Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimpnfvlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimpnfvlem1 44325
Description: Lemma for xlimpnfv 44327: the "only if" part of the biconditional. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimpnfvlem1.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfvlem1.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimpnfvlem1.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimpnfvlem1.c (𝜑𝐹~~>*+∞)
xlimpnfvlem1.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
xlimpnfvlem1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem xlimpnfvlem1
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iocpnfordt 22648 . . . . . 6 (𝑋(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
21a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
3 xlimpnfvlem1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐹~~>*+∞)
4 df-xlim 44308 . . . . . . . . 9 ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
54breqi 5147 . . . . . . . 8 (𝐹~~>*+∞ ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞)
63, 5sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞)
7 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑘𝐹
8 letopon 22638 . . . . . . . . 9 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
98a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
107, 9lmbr3 44236 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞ ↔ (𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ) ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
116, 10mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ) ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
1211simp3d 1144 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
132, 12jca 512 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
14 xlimpnfvlem1.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1514rexrd 11246 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
1611simp2d 1143 . . . . 5 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
1714ltpnfd 13083 . . . . 5 (𝜑𝑋 < +∞)
18 ubioc1 13359 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑋 < +∞) → +∞ ∈ (𝑋(,]+∞))
1915, 16, 17, 18syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → +∞ ∈ (𝑋(,]+∞))
20 eleq2 2821 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → (+∞ ∈ 𝑢 ↔ +∞ ∈ (𝑋(,]+∞)))
21 eleq2 2821 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)))
2221anbi2d 629 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))))
2322ralbidv 3176 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))))
2423rexbidv 3177 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))))
2520, 24imbi12d 344 . . . . 5 (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → ((+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (+∞ ∈ (𝑋(,]+∞) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)))))
2625rspcva 3607 . . . 4 (((𝑋(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))) → (+∞ ∈ (𝑋(,]+∞) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))))
2713, 19, 26sylc 65 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)))
28 nfv 1917 . . . 4 𝑗𝜑
29 nfv 1917 . . . . . 6 𝑘𝜑
3015adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
31 xlimpnfvlem1.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
3231ffdmd 6735 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℝ*)
3332ffvelcdmda 7071 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
3433adantrr 715 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
3516adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → +∞ ∈ ℝ*)
36 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))
3730, 35, 36iocgtlbd 44057 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → 𝑋 < (𝐹𝑘))
3830, 34, 37xrltled 13111 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → 𝑋 ≤ (𝐹𝑘))
3938ex 413 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → 𝑋 ≤ (𝐹𝑘)))
4039adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → 𝑋 ≤ (𝐹𝑘)))
4129, 40ralimdaa 3256 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘)))
4241a1d 25 . . . 4 (𝜑 → (𝑗 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘))))
4328, 42reximdai 3257 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘)))
4427, 43mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘))
45 xlimpnfvlem1.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
46 xlimpnfvlem1.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
4746rexuz3 15277 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘)))
4845, 47syl 17 . 2 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘)))
4944, 48mpbird 256 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑋 ≤ (𝐹𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3060  wrex 3069   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  wf 6528  cfv 6532  (class class class)co 7393  pm cpm 8804  cc 11090  cr 11091  +∞cpnf 11227  *cxr 11229   < clt 11230  cle 11231  cz 12540  cuz 12804  (,]cioc 13307  ordTopcordt 17427  TopOnctopon 22341  𝑡clm 22659  ~~>*clsxlim 44307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-1o 8448  df-er 8686  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fi 9388  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-z 12541  df-uz 12805  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-topgen 17371  df-ordt 17429  df-ps 18501  df-tsr 18502  df-top 22325  df-topon 22342  df-bases 22378  df-lm 22662  df-xlim 44308
This theorem is referenced by:  xlimpnfv  44327
  Copyright terms: Public domain W3C validator