Theorem isinv2 49501

Description: The property "𝐹 is an inverse of 𝐺". (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinv2.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
isinv2.s	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isinv2	⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))

Proof of Theorem isinv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isinv2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
2		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)
3	1, 2	invrcl 49499	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 → 𝐶 ∈ Cat)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5	1, 2, 4	invrcl2 49500	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 → (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶)))
6	3, 5	jca 511	. 2 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))))
7		isinv2.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
8		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹) → 𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺)
9	7, 8	sectrcl 49497	. . 3 ⊢ ((𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹) → 𝐶 ∈ Cat)
10	7, 8, 4	sectrcl2 49498	. . 3 ⊢ ((𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶)))
11	9, 10	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))))
12		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝐶 ∈ Cat)
13		simprl 771	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
14		simprr 773	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
15	4, 1, 12, 13, 14, 7	isinv 17727	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))
16	6, 11, 15	pm5.21nii 378	1 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  Catccat 17630  Sectcsect 17711  Invcinv 17712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-sect 17714  df-inv 17715

This theorem is referenced by:  catcinv  49874