Theorem invrcl 49377

Description: Reverse closure for inverse relations. (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
invrcl.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invrcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
invrcl	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)

Proof of Theorem invrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invrcl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)
2		df-br 5101	. . . . 5 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑋𝑁𝑌))
3		df-ov 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑋𝑁𝑌) = (𝑁‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
4	3	eleq2i 2829	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑋𝑁𝑌) ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑁‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
5	2, 4	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑁‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
6		elfvne0 49202	. . . 4 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑁‘⟨𝑋, 𝑌⟩) → 𝑁 ≠ ∅)
7	5, 6	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 → 𝑁 ≠ ∅)
8		invrcl.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
9	8	neeq1i 2997	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≠ ∅ ↔ (Inv‘𝐶) ≠ ∅)
10		n0 4307	. . . 4 ⊢ ((Inv‘𝐶) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (Inv‘𝐶))
11	9, 10	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑁 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (Inv‘𝐶))
12	7, 11	sylib 218	. 2 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (Inv‘𝐶))
13		df-inv 17684	. . . 4 ⊢ Inv = (𝑐 ∈ Cat ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝑐), 𝑦 ∈ (Base‘𝑐) ↦ ((𝑥(Sect‘𝑐)𝑦) ∩ ◡(𝑦(Sect‘𝑐)𝑥))))
14	13	mptrcl 6959	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Inv‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
15	14	exlimiv 1932	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (Inv‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
16	1, 12, 15	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∩ cin 3902  ∅c0 4287  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  ^◡ccnv 5631  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  Basecbs 17148  Catccat 17599  Sectcsect 17680  Invcinv 17681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fv 6508  df-ov 7371  df-inv 17684

This theorem is referenced by:  invrcl2  49378  isinv2  49379  isoval2  49388