Theorem xlimpnfvlem1 45851

Description: Lemma for xlimpnfv 45853: the "only if" part of the biconditional. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimpnfvlem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfvlem1.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimpnfvlem1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimpnfvlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*+∞)
xlimpnfvlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xlimpnfvlem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem xlimpnfvlem1

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocpnfordt 23223	. . . . . 6 ⊢ (𝑋(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
3		xlimpnfvlem1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*+∞)
4		df-xlim 45834	. . . . . . . . 9 ⊢ ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
5	4	breqi 5149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹~~>*+∞ ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞)
6	3, 5	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞)
7		nfcv 2905	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
8		letopon 23213	. . . . . . . . 9 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
10	7, 9	lmbr3 45762	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞ ↔ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ) ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
11	6, 10	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ) ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
12	11	simp3d 1145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
13	2, 12	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
14		xlimpnfvlem1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
16	11	simp2d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
17	14	ltpnfd 13163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < +∞)
18		ubioc1 13440	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 < +∞) → +∞ ∈ (𝑋(,]+∞))
19	15, 16, 17, 18	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ (𝑋(,]+∞))
20		eleq2 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → (+∞ ∈ 𝑢 ↔ +∞ ∈ (𝑋(,]+∞)))
21		eleq2 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)))
22	21	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))))
23	22	ralbidv 3178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))))
24	23	rexbidv 3179	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))))
25	20, 24	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → ((+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (+∞ ∈ (𝑋(,]+∞) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)))))
26	25	rspcva 3620	. . . 4 ⊢ (((𝑋(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) → (+∞ ∈ (𝑋(,]+∞) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))))
27	13, 19, 26	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)))
28		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
29		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
30	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
31		xlimpnfvlem1.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
32	31	ffdmd 6766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ*)
33	32	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
34	33	adantrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
35	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → +∞ ∈ ℝ*)
36		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))
37	30, 35, 36	iocgtlbd 45584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → 𝑋 < (𝐹‘𝑘))
38	30, 34, 37	xrltled 13192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → 𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘))
39	38	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → 𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘)))
40	39	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → 𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘)))
41	29, 40	ralimdaa 3260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘)))
42	41	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘))))
43	28, 42	reximdai 3261	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘)))
44	27, 43	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘))
45		xlimpnfvlem1.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
46		xlimpnfvlem1.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
47	46	rexuz3 15387	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘)))
48	45, 47	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘)))
49	44, 48	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↑_pm cpm 8867  ℂcc 11153  ℝcr 11154  +∞cpnf 11292  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  (,]cioc 13388  ordTopcordt 17544  TopOnctopon 22916  ⇝_𝑡clm 23234  ~~>*clsxlim 45833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-lm 23237  df-xlim 45834

This theorem is referenced by:  xlimpnfv  45853