Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimpnfvlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimpnfvlem1 44163
Description: Lemma for xlimpnfv 44165: the "only if" part of the biconditional. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimpnfvlem1.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
xlimpnfvlem1.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
xlimpnfvlem1.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
xlimpnfvlem1.c (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*+∞)
xlimpnfvlem1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
xlimpnfvlem1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,π‘˜   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,π‘˜   𝑗,𝑍,π‘˜   πœ‘,𝑗,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝑀(π‘˜)

Proof of Theorem xlimpnfvlem1
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iocpnfordt 22582 . . . . . 6 (𝑋(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )
21a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
3 xlimpnfvlem1.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*+∞)
4 df-xlim 44146 . . . . . . . . 9 ~~>* = (β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))
54breqi 5112 . . . . . . . 8 (𝐹~~>*+∞ ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))+∞)
63, 5sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))+∞)
7 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘˜πΉ
8 letopon 22572 . . . . . . . . 9 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*)
98a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*))
107, 9lmbr3 44074 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))+∞ ↔ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚) ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(+∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))))
116, 10mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚) ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(+∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))))
1211simp3d 1145 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(+∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
132, 12jca 513 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(+∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))))
14 xlimpnfvlem1.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
1514rexrd 11210 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
1611simp2d 1144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
1714ltpnfd 13047 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 < +∞)
18 ubioc1 13323 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 < +∞) β†’ +∞ ∈ (𝑋(,]+∞))
1915, 16, 17, 18syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ (𝑋(,]+∞))
20 eleq2 2823 . . . . . 6 (𝑒 = (𝑋(,]+∞) β†’ (+∞ ∈ 𝑒 ↔ +∞ ∈ (𝑋(,]+∞)))
21 eleq2 2823 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝑋(,]+∞) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞)))
2221anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑋(,]+∞) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞))))
2322ralbidv 3171 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑋(,]+∞) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞))))
2423rexbidv 3172 . . . . . 6 (𝑒 = (𝑋(,]+∞) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞))))
2520, 24imbi12d 345 . . . . 5 (𝑒 = (𝑋(,]+∞) β†’ ((+∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)) ↔ (+∞ ∈ (𝑋(,]+∞) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞)))))
2625rspcva 3578 . . . 4 (((𝑋(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(+∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))) β†’ (+∞ ∈ (𝑋(,]+∞) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞))))
2713, 19, 26sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞)))
28 nfv 1918 . . . 4 β„²π‘—πœ‘
29 nfv 1918 . . . . . 6 β„²π‘˜πœ‘
3015adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
31 xlimpnfvlem1.f . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
3231ffdmd 6700 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„*)
3332ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
3433adantrr 716 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
3516adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞))) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
36 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞))
3730, 35, 36iocgtlbd 43895 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞))) β†’ 𝑋 < (πΉβ€˜π‘˜))
3830, 34, 37xrltled 13075 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞))) β†’ 𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
3938ex 414 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞)) β†’ 𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
4039adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞)) β†’ 𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
4129, 40ralimdaa 3242 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
4241a1d 25 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„€ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
4328, 42reximdai 3243 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
4427, 43mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
45 xlimpnfvlem1.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
46 xlimpnfvlem1.z . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4746rexuz3 15239 . . 3 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
4845, 47syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
4944, 48mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑pm cpm 8769  β„‚cc 11054  β„cr 11055  +∞cpnf 11191  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  (,]cioc 13271  ordTopcordt 17386  TopOnctopon 22275  β‡π‘‘clm 22593  ~~>*clsxlim 44145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-1o 8413  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9352  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-z 12505  df-uz 12769  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-topgen 17330  df-ordt 17388  df-ps 18460  df-tsr 18461  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-lm 22596  df-xlim 44146
This theorem is referenced by:  xlimpnfv  44165
  Copyright terms: Public domain W3C validator