Theorem lhpm0atN 41352

Description: If the meet of a lattice hyperplane with a nonzero element is zero, the element is an atom. (Contributed by NM, 28-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpm0at.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpm0at.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lhpm0at.o	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
lhpm0at.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpm0at.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpm0atN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lhpm0atN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr3 1215	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )
2		simpl 488	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		simpr1 1213	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simpr2 1214	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝑋 ≠ 0 )
5		hllat 40686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
6	5	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝐾 ∈ Lat)
7		lhpm0at.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		lhpm0at.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9	7, 8	lhpbase 41321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
10	9	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝑊 ∈ 𝐵)
11		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12		lhpm0at.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
13	7, 11, 12	latleeqm1 18691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑋 ∧ 𝑊) = 𝑋))
14	6, 3, 10, 13	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑋 ∧ 𝑊) = 𝑋))
15	14	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝑋 ∧ 𝑊) = 𝑋)
16		simplr3 1236	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )
17	15, 16	eqtr3d 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝑋 = 0 )
18	17	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 → 𝑋 = 0 ))
19	18	necon3ad 2972	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊))
20	4, 19	mpd 16	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)
21		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
22	7, 11, 12, 21, 8	lhpmcvr 41346	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑋 ∧ 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
23	2, 3, 20, 22	syl12anc 850	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
24	1, 23	eqbrtrrd 5135	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
25		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝐾 ∈ HL)
26		lhpm0at.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
27		lhpm0at.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
28	7, 26, 21, 27	isat2 40610	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
29	25, 3, 28	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
30	24, 29	mpbird 260	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) = 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  lecple 17479  meetcmee 18536  0.cp0 18645  Latclat 18655   ⋖ ccvr 40585  Atomscatm 40586  HLchlt 40673  LHypclh 41307

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-proset 18518  df-poset 18537  df-plt 18552  df-lub 18568  df-glb 18569  df-join 18570  df-meet 18571  df-p0 18647  df-p1 18648  df-lat 18656  df-clat 18723  df-oposet 40499  df-ol 40501  df-oml 40502  df-covers 40589  df-ats 40590  df-atl 40621  df-cvlat 40645  df-hlat 40674  df-lhyp 41311

This theorem is used by: (None)