Theorem drnginvmuld 42514

Description: Inverse of a nonzero product. (Contributed by SN, 14-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
drnginvmuld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drnginvmuld.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drnginvmuld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
drnginvmuld.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
drnginvmuld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
drnginvmuld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
drnginvmuld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
drnginvmuld.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
drnginvmuld.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
drnginvmuld	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐼‘𝑌) · (𝐼‘𝑋)))

Proof of Theorem drnginvmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drnginvmuld.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		drnginvmuld.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		drnginvmuld.t	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		drnginvmuld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
5		drnginvmuld.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
6	4	drngringd 20754	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		drnginvmuld.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		drnginvmuld.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	1, 3, 6, 7, 8	ringcld 20277	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
10		drnginvmuld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
11		drnginvmuld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
12	1, 2, 3, 4, 7, 8	drngmulne0 20779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ↔ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ 0 )))
13	10, 11, 12	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )
14	1, 2, 5, 4, 9, 13	drnginvrcld 20772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
15	1, 2, 5, 4, 8, 11	drnginvrcld 20772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵)
16	1, 2, 5, 4, 7, 10	drnginvrcld 20772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
17	1, 3, 6, 15, 16	ringcld 20277	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑌) · (𝐼‘𝑋)) ∈ 𝐵)
18		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
19	1, 2, 3, 18, 5, 4, 7, 10	drnginvrld 20775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅))
20	19	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
21	1, 3, 18, 6, 8	ringlidmd 20286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
22	20, 21	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = 𝑌)
23	22	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑌) · (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌)) = ((𝐼‘𝑌) · 𝑌))
24	23	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑌) · 𝑌) = ((𝐼‘𝑌) · (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌)))
25	1, 2, 3, 18, 5, 4, 8, 11	drnginvrld 20775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑌) · 𝑌) = (1r‘𝑅))
26	1, 3, 6, 16, 7, 8	ringassd 20275	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)))
27	26	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑌) · (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌)) = ((𝐼‘𝑌) · ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌))))
28	24, 25, 27	3eqtr3d 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = ((𝐼‘𝑌) · ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌))))
29	1, 2, 3, 18, 5, 4, 9, 13	drnginvrld 20775	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑋 · 𝑌)) · (𝑋 · 𝑌)) = (1r‘𝑅))
30	1, 3, 6, 15, 16, 9	ringassd 20275	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑌) · (𝐼‘𝑋)) · (𝑋 · 𝑌)) = ((𝐼‘𝑌) · ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌))))
31	28, 29, 30	3eqtr4d 2785	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑋 · 𝑌)) · (𝑋 · 𝑌)) = (((𝐼‘𝑌) · (𝐼‘𝑋)) · (𝑋 · 𝑌)))
32	1, 2, 3, 4, 14, 17, 9, 13, 31	drngmulrcan 42513	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐼‘𝑌) · (𝐼‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17486  1_rcur 20199  inv_rcinvr 20404  DivRingcdr 20746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-nzr 20530  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-drng 20748

This theorem is referenced by:  prjspner1  42613