Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcvr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvr0 37779
Description: An atom covers zero. (atcv0 31326 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atomcvr0.z 0 = (0.β€˜πΎ)
atomcvr0.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
atomcvr0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atcvr0 ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 𝐢𝑃)

Proof of Theorem atcvr0
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2 atomcvr0.z . . 3 0 = (0.β€˜πΎ)
3 atomcvr0.c . . 3 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
4 atomcvr0.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4isat 37777 . 2 (𝐾 ∈ 𝐷 β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 0 𝐢𝑃)))
65simplbda 501 1 ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 𝐢𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  Basecbs 17090  0.cp0 18319   β‹– ccvr 37753  Atomscatm 37754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fv 6509  df-ats 37758
This theorem is referenced by:  0ltat  37782  leatb  37783  atnle0  37800  atlen0  37801  atcmp  37802  atcvreq0  37805  atcvr0eq  37918  lnnat  37919  athgt  37948  ps-2  37970  lhp0lt  38495
  Copyright terms: Public domain W3C validator