Theorem xlimpnfvlem1 43377

Description: Lemma for xlimpnfv 43379: the "only if" part of the biconditional. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimpnfvlem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfvlem1.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimpnfvlem1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimpnfvlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*+∞)
xlimpnfvlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xlimpnfvlem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem xlimpnfvlem1

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocpnfordt 22366	. . . . . 6 ⊢ (𝑋(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
3		xlimpnfvlem1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*+∞)
4		df-xlim 43360	. . . . . . . . 9 ⊢ ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
5	4	breqi 5080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹~~>*+∞ ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞)
6	3, 5	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞)
7		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
8		letopon 22356	. . . . . . . . 9 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
10	7, 9	lmbr3 43288	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞ ↔ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ) ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
11	6, 10	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ) ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
12	11	simp3d 1143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
13	2, 12	jca 512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
14		xlimpnfvlem1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11025	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
16	11	simp2d 1142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
17	14	ltpnfd 12857	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < +∞)
18		ubioc1 13132	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 < +∞) → +∞ ∈ (𝑋(,]+∞))
19	15, 16, 17, 18	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ (𝑋(,]+∞))
20		eleq2 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → (+∞ ∈ 𝑢 ↔ +∞ ∈ (𝑋(,]+∞)))
21		eleq2 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)))
22	21	anbi2d 629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))))
23	22	ralbidv 3112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))))
24	23	rexbidv 3226	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))))
25	20, 24	imbi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → ((+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (+∞ ∈ (𝑋(,]+∞) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)))))
26	25	rspcva 3559	. . . 4 ⊢ (((𝑋(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) → (+∞ ∈ (𝑋(,]+∞) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))))
27	13, 19, 26	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)))
28		nfv 1917	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
29		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
30	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
31		xlimpnfvlem1.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
32	31	ffdmd 6631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ*)
33	32	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
34	33	adantrr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
35	16	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → +∞ ∈ ℝ*)
36		simprr 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))
37	30, 35, 36	iocgtlbd 43109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → 𝑋 < (𝐹‘𝑘))
38	30, 34, 37	xrltled 12884	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → 𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘))
39	38	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → 𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘)))
40	39	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → 𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘)))
41	29, 40	ralimda 3431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘)))
42	41	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘))))
43	28, 42	reximdai 3244	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘)))
44	27, 43	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘))
45		xlimpnfvlem1.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
46		xlimpnfvlem1.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
47	46	rexuz3 15060	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘)))
48	45, 47	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘)))
49	44, 48	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_pm cpm 8616  ℂcc 10869  ℝcr 10870  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  (,]cioc 13080  ordTopcordt 17210  TopOnctopon 22059  ⇝_𝑡clm 22377  ~~>*clsxlim 43359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-1o 8297  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fi 9170  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-z 12320  df-uz 12583  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-topgen 17154  df-ordt 17212  df-ps 18284  df-tsr 18285  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096  df-lm 22380  df-xlim 43360

This theorem is referenced by:  xlimpnfv  43379