Theorem isat 40546

Description: The predicate "is an atom". (ela 32974 analog.) (Contributed by NM, 18-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
isatom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
isatom.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
isatom.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
isatom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
isat	⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 0 𝐶𝑃)))

Proof of Theorem isat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isatom.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		isatom.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3		isatom.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4		isatom.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	pats 40545	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 0 𝐶𝑥})
6	5	eleq2d 2850	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ 𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 0 𝐶𝑥}))
7		breq2 5110	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ( 0 𝐶𝑥 ↔ 0 𝐶𝑃))
8	7	elrab 3648	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 0 𝐶𝑥} ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 0 𝐶𝑃))
9	6, 8	bitrdi 290	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 0 𝐶𝑃)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  Basecbs 17419  0.cp0 18627   ⋖ ccvr 40522  Atomscatm 40523

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ats 40527

This theorem is used by:  isat2  40547  atcvr0  40548  atbase  40549  isat3  40567  1cvrco  40732  1cvrjat  40735  ltrnatb  41397