Theorem isinv2 49012

Description: The property "𝐹 is an inverse of 𝐺". (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinv2.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
isinv2.s	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isinv2	⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))

Proof of Theorem isinv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isinv2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
2		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)
3	1, 2	invrcl 49010	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 → 𝐶 ∈ Cat)
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5	1, 2, 4	invrcl2 49011	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 → (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶)))
6	3, 5	jca 511	. 2 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))))
7		isinv2.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
8		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹) → 𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺)
9	7, 8	sectrcl 49008	. . 3 ⊢ ((𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹) → 𝐶 ∈ Cat)
10	7, 8, 4	sectrcl2 49009	. . 3 ⊢ ((𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶)))
11	9, 10	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))))
12		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝐶 ∈ Cat)
13		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
14		simprr 772	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
15	4, 1, 12, 13, 14, 7	isinv 17685	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))
16	6, 11, 15	pm5.21nii 378	1 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  Catccat 17588  Sectcsect 17669  Invcinv 17670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-sect 17672  df-inv 17673

This theorem is referenced by:  catcinv  49385