Theorem isinv2 48943

Description: The property "𝐹 is an inverse of 𝐺". (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinv2.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
isinv2.s	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isinv2	⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))

Proof of Theorem isinv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isinv2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
2		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)
3	1, 2	invrcl 48941	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 → 𝐶 ∈ Cat)
4		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5	1, 2, 4	invrcl2 48942	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 → (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶)))
6	3, 5	jca 511	. 2 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))))
7		isinv2.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
8		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹) → 𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺)
9	7, 8	sectrcl 48939	. . 3 ⊢ ((𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹) → 𝐶 ∈ Cat)
10	7, 8, 4	sectrcl2 48940	. . 3 ⊢ ((𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶)))
11	9, 10	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))))
12		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝐶 ∈ Cat)
13		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
14		simprr 772	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
15	4, 1, 12, 13, 14, 7	isinv 17728	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))
16	6, 11, 15	pm5.21nii 378	1 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5115  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  Basecbs 17185  Catccat 17631  Sectcsect 17712  Invcinv 17713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-ral 3047  df-rex 3056  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5541  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-sect 17715  df-inv 17716

This theorem is referenced by:  catcinv  49291  uobeq3  49294