Theorem atcvr0 39306

Description: An atom covers zero. (atcv0 32323 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atomcvr0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atomcvr0.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atomcvr0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atcvr0	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)

Proof of Theorem atcvr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		atomcvr0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3		atomcvr0.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4		atomcvr0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	isat 39304	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 𝐶𝑃)))
6	5	simplbda 499	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  Basecbs 17228  0.cp0 18433   ⋖ ccvr 39280  Atomscatm 39281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-ats 39285

This theorem is referenced by:  0ltat  39309  leatb  39310  atnle0  39327  atlen0  39328  atcmp  39329  atcvreq0  39332  atcvr0eq  39445  lnnat  39446  athgt  39475  ps-2  39497  lhp0lt  40022