Theorem lhpm0atN 36646

Description: If the meet of a lattice hyperplane with a nonzero element is zero, the element is an atom. (Contributed by NM, 28-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpm0at.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpm0at.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lhpm0at.o	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
lhpm0at.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpm0at.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpm0atN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lhpm0atN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr3 1187	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )
2		simpl 483	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		simpr1 1185	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simpr2 1186	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝑋 ≠ 0 )
5		hllat 35980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
6	5	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝐾 ∈ Lat)
7		lhpm0at.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		lhpm0at.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9	7, 8	lhpbase 36615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
10	9	ad2antlr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝑊 ∈ 𝐵)
11		eqid 2793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12		lhpm0at.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
13	7, 11, 12	latleeqm1 17506	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑋 ∧ 𝑊) = 𝑋))
14	6, 3, 10, 13	syl3anc 1362	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑋 ∧ 𝑊) = 𝑋))
15	14	biimpa 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝑋 ∧ 𝑊) = 𝑋)
16		simplr3 1208	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )
17	15, 16	eqtr3d 2831	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝑋 = 0 )
18	17	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 → 𝑋 = 0 ))
19	18	necon3ad 2995	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊))
20	4, 19	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)
21		eqid 2793	. . . . 5 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
22	7, 11, 12, 21, 8	lhpmcvr 36640	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑋 ∧ 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
23	2, 3, 20, 22	syl12anc 833	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
24	1, 23	eqbrtrrd 4980	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
25		simpll 763	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝐾 ∈ HL)
26		lhpm0at.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
27		lhpm0at.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
28	7, 26, 21, 27	isat2 35904	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
29	25, 3, 28	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
30	24, 29	mpbird 258	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1078   = wceq 1520   ∈ wcel 2079   ≠ wne 2982   class class class wbr 4956  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007  Basecbs 16300  lecple 16389  meetcmee 17372  0.cp0 17464  Latclat 17472   ⋖ ccvr 35879  Atomscatm 35880  HLchlt 35967  LHypclh 36601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-id 5340  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-proset 17355  df-poset 17373  df-plt 17385  df-lub 17401  df-glb 17402  df-join 17403  df-meet 17404  df-p0 17466  df-p1 17467  df-lat 17473  df-clat 17535  df-oposet 35793  df-ol 35795  df-oml 35796  df-covers 35883  df-ats 35884  df-atl 35915  df-cvlat 35939  df-hlat 35968  df-lhyp 36605

This theorem is referenced by: (None)