Theorem isat2 39283

Description: The predicate "is an atom". (elatcv0 32386 analog.) (Contributed by NM, 18-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
isatom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
isatom.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
isatom.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
isatom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
isat2	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ 0 𝐶𝑃))

Proof of Theorem isat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isatom.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		isatom.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3		isatom.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4		isatom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	isat 39282	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 0 𝐶𝑃)))
6	5	baibd 539	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ 0 𝐶𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5151  ‘cfv 6569  Basecbs 17254  0.cp0 18490   ⋖ ccvr 39258  Atomscatm 39259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pr 5441

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3483  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fv 6577  df-ats 39263

This theorem is referenced by:  llncvrlpln  39555  lplncvrlvol  39613  lhpm0atN  40026