Theorem atcvr0 38749

Description: An atom covers zero. (atcv0 32145 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atomcvr0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atomcvr0.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atomcvr0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atcvr0	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)

Proof of Theorem atcvr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2727	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		atomcvr0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3		atomcvr0.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4		atomcvr0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	isat 38747	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 𝐶𝑃)))
6	5	simplbda 499	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  Basecbs 17173  0.cp0 18408   ⋖ ccvr 38723  Atomscatm 38724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ats 38728

This theorem is referenced by:  0ltat  38752  leatb  38753  atnle0  38770  atlen0  38771  atcmp  38772  atcvreq0  38775  atcvr0eq  38888  lnnat  38889  athgt  38918  ps-2  38940  lhp0lt  39465