Theorem lmod0vsd 43569

Description: Zero times a vector is the zero vector. (Contributed by SN, 24-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod0vsd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmod0vsd.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmod0vsd.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmod0vsd.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
lmod0vsd.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lmod0vsd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmod0vsd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmod0vsd	⊢ (𝜑 → (𝑂 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem lmod0vsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmod0vsd.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmod0vsd.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lmod0vsd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lmod0vsd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		lmod0vsd.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lmod0vsd.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
7		lmod0vsd.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
8	3, 4, 5, 6, 7	lmod0vs 21163	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) = 0 )
9	1, 2, 8	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂 · 𝑋) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  Scalarcsca 17424   ·_𝑠 cvsca 17425  0_gc0g 17603  LModclmod 21128

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-ring 20454  df-lmod 21130

This theorem is used by: (None)