Theorem isat 39279

Description: The predicate "is an atom". (ela 32268 analog.) (Contributed by NM, 18-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
isatom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
isatom.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
isatom.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
isatom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
isat	⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 0 𝐶𝑃)))

Proof of Theorem isat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isatom.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		isatom.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3		isatom.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4		isatom.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	pats 39278	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 0 𝐶𝑥})
6	5	eleq2d 2814	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ 𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 0 𝐶𝑥}))
7		breq2 5111	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ( 0 𝐶𝑥 ↔ 0 𝐶𝑃))
8	7	elrab 3659	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 0 𝐶𝑥} ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 0 𝐶𝑃))
9	6, 8	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 0 𝐶𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  0.cp0 18382   ⋖ ccvr 39255  Atomscatm 39256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-ats 39260

This theorem is referenced by:  isat2  39280  atcvr0  39281  atbase  39282  isat3  39300  1cvrco  39466  1cvrjat  39469  ltrnatb  40131