Theorem isinv2 49960

Description: The property "𝐹 is an inverse of 𝐺". (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinv2.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
isinv2.s	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isinv2	⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))

Proof of Theorem isinv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isinv2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
2		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)
3	1, 2	invrcl 49958	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 → 𝐶 ∈ Cat)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5	1, 2, 4	invrcl2 49959	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 → (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶)))
6	3, 5	jca 521	. 2 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))))
7		isinv2.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
8		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹) → 𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺)
9	7, 8	sectrcl 49956	. . 3 ⊢ ((𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹) → 𝐶 ∈ Cat)
10	7, 8, 4	sectrcl2 49957	. . 3 ⊢ ((𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶)))
11	9, 10	jca 521	. 2 ⊢ ((𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))))
12		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝐶 ∈ Cat)
13		simprl 783	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
14		simprr 785	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
15	4, 1, 12, 13, 14, 7	isinv 17855	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))
16	6, 11, 15	pm5.21nii 381	1 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  Catccat 17758  Sectcsect 17839  Invcinv 17840

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-sect 17842  df-inv 17843

This theorem is used by:  catcinv  50333