Theorem iocgtlb 43040

Description: An element of a left-open right-closed interval is larger than its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iocgtlb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem iocgtlb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioc1 13121	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
2		simp2 1136	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
3	1, 2	syl6bi 252	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 < 𝐶))
4	3	3impia 1116	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  (,]cioc 13080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-xr 11013  df-ioc 13084

This theorem is referenced by:  iocopn  43058  eliccelioc  43059  iccdificc  43077  iocgtlbd  43109  limcresiooub  43183  fourierdlem19  43667  fourierdlem35  43683  fourierdlem41  43689  fourierdlem46  43693  fourierdlem48  43695  fourierdlem49  43696  fourierdlem51  43698  fourierswlem  43771  fouriersw  43772