Theorem invrcl 50076

Description: Reverse closure for inverse relations. (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
invrcl.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invrcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
invrcl	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)

Proof of Theorem invrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invrcl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)
2		df-br 5104	. . . . 5 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑋𝑁𝑌))
3		df-ov 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝑋𝑁𝑌) = (𝑁‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
4	3	eleq2i 2853	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑋𝑁𝑌) ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑁‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
5	2, 4	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑁‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
6		elfvne0 49903	. . . 4 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑁‘⟨𝑋, 𝑌⟩) → 𝑁 ≠ ∅)
7	5, 6	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 → 𝑁 ≠ ∅)
8		invrcl.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
9	8	neeq1i 3020	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≠ ∅ ↔ (Inv‘𝐶) ≠ ∅)
10		n0 4300	. . . 4 ⊢ ((Inv‘𝐶) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (Inv‘𝐶))
11	9, 10	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝑁 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (Inv‘𝐶))
12	7, 11	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (Inv‘𝐶))
13		df-inv 17903	. . . 4 ⊢ Inv = (𝑐 ∈ Cat ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝑐), 𝑦 ∈ (Base‘𝑐) ↦ ((𝑥(Sect‘𝑐)𝑦) ∩ ◡(𝑦(Sect‘𝑐)𝑥))))
14	13	mptrcl 6995	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Inv‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
15	14	exlimiv 1963	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (Inv‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
16	1, 12, 15	3syl 19	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5650  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  Basecbs 17367  Catccat 17818  Sectcsect 17899  Invcinv 17900

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fv 6539  df-ov 7415  df-inv 17903

This theorem is used by:  invrcl2  50077  isinv2  50078  isoval2  50087