Theorem lmod0vsd 43855

Description: Zero times a vector is the zero vector. (Contributed by SN, 24-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod0vsd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmod0vsd.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmod0vsd.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmod0vsd.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
lmod0vsd.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lmod0vsd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmod0vsd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmod0vsd	⊢ (𝜑 → (𝑂 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem lmod0vsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmod0vsd.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmod0vsd.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lmod0vsd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lmod0vsd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		lmod0vsd.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lmod0vsd.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
7		lmod0vsd.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
8	3, 4, 5, 6, 7	lmod0vs 21221	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) = 0 )
9	1, 2, 8	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂 · 𝑋) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476  0_gc0g 17660  LModclmod 21186

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-ring 20512  df-lmod 21188

This theorem is used by: (None)