Theorem invrcl 49265

Description: Reverse closure for inverse relations. (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
invrcl.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invrcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
invrcl	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)

Proof of Theorem invrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invrcl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)
2		df-br 5099	. . . . 5 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑋𝑁𝑌))
3		df-ov 7361	. . . . . 6 ⊢ (𝑋𝑁𝑌) = (𝑁‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
4	3	eleq2i 2828	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑋𝑁𝑌) ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑁‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
5	2, 4	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑁‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
6		elfvne0 49090	. . . 4 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑁‘⟨𝑋, 𝑌⟩) → 𝑁 ≠ ∅)
7	5, 6	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 → 𝑁 ≠ ∅)
8		invrcl.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
9	8	neeq1i 2996	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≠ ∅ ↔ (Inv‘𝐶) ≠ ∅)
10		n0 4305	. . . 4 ⊢ ((Inv‘𝐶) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (Inv‘𝐶))
11	9, 10	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑁 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (Inv‘𝐶))
12	7, 11	sylib 218	. 2 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (Inv‘𝐶))
13		df-inv 17672	. . . 4 ⊢ Inv = (𝑐 ∈ Cat ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝑐), 𝑦 ∈ (Base‘𝑐) ↦ ((𝑥(Sect‘𝑐)𝑦) ∩ ◡(𝑦(Sect‘𝑐)𝑥))))
14	13	mptrcl 6950	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Inv‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
15	14	exlimiv 1931	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (Inv‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
16	1, 12, 15	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   ∩ cin 3900  ∅c0 4285  ⟨cop 4586   class class class wbr 5098  ^◡ccnv 5623  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  Basecbs 17136  Catccat 17587  Sectcsect 17668  Invcinv 17669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7361  df-inv 17672

This theorem is referenced by:  invrcl2  49266  isinv2  49267  isoval2  49276