Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcvr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvr0 38669
Description: An atom covers zero. (atcv0 32100 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atomcvr0.z 0 = (0.β€˜πΎ)
atomcvr0.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
atomcvr0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atcvr0 ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 𝐢𝑃)

Proof of Theorem atcvr0
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2 atomcvr0.z . . 3 0 = (0.β€˜πΎ)
3 atomcvr0.c . . 3 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
4 atomcvr0.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4isat 38667 . 2 (𝐾 ∈ 𝐷 β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 0 𝐢𝑃)))
65simplbda 499 1 ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 𝐢𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  Basecbs 17151  0.cp0 18386   β‹– ccvr 38643  Atomscatm 38644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ats 38648
This theorem is referenced by:  0ltat  38672  leatb  38673  atnle0  38690  atlen0  38691  atcmp  38692  atcvreq0  38695  atcvr0eq  38808  lnnat  38809  athgt  38838  ps-2  38860  lhp0lt  39385
  Copyright terms: Public domain W3C validator