Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpm0atN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpm0atN 39632
Description: If the meet of a lattice hyperplane with a nonzero element is zero, the element is an atom. (Contributed by NM, 28-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpm0at.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpm0at.m = (meet‘𝐾)
lhpm0at.o 0 = (0.‘𝐾)
lhpm0at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpm0at.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpm0atN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → 𝑋𝐴)

Proof of Theorem lhpm0atN
StepHypRef Expression
1 simpr3 1193 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → (𝑋 𝑊) = 0 )
2 simpl 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simpr1 1191 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → 𝑋𝐵)
4 simpr2 1192 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → 𝑋0 )
5 hllat 38965 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
65ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → 𝐾 ∈ Lat)
7 lhpm0at.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 lhpm0at.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
97, 8lhpbase 39601 . . . . . . . . . . 11 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
109ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → 𝑊𝐵)
11 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12 lhpm0at.m . . . . . . . . . . 11 = (meet‘𝐾)
137, 11, 12latleeqm1 18462 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑋 𝑊) = 𝑋))
146, 3, 10, 13syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑋 𝑊) = 𝑋))
1514biimpa 475 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝑋 𝑊) = 𝑋)
16 simplr3 1214 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝑋 𝑊) = 0 )
1715, 16eqtr3d 2767 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝑋 = 0 )
1817ex 411 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊𝑋 = 0 ))
1918necon3ad 2942 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → (𝑋0 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊))
204, 19mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)
21 eqid 2725 . . . . 5 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
227, 11, 12, 21, 8lhpmcvr 39626 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑋 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
232, 3, 20, 22syl12anc 835 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → (𝑋 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
241, 23eqbrtrrd 5173 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
25 simpll 765 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → 𝐾 ∈ HL)
26 lhpm0at.o . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
27 lhpm0at.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
287, 26, 21, 27isat2 38889 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝐴0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
2925, 3, 28syl2anc 582 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → (𝑋𝐴0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
3024, 29mpbird 256 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → 𝑋𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  lecple 17243  meetcmee 18307  0.cp0 18418  Latclat 18426  ccvr 38864  Atomscatm 38865  HLchlt 38952  LHypclh 39587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-p1 18421  df-lat 18427  df-clat 18494  df-oposet 38778  df-ol 38780  df-oml 38781  df-covers 38868  df-ats 38869  df-atl 38900  df-cvlat 38924  df-hlat 38953  df-lhyp 39591
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator