Theorem isat 39785

Description: The predicate "is an atom". (ela 32435 analog.) (Contributed by NM, 18-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
isatom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
isatom.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
isatom.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
isatom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
isat	⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 0 𝐶𝑃)))

Proof of Theorem isat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isatom.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		isatom.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3		isatom.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4		isatom.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	pats 39784	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 0 𝐶𝑥})
6	5	eleq2d 2826	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ 𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 0 𝐶𝑥}))
7		breq2 5083	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ( 0 𝐶𝑥 ↔ 0 𝐶𝑃))
8	7	elrab 3636	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 0 𝐶𝑥} ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 0 𝐶𝑃))
9	6, 8	bitrdi 288	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 0 𝐶𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3392   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  Basecbs 17177  0.cp0 18385   ⋖ ccvr 39761  Atomscatm 39762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ats 39766

This theorem is referenced by:  isat2  39786  atcvr0  39787  atbase  39788  isat3  39806  1cvrco  39971  1cvrjat  39974  ltrnatb  40636