Theorem lhpm0atN 39632

Description: If the meet of a lattice hyperplane with a nonzero element is zero, the element is an atom. (Contributed by NM, 28-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpm0at.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpm0at.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lhpm0at.o	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
lhpm0at.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpm0at.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpm0atN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lhpm0atN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr3 1193	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )
2		simpl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		simpr1 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simpr2 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝑋 ≠ 0 )
5		hllat 38965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
6	5	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝐾 ∈ Lat)
7		lhpm0at.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		lhpm0at.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9	7, 8	lhpbase 39601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
10	9	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝑊 ∈ 𝐵)
11		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12		lhpm0at.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
13	7, 11, 12	latleeqm1 18462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑋 ∧ 𝑊) = 𝑋))
14	6, 3, 10, 13	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑋 ∧ 𝑊) = 𝑋))
15	14	biimpa 475	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝑋 ∧ 𝑊) = 𝑋)
16		simplr3 1214	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )
17	15, 16	eqtr3d 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝑋 = 0 )
18	17	ex 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 → 𝑋 = 0 ))
19	18	necon3ad 2942	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊))
20	4, 19	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)
21		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
22	7, 11, 12, 21, 8	lhpmcvr 39626	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑋 ∧ 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
23	2, 3, 20, 22	syl12anc 835	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
24	1, 23	eqbrtrrd 5173	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
25		simpll 765	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝐾 ∈ HL)
26		lhpm0at.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
27		lhpm0at.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
28	7, 26, 21, 27	isat2 38889	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
29	25, 3, 28	syl2anc 582	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
30	24, 29	mpbird 256	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  lecple 17243  meetcmee 18307  0.cp0 18418  Latclat 18426   ⋖ ccvr 38864  Atomscatm 38865  HLchlt 38952  LHypclh 39587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-p1 18421  df-lat 18427  df-clat 18494  df-oposet 38778  df-ol 38780  df-oml 38781  df-covers 38868  df-ats 38869  df-atl 38900  df-cvlat 38924  df-hlat 38953  df-lhyp 39591

This theorem is referenced by: (None)