Theorem invrcl 50232

Description: Reverse closure for inverse relations. (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
invrcl.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invrcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
invrcl	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)

Proof of Theorem invrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invrcl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)
2		df-br 5103	. . . . 5 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑋𝑁𝑌))
3		df-ov 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑋𝑁𝑌) = (𝑁‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
4	3	eleq2i 2852	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑋𝑁𝑌) ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑁‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
5	2, 4	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑁‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
6		elfvne0 50054	. . . 4 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑁‘⟨𝑋, 𝑌⟩) → 𝑁 ≠ ∅)
7	5, 6	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 → 𝑁 ≠ ∅)
8		invrcl.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
9	8	neeq1i 3019	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≠ ∅ ↔ (Inv‘𝐶) ≠ ∅)
10		n0 4299	. . . 4 ⊢ ((Inv‘𝐶) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (Inv‘𝐶))
11	9, 10	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝑁 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (Inv‘𝐶))
12	7, 11	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (Inv‘𝐶))
13		df-inv 17929	. . . 4 ⊢ Inv = (𝑐 ∈ Cat ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝑐), 𝑦 ∈ (Base‘𝑐) ↦ ((𝑥(Sect‘𝑐)𝑦) ∩ ◡(𝑦(Sect‘𝑐)𝑥))))
14	13	mptrcl 7004	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Inv‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
15	14	exlimiv 1962	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (Inv‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
16	1, 12, 15	3syl 19	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5649  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ∈ cmpo 7423  Basecbs 17393  Catccat 17844  Sectcsect 17925  Invcinv 17926

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fv 6547  df-ov 7424  df-inv 17929

This theorem is used by:  invrcl2  50233  isinv2  50234  isoval2  50243