Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcvr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvr0 38760
Description: An atom covers zero. (atcv0 32165 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atomcvr0.z 0 = (0.β€˜πΎ)
atomcvr0.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
atomcvr0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atcvr0 ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 𝐢𝑃)

Proof of Theorem atcvr0
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2 atomcvr0.z . . 3 0 = (0.β€˜πΎ)
3 atomcvr0.c . . 3 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
4 atomcvr0.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4isat 38758 . 2 (𝐾 ∈ 𝐷 β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 0 𝐢𝑃)))
65simplbda 499 1 ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 𝐢𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  Basecbs 17180  0.cp0 18415   β‹– ccvr 38734  Atomscatm 38735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-ats 38739
This theorem is referenced by:  0ltat  38763  leatb  38764  atnle0  38781  atlen0  38782  atcmp  38783  atcvreq0  38786  atcvr0eq  38899  lnnat  38900  athgt  38929  ps-2  38951  lhp0lt  39476
  Copyright terms: Public domain W3C validator