Theorem drnginvmuld 41418

Description: Inverse of a nonzero product. (Contributed by SN, 14-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
drnginvmuld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drnginvmuld.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drnginvmuld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
drnginvmuld.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
drnginvmuld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
drnginvmuld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
drnginvmuld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
drnginvmuld.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
drnginvmuld.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
drnginvmuld	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐼‘𝑌) · (𝐼‘𝑋)))

Proof of Theorem drnginvmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drnginvmuld.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		drnginvmuld.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		drnginvmuld.t	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		drnginvmuld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
5		drnginvmuld.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
6	4	drngringd 20512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		drnginvmuld.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		drnginvmuld.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	1, 3, 6, 7, 8	ringcld 20155	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
10		drnginvmuld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
11		drnginvmuld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
12	1, 2, 3, 4, 7, 8	drngmulne0 20534	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ↔ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ 0 )))
13	10, 11, 12	mpbir2and 710	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )
14	1, 2, 5, 4, 9, 13	drnginvrcld 20528	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
15	1, 2, 5, 4, 8, 11	drnginvrcld 20528	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵)
16	1, 2, 5, 4, 7, 10	drnginvrcld 20528	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
17	1, 3, 6, 15, 16	ringcld 20155	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑌) · (𝐼‘𝑋)) ∈ 𝐵)
18		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
19	1, 2, 3, 18, 5, 4, 7, 10	drnginvrld 20531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅))
20	19	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
21	1, 3, 18, 6, 8	ringlidmd 20164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
22	20, 21	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = 𝑌)
23	22	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑌) · (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌)) = ((𝐼‘𝑌) · 𝑌))
24	23	eqcomd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑌) · 𝑌) = ((𝐼‘𝑌) · (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌)))
25	1, 2, 3, 18, 5, 4, 8, 11	drnginvrld 20531	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑌) · 𝑌) = (1r‘𝑅))
26	1, 3, 6, 16, 7, 8	ringassd 20154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)))
27	26	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑌) · (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌)) = ((𝐼‘𝑌) · ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌))))
28	24, 25, 27	3eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = ((𝐼‘𝑌) · ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌))))
29	1, 2, 3, 18, 5, 4, 9, 13	drnginvrld 20531	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑋 · 𝑌)) · (𝑋 · 𝑌)) = (1r‘𝑅))
30	1, 3, 6, 15, 16, 9	ringassd 20154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑌) · (𝐼‘𝑋)) · (𝑋 · 𝑌)) = ((𝐼‘𝑌) · ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌))))
31	28, 29, 30	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑋 · 𝑌)) · (𝑋 · 𝑌)) = (((𝐼‘𝑌) · (𝐼‘𝑋)) · (𝑋 · 𝑌)))
32	1, 2, 3, 4, 14, 17, 9, 13, 31	drngmulcan2ad 41417	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐼‘𝑌) · (𝐼‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  ._rcmulr 17205  0_gc0g 17392  1_rcur 20079  inv_rcinvr 20282  DivRingcdr 20504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-0g 17394  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20033  df-rng 20051  df-ur 20080  df-ring 20133  df-oppr 20229  df-dvdsr 20252  df-unit 20253  df-invr 20283  df-drng 20506

This theorem is referenced by:  prjspner1  41683