Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimpnfvlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimpnfvlem1 44850
Description: Lemma for xlimpnfv 44852: the "only if" part of the biconditional. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimpnfvlem1.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
xlimpnfvlem1.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
xlimpnfvlem1.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
xlimpnfvlem1.c (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*+∞)
xlimpnfvlem1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
xlimpnfvlem1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,π‘˜   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,π‘˜   𝑗,𝑍,π‘˜   πœ‘,𝑗,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝑀(π‘˜)

Proof of Theorem xlimpnfvlem1
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iocpnfordt 22939 . . . . . 6 (𝑋(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )
21a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
3 xlimpnfvlem1.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*+∞)
4 df-xlim 44833 . . . . . . . . 9 ~~>* = (β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))
54breqi 5153 . . . . . . . 8 (𝐹~~>*+∞ ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))+∞)
63, 5sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))+∞)
7 nfcv 2901 . . . . . . . 8 β„²π‘˜πΉ
8 letopon 22929 . . . . . . . . 9 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*)
98a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*))
107, 9lmbr3 44761 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))+∞ ↔ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚) ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(+∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))))
116, 10mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚) ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(+∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))))
1211simp3d 1142 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(+∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
132, 12jca 510 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(+∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))))
14 xlimpnfvlem1.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
1514rexrd 11268 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
1611simp2d 1141 . . . . 5 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
1714ltpnfd 13105 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 < +∞)
18 ubioc1 13381 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 < +∞) β†’ +∞ ∈ (𝑋(,]+∞))
1915, 16, 17, 18syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ (𝑋(,]+∞))
20 eleq2 2820 . . . . . 6 (𝑒 = (𝑋(,]+∞) β†’ (+∞ ∈ 𝑒 ↔ +∞ ∈ (𝑋(,]+∞)))
21 eleq2 2820 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝑋(,]+∞) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞)))
2221anbi2d 627 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑋(,]+∞) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞))))
2322ralbidv 3175 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑋(,]+∞) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞))))
2423rexbidv 3176 . . . . . 6 (𝑒 = (𝑋(,]+∞) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞))))
2520, 24imbi12d 343 . . . . 5 (𝑒 = (𝑋(,]+∞) β†’ ((+∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)) ↔ (+∞ ∈ (𝑋(,]+∞) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞)))))
2625rspcva 3609 . . . 4 (((𝑋(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(+∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))) β†’ (+∞ ∈ (𝑋(,]+∞) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞))))
2713, 19, 26sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞)))
28 nfv 1915 . . . 4 β„²π‘—πœ‘
29 nfv 1915 . . . . . 6 β„²π‘˜πœ‘
3015adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
31 xlimpnfvlem1.f . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
3231ffdmd 6747 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„*)
3332ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
3433adantrr 713 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
3516adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞))) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
36 simprr 769 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞))
3730, 35, 36iocgtlbd 44582 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞))) β†’ 𝑋 < (πΉβ€˜π‘˜))
3830, 34, 37xrltled 13133 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞))) β†’ 𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
3938ex 411 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞)) β†’ 𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
4039adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞)) β†’ 𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
4129, 40ralimdaa 3255 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
4241a1d 25 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„€ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
4328, 42reximdai 3256 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑋(,]+∞)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
4427, 43mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
45 xlimpnfvlem1.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
46 xlimpnfvlem1.z . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4746rexuz3 15299 . . 3 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
4845, 47syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
4944, 48mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝑋 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑pm cpm 8823  β„‚cc 11110  β„cr 11111  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  (,]cioc 13329  ordTopcordt 17449  TopOnctopon 22632  β‡π‘‘clm 22950  ~~>*clsxlim 44832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-1o 8468  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-z 12563  df-uz 12827  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-topgen 17393  df-ordt 17451  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-lm 22953  df-xlim 44833
This theorem is referenced by:  xlimpnfv  44852
  Copyright terms: Public domain W3C validator