Theorem iocgtlbd 45541

Description: An element of a left-open right-closed interval is larger than its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iocgtlbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iocgtlbd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
iocgtlbd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iocgtlbd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem iocgtlbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocgtlbd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		iocgtlbd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		iocgtlbd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
4		iocgtlb 45472	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5123  (class class class)co 7413  ℝ^*cxr 11276   < clt 11277  (,]cioc 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fv 6549  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-xr 11281  df-ioc 13374

This theorem is referenced by:  xlimpnfvlem1  45808