Theorem iocgtlbd 46723

Description: An element of a left-open right-closed interval is larger than its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iocgtlbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iocgtlbd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
iocgtlbd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iocgtlbd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem iocgtlbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocgtlbd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		iocgtlbd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		iocgtlbd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
4		iocgtlb 46656	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5106  (class class class)co 7430  ℝ^*cxr 11355   < clt 11356  (,]cioc 13490

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fv 6555  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-xr 11360  df-ioc 13494

This theorem is used by:  xlimpnfvlem1  46988  fourierdlem48  47306  fourierdlem49  47307