Theorem subbascn 23244

Description: The continuity predicate when the range is given by a subbasis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subbascn.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
subbascn.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
subbascn.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
subbascn.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
subbascn	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝐽   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem subbascn

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subbascn.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		subbascn.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
3		subbascn.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
4	1, 2, 3	tgcn 23242	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))
5		subbascn.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
6	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → 𝐵 ∈ 𝑉)
7		ssfii 9329	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ⊆ (fi‘𝐵))
8		ssralv 3990	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (fi‘𝐵) → (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽))
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽))
10		vex 3436	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
11		elfi 9323	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ∩ 𝑧))
12	10, 6, 11	sylancr 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ∩ 𝑧))
13		simpr2 1202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑥 = ∩ 𝑧)
14	13	imaeq2d 6019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ ∩ 𝑧))
15		ffun 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → Fun 𝐹)
16	15	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → Fun 𝐹)
17	13, 10	eqeltrrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → ∩ 𝑧 ∈ V)
18		intex 5279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝑧 ∈ V)
19	17, 18	sylibr 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ≠ ∅)
20		intpreima 7018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → (◡𝐹 “ ∩ 𝑧) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦))
21	16, 19, 20	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → (◡𝐹 “ ∩ 𝑧) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦))
22	14, 21	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → (◡𝐹 “ 𝑥) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦))
23		topontop 22903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
24	1, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
25	24	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
26		simpr1 1201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
27	26	elin2d 4141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ∈ Fin)
28	26	elin1d 4140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵)
29	28	elpwid 4545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ⊆ 𝐵)
30		simpr3 1203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)
31		ssralv 3990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽))
32	29, 30, 31	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → ∀𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)
33		iinopn 22892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)
34	25, 27, 19, 32, 33	syl13anc 1380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)
35	22, 34	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)) → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)
36	35	3exp2 1361	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → (𝑥 = ∩ 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))))
37	36	rexlimdv 3139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ∩ 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
38	12, 37	sylbid 241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
39	38	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
40	39	ralrimdv 3138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
41		imaeq2 6015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (◡𝐹 “ 𝑦) = (◡𝐹 “ 𝑥))
42	41	eleq1d 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
43	42	cbvralvw 3218	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)
44	40, 43	imbitrrdi 253	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽))
45	9, 44	impbid 213	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽))
46	45	pm5.32da 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))
47	4, 46	bitrd 280	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  Vcvv 3432   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  𝒫 cpw 4536  ∩ cint 4884  ∩ ciin 4929  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628  Fun wfun 6486  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Fincfn 8890  ficfi 9320  topGenctg 17398  Topctop 22883  TopOnctopon 22900   Cn ccn 23214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-1o 8402  df-2o 8403  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-fin 8894  df-fi 9321  df-topgen 17404  df-top 22884  df-topon 22901  df-bases 22936  df-cn 23217

This theorem is referenced by:  xkoccn  23609  ptrescn  23629  xkoco1cn  23647  xkoco2cn  23648  xkococn  23650  xkoinjcn  23677  ordthmeolem  23791