Theorem atcvr0 39951

Description: An atom covers zero. (atcv0 32634 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atomcvr0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atomcvr0.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atomcvr0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atcvr0	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)

Proof of Theorem atcvr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		atomcvr0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3		atomcvr0.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4		atomcvr0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	isat 39949	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 𝐶𝑃)))
6	5	simplbda 504	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  Basecbs 17268  0.cp0 18476   ⋖ ccvr 39925  Atomscatm 39926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ats 39930

This theorem is referenced by:  0ltat  39954  leatb  39955  atnle0  39972  atlen0  39973  atcmp  39974  atcvreq0  39977  atcvr0eq  40089  lnnat  40090  athgt  40119  ps-2  40141  lhp0lt  40666