Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimpnfvlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimpnfvlem1 42872
 Description: Lemma for xlimpnfv 42874: the "only if" part of the biconditional. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimpnfvlem1.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfvlem1.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimpnfvlem1.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimpnfvlem1.c (𝜑𝐹~~>*+∞)
xlimpnfvlem1.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
xlimpnfvlem1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem xlimpnfvlem1
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iocpnfordt 21920 . . . . . 6 (𝑋(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
21a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
3 xlimpnfvlem1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐹~~>*+∞)
4 df-xlim 42855 . . . . . . . . 9 ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
54breqi 5041 . . . . . . . 8 (𝐹~~>*+∞ ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞)
63, 5sylib 221 . . . . . . 7 (𝜑𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞)
7 nfcv 2919 . . . . . . . 8 𝑘𝐹
8 letopon 21910 . . . . . . . . 9 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
98a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
107, 9lmbr3 42783 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞ ↔ (𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ) ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
116, 10mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ) ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
1211simp3d 1141 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
132, 12jca 515 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
14 xlimpnfvlem1.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1514rexrd 10734 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
1611simp2d 1140 . . . . 5 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
1714ltpnfd 12562 . . . . 5 (𝜑𝑋 < +∞)
18 ubioc1 12837 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑋 < +∞) → +∞ ∈ (𝑋(,]+∞))
1915, 16, 17, 18syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → +∞ ∈ (𝑋(,]+∞))
20 eleq2 2840 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → (+∞ ∈ 𝑢 ↔ +∞ ∈ (𝑋(,]+∞)))
21 eleq2 2840 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)))
2221anbi2d 631 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))))
2322ralbidv 3126 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))))
2423rexbidv 3221 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))))
2520, 24imbi12d 348 . . . . 5 (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → ((+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (+∞ ∈ (𝑋(,]+∞) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)))))
2625rspcva 3541 . . . 4 (((𝑋(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))) → (+∞ ∈ (𝑋(,]+∞) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))))
2713, 19, 26sylc 65 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)))
28 nfv 1915 . . . 4 𝑗𝜑
29 nfv 1915 . . . . . 6 𝑘𝜑
3015adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
31 xlimpnfvlem1.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
3231ffdmd 6526 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℝ*)
3332ffvelrnda 6847 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
3433adantrr 716 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
3516adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → +∞ ∈ ℝ*)
36 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))
3730, 35, 36iocgtlbd 42602 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → 𝑋 < (𝐹𝑘))
3830, 34, 37xrltled 12589 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → 𝑋 ≤ (𝐹𝑘))
3938ex 416 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → 𝑋 ≤ (𝐹𝑘)))
4039adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → 𝑋 ≤ (𝐹𝑘)))
4129, 40ralimda 3408 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘)))
4241a1d 25 . . . 4 (𝜑 → (𝑗 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘))))
4328, 42reximdai 3235 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘)))
4427, 43mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘))
45 xlimpnfvlem1.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
46 xlimpnfvlem1.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
4746rexuz3 14761 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘)))
4845, 47syl 17 . 2 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘)))
4944, 48mpbird 260 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   class class class wbr 5035  dom cdm 5527  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155   ↑pm cpm 8422  ℂcc 10578  ℝcr 10579  +∞cpnf 10715  ℝ*cxr 10717   < clt 10718   ≤ cle 10719  ℤcz 12025  ℤ≥cuz 12287  (,]cioc 12785  ordTopcordt 16835  TopOnctopon 21615  ⇝𝑡clm 21931  ~~>*clsxlim 42854 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-1o 8117  df-er 8304  df-pm 8424  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fi 8913  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-z 12026  df-uz 12288  df-ioo 12788  df-ioc 12789  df-ico 12790  df-icc 12791  df-topgen 16780  df-ordt 16837  df-ps 17881  df-tsr 17882  df-top 21599  df-topon 21616  df-bases 21651  df-lm 21934  df-xlim 42855 This theorem is referenced by:  xlimpnfv  42874
 Copyright terms: Public domain W3C validator