Theorem atcvr0 39909

Description: An atom covers zero. (atcv0 32542 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atomcvr0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atomcvr0.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atomcvr0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atcvr0	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)

Proof of Theorem atcvr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		atomcvr0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3		atomcvr0.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4		atomcvr0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	isat 39907	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 𝐶𝑃)))
6	5	simplbda 503	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  Basecbs 17245  0.cp0 18453   ⋖ ccvr 39883  Atomscatm 39884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fv 6529  df-ats 39888

This theorem is referenced by:  0ltat  39912  leatb  39913  atnle0  39930  atlen0  39931  atcmp  39932  atcvreq0  39935  atcvr0eq  40047  lnnat  40048  athgt  40077  ps-2  40099  lhp0lt  40624