Theorem drnginvmuld 42894

Description: Inverse of a nonzero product. (Contributed by SN, 14-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
drnginvmuld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drnginvmuld.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drnginvmuld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
drnginvmuld.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
drnginvmuld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
drnginvmuld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
drnginvmuld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
drnginvmuld.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
drnginvmuld.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
drnginvmuld	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐼‘𝑌) · (𝐼‘𝑋)))

Proof of Theorem drnginvmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drnginvmuld.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		drnginvmuld.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		drnginvmuld.t	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		drnginvmuld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
5		drnginvmuld.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
6	4	drngringd 20682	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		drnginvmuld.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		drnginvmuld.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	1, 3, 6, 7, 8	ringcld 20207	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
10		drnginvmuld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
11		drnginvmuld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
12	1, 2, 3, 4, 7, 8	drngmulne0 20707	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ↔ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ 0 )))
13	10, 11, 12	mpbir2and 714	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )
14	1, 2, 5, 4, 9, 13	drnginvrcld 20700	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
15	1, 2, 5, 4, 8, 11	drnginvrcld 20700	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵)
16	1, 2, 5, 4, 7, 10	drnginvrcld 20700	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
17	1, 3, 6, 15, 16	ringcld 20207	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑌) · (𝐼‘𝑋)) ∈ 𝐵)
18		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
19	1, 2, 3, 18, 5, 4, 7, 10	drnginvrld 20703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅))
20	19	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
21	1, 3, 18, 6, 8	ringlidmd 20219	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
22	20, 21	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = 𝑌)
23	22	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑌) · (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌)) = ((𝐼‘𝑌) · 𝑌))
24	23	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑌) · 𝑌) = ((𝐼‘𝑌) · (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌)))
25	1, 2, 3, 18, 5, 4, 8, 11	drnginvrld 20703	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑌) · 𝑌) = (1r‘𝑅))
26	1, 3, 6, 16, 7, 8	ringassd 20204	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)))
27	26	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑌) · (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌)) = ((𝐼‘𝑌) · ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌))))
28	24, 25, 27	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = ((𝐼‘𝑌) · ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌))))
29	1, 2, 3, 18, 5, 4, 9, 13	drnginvrld 20703	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑋 · 𝑌)) · (𝑋 · 𝑌)) = (1r‘𝑅))
30	1, 3, 6, 15, 16, 9	ringassd 20204	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑌) · (𝐼‘𝑋)) · (𝑋 · 𝑌)) = ((𝐼‘𝑌) · ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌))))
31	28, 29, 30	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑋 · 𝑌)) · (𝑋 · 𝑌)) = (((𝐼‘𝑌) · (𝐼‘𝑋)) · (𝑋 · 𝑌)))
32	1, 2, 3, 4, 14, 17, 9, 13, 31	drngmulrcan 42893	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐼‘𝑌) · (𝐼‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190  0_gc0g 17371  1_rcur 20128  inv_rcinvr 20335  DivRingcdr 20674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-nzr 20458  df-rlreg 20639  df-domn 20640  df-drng 20676

This theorem is referenced by:  prjspner1  42981