Theorem xlimpnfvlem1 46411

Description: Lemma for xlimpnfv 46413: the "only if" part of the biconditional. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimpnfvlem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfvlem1.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimpnfvlem1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimpnfvlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*+∞)
xlimpnfvlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xlimpnfvlem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem xlimpnfvlem1

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocpnfordt 23276	. . . . . 6 ⊢ (𝑋(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
3		xlimpnfvlem1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*+∞)
4		df-xlim 46394	. . . . . . . . 9 ⊢ ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
5	4	breqi 5107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹~~>*+∞ ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞)
6	3, 5	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞)
7		nfcv 2925	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
8		letopon 23266	. . . . . . . . 9 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
10	7, 9	lmbr3 46322	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞ ↔ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ) ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
11	6, 10	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ) ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
12	11	simp3d 1158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
13	2, 12	jca 519	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
14		xlimpnfvlem1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
16	11	simp2d 1157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
17	14	ltpnfd 13124	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < +∞)
18		ubioc1 13404	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 < +∞) → +∞ ∈ (𝑋(,]+∞))
19	15, 16, 17, 18	syl3anc 1391	. . . 4 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ (𝑋(,]+∞))
20		eleq2 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → (+∞ ∈ 𝑢 ↔ +∞ ∈ (𝑋(,]+∞)))
21		eleq2 2852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)))
22	21	anbi2d 639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))))
23	22	ralbidv 3186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))))
24	23	rexbidv 3187	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))))
25	20, 24	imbi12d 346	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑋(,]+∞) → ((+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (+∞ ∈ (𝑋(,]+∞) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)))))
26	25	rspcva 3580	. . . 4 ⊢ (((𝑋(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) → (+∞ ∈ (𝑋(,]+∞) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))))
27	13, 19, 26	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)))
28		nfv 1935	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
29		nfv 1935	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
30	15	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
31		xlimpnfvlem1.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
32	31	ffdmd 6723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ*)
33	32	ffvelcdmda 7066	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
34	33	adantrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
35	16	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → +∞ ∈ ℝ*)
36		simprr 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))
37	30, 35, 36	iocgtlbd 46146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → 𝑋 < (𝐹‘𝑘))
38	30, 34, 37	xrltled 13153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞))) → 𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘))
39	38	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → 𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘)))
40	39	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → 𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘)))
41	29, 40	ralimdaa 3264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘)))
42	41	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘))))
43	28, 42	reximdai 3265	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑋(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘)))
44	27, 43	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘))
45		xlimpnfvlem1.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
46		xlimpnfvlem1.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
47	46	rexuz3 15377	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘)))
48	45, 47	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘)))
49	44, 48	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑋 ≤ (𝐹‘𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   class class class wbr 5101  dom cdm 5648  ⟶wf 6518  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397   ↑_pm cpm 8810  ℂcc 11072  ℝcr 11073  +∞cpnf 11214  ℝ^*cxr 11216   < clt 11217   ≤ cle 11218  ℤcz 12569  ℤ_≥cuz 12840  (,]cioc 13351  ordTopcordt 17530  TopOnctopon 22971  ⇝_𝑡clm 23287  ~~>*clsxlim 46393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8438  df-2o 8439  df-er 8679  df-pm 8812  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-fi 9358  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-z 12570  df-uz 12841  df-ioo 13354  df-ioc 13355  df-ico 13356  df-icc 13357  df-topgen 17473  df-ordt 17532  df-ps 18599  df-tsr 18600  df-top 22955  df-topon 22972  df-bases 23007  df-lm 23290  df-xlim 46394

This theorem is referenced by:  xlimpnfv  46413