Theorem atcvr0 40062

Description: An atom covers zero. (atcv0 32694 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atomcvr0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atomcvr0.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atomcvr0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atcvr0	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)

Proof of Theorem atcvr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		atomcvr0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3		atomcvr0.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4		atomcvr0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	isat 40060	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 𝐶𝑃)))
6	5	simplbda 504	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  Basecbs 17264  0.cp0 18472   ⋖ ccvr 40036  Atomscatm 40037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ats 40041

This theorem is referenced by:  0ltat  40065  leatb  40066  atnle0  40083  atlen0  40084  atcmp  40085  atcvreq0  40088  atcvr0eq  40200  lnnat  40201  athgt  40230  ps-2  40252  lhp0lt  40777