MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subbascn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subbascn 23113
Description: The continuity predicate when the range is given by a subbasis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subbascn.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
subbascn.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
subbascn.3 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)))
subbascn.4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
subbascn (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐡   𝑦,𝐹   𝑦,𝐽   𝑦,𝑋   𝑦,π‘Œ   𝑦,𝐾
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem subbascn
Dummy variables π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subbascn.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2 subbascn.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)))
3 subbascn.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
41, 2, 3tgcn 23111 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (fiβ€˜π΅)(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)))
5 subbascn.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
65adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
7 ssfii 9416 . . . . 5 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 βŠ† (fiβ€˜π΅))
8 ssralv 4045 . . . . 5 (𝐡 βŠ† (fiβ€˜π΅) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (fiβ€˜π΅)(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽))
96, 7, 83syl 18 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (fiβ€˜π΅)(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽))
10 vex 3472 . . . . . . . . 9 π‘₯ ∈ V
11 elfi 9410 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ V ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ (fiβ€˜π΅) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ∩ 𝑧))
1210, 6, 11sylancr 586 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (fiβ€˜π΅) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ∩ 𝑧))
13 simpr2 1192 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) ∧ π‘₯ = ∩ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ = ∩ 𝑧)
1413imaeq2d 6053 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) ∧ π‘₯ = ∩ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) = (◑𝐹 β€œ ∩ 𝑧))
15 ffun 6714 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ Fun 𝐹)
1615ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) ∧ π‘₯ = ∩ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ Fun 𝐹)
1713, 10eqeltrrdi 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) ∧ π‘₯ = ∩ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ ∩ 𝑧 ∈ V)
18 intex 5330 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 β‰  βˆ… ↔ ∩ 𝑧 ∈ V)
1917, 18sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) ∧ π‘₯ = ∩ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ 𝑧 β‰  βˆ…)
20 intpreima 7065 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑧 β‰  βˆ…) β†’ (◑𝐹 β€œ ∩ 𝑧) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 (◑𝐹 β€œ 𝑦))
2116, 19, 20syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) ∧ π‘₯ = ∩ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ (◑𝐹 β€œ ∩ 𝑧) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 (◑𝐹 β€œ 𝑦))
2214, 21eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) ∧ π‘₯ = ∩ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 (◑𝐹 β€œ 𝑦))
23 topontop 22770 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
241, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
2524ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) ∧ π‘₯ = ∩ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
26 simpr1 1191 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) ∧ π‘₯ = ∩ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin))
2726elin2d 4194 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) ∧ π‘₯ = ∩ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
2826elin1d 4193 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) ∧ π‘₯ = ∩ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ 𝑧 ∈ 𝒫 𝐡)
2928elpwid 4606 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) ∧ π‘₯ = ∩ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ 𝑧 βŠ† 𝐡)
30 simpr3 1193 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) ∧ π‘₯ = ∩ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)
31 ssralv 4045 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 βŠ† 𝐡 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽))
3229, 30, 31sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) ∧ π‘₯ = ∩ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)
33 iinopn 22759 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ 𝑧 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)
3425, 27, 19, 32, 33syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) ∧ π‘₯ = ∩ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)
3522, 34eqeltrd 2827 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) ∧ π‘₯ = ∩ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)
36353exp2 1351 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) β†’ (π‘₯ = ∩ 𝑧 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽 β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽))))
3736rexlimdv 3147 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ∩ 𝑧 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽 β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
3812, 37sylbid 239 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (fiβ€˜π΅) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽 β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
3938com23 86 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽 β†’ (π‘₯ ∈ (fiβ€˜π΅) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
4039ralrimdv 3146 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (fiβ€˜π΅)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽))
41 imaeq2 6049 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
4241eleq1d 2812 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽 ↔ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽))
4342cbvralvw 3228 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ (fiβ€˜π΅)(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (fiβ€˜π΅)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)
4440, 43imbitrrdi 251 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (fiβ€˜π΅)(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽))
459, 44impbid 211 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (fiβ€˜π΅)(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽))
4645pm5.32da 578 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (fiβ€˜π΅)(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)))
474, 46bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  π’« cpw 4597  βˆ© cint 4943  βˆ© ciin 4991  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  Fun wfun 6531  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  ficfi 9407  topGenctg 17392  Topctop 22750  TopOnctopon 22767   Cn ccn 23083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-fin 8945  df-fi 9408  df-topgen 17398  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cn 23086
This theorem is referenced by:  xkoccn  23478  ptrescn  23498  xkoco1cn  23516  xkoco2cn  23517  xkococn  23519  xkoinjcn  23546  ordthmeolem  23660
  Copyright terms: Public domain W3C validator