Theorem isat2 39247

Description: The predicate "is an atom". (elatcv0 32288 analog.) (Contributed by NM, 18-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
isatom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
isatom.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
isatom.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
isatom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
isat2	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ 0 𝐶𝑃))

Proof of Theorem isat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isatom.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		isatom.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3		isatom.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4		isatom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	isat 39246	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 0 𝐶𝑃)))
6	5	baibd 539	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ 0 𝐶𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5123  ‘cfv 6541  Basecbs 17229  0.cp0 18437   ⋖ ccvr 39222  Atomscatm 39223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fv 6549  df-ats 39227

This theorem is referenced by:  llncvrlpln  39519  lplncvrlvol  39577  lhpm0atN  39990