Theorem isat 39287

Description: The predicate "is an atom". (ela 32358 analog.) (Contributed by NM, 18-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
isatom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
isatom.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
isatom.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
isatom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
isat	⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 0 𝐶𝑃)))

Proof of Theorem isat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isatom.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		isatom.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3		isatom.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4		isatom.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	pats 39286	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 0 𝐶𝑥})
6	5	eleq2d 2827	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ 𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 0 𝐶𝑥}))
7		breq2 5147	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ( 0 𝐶𝑥 ↔ 0 𝐶𝑃))
8	7	elrab 3692	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 0 𝐶𝑥} ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 0 𝐶𝑃))
9	6, 8	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 0 𝐶𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  0.cp0 18468   ⋖ ccvr 39263  Atomscatm 39264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ats 39268

This theorem is referenced by:  isat2  39288  atcvr0  39289  atbase  39290  isat3  39308  1cvrco  39474  1cvrjat  39477  ltrnatb  40139