20		intpreima 7097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → (◡𝐹 “ ∩ 𝑧) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦))
21	16, 19, 20	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → (◡𝐹 “ ∩ 𝑧) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦))
22	14, 21	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → (◡𝐹 “ 𝑥) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦))
23		topontop 23264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
24	1, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
25	24	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
26		simpr1 1213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
27	26	elin2d 4105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ∈ Fin)
28	26	elin1d 4104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵)
29	28	elpwid 4569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ⊆ 𝐵)
30		simpr3 1215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)
31		ssralv 3982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽))
32	29, 30, 31	sylc 66	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → ∀𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)
33		iinopn 23253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)
34	25, 27, 19, 32, 33	syl13anc 1400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)
35	22, 34	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)
36	35	3exp2 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → (𝑥 = ∩ 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))))
37	36	rexlimdv 3165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ∩ 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
38	12, 37	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
39	38	com23 87	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
40	39	ralrimdv 3164	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
41		imaeq2 6061	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (◡𝐹 “ 𝑦) = (◡𝐹 “ 𝑥))
42	41	eleq1d 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
43	42	cbvralvw 3244	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)
44	40, 43	imbitrrdi 255	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽))
45	9, 44	impbid 215	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽))
46	45	pm5.32da 590	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))
47	4, 46	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  ∩ cint 4910  ∩ ciin 4955  ^◡ccnv 5655   “ cima 5659  Fun wfun 6555  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Fincfn 9004  ficfi 9432  topGenctg 17640  Topctop 23244  TopOnctopon 23261   Cn ccn 23575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-1o 8507  df-2o 8508  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-fin 9008  df-fi 9433  df-topgen 17646  df-top 23245  df-topon 23262  df-bases 23297  df-cn 23578

This theorem is used by:  xkoccn  23971  ptrescn  23991  xkoco1cn  24009  xkoco2cn  24010  xkococn  24012  xkoinjcn  24039  ordthmeolem  24153