Theorem lmod0vsd 43696

Description: Zero times a vector is the zero vector. (Contributed by SN, 24-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod0vsd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmod0vsd.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmod0vsd.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmod0vsd.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
lmod0vsd.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lmod0vsd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmod0vsd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmod0vsd	⊢ (𝜑 → (𝑂 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem lmod0vsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmod0vsd.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmod0vsd.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lmod0vsd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lmod0vsd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		lmod0vsd.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lmod0vsd.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
7		lmod0vsd.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
8	3, 4, 5, 6, 7	lmod0vs 21177	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) = 0 )
9	1, 2, 8	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂 · 𝑋) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Basecbs 17394  Scalarcsca 17438   ·_𝑠 cvsca 17439  0_gc0g 17617  LModclmod 21142

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-0g 17619  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-grp 19154  df-ring 20468  df-lmod 21144

This theorem is used by: (None)