Theorem lhpm0atN 39996

Description: If the meet of a lattice hyperplane with a nonzero element is zero, the element is an atom. (Contributed by NM, 28-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpm0at.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpm0at.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lhpm0at.o	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
lhpm0at.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpm0at.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpm0atN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lhpm0atN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr3 1197	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )
2		simpl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		simpr1 1195	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝑋 ≠ 0 )
5		hllat 39329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
6	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝐾 ∈ Lat)
7		lhpm0at.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		lhpm0at.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9	7, 8	lhpbase 39965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
10	9	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝑊 ∈ 𝐵)
11		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12		lhpm0at.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
13	7, 11, 12	latleeqm1 18402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑋 ∧ 𝑊) = 𝑋))
14	6, 3, 10, 13	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑋 ∧ 𝑊) = 𝑋))
15	14	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝑋 ∧ 𝑊) = 𝑋)
16		simplr3 1218	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )
17	15, 16	eqtr3d 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝑋 = 0 )
18	17	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 → 𝑋 = 0 ))
19	18	necon3ad 2938	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊))
20	4, 19	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)
21		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
22	7, 11, 12, 21, 8	lhpmcvr 39990	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑋 ∧ 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
23	2, 3, 20, 22	syl12anc 836	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
24	1, 23	eqbrtrrd 5126	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
25		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝐾 ∈ HL)
26		lhpm0at.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
27		lhpm0at.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
28	7, 26, 21, 27	isat2 39253	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
29	25, 3, 28	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
30	24, 29	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  lecple 17203  meetcmee 18249  0.cp0 18358  Latclat 18366   ⋖ ccvr 39228  Atomscatm 39229  HLchlt 39316  LHypclh 39951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-proset 18231  df-poset 18250  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-p1 18361  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 39142  df-ol 39144  df-oml 39145  df-covers 39232  df-ats 39233  df-atl 39264  df-cvlat 39288  df-hlat 39317  df-lhyp 39955

This theorem is referenced by: (None)