Theorem drnginvmuld 42648

Description: Inverse of a nonzero product. (Contributed by SN, 14-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
drnginvmuld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drnginvmuld.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drnginvmuld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
drnginvmuld.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
drnginvmuld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
drnginvmuld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
drnginvmuld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
drnginvmuld.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
drnginvmuld.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
drnginvmuld	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐼‘𝑌) · (𝐼‘𝑋)))

Proof of Theorem drnginvmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drnginvmuld.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		drnginvmuld.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		drnginvmuld.t	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		drnginvmuld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
5		drnginvmuld.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
6	4	drngringd 20656	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		drnginvmuld.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		drnginvmuld.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	1, 3, 6, 7, 8	ringcld 20182	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
10		drnginvmuld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
11		drnginvmuld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
12	1, 2, 3, 4, 7, 8	drngmulne0 20681	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ↔ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ 0 )))
13	10, 11, 12	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )
14	1, 2, 5, 4, 9, 13	drnginvrcld 20674	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
15	1, 2, 5, 4, 8, 11	drnginvrcld 20674	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵)
16	1, 2, 5, 4, 7, 10	drnginvrcld 20674	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
17	1, 3, 6, 15, 16	ringcld 20182	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑌) · (𝐼‘𝑋)) ∈ 𝐵)
18		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
19	1, 2, 3, 18, 5, 4, 7, 10	drnginvrld 20677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅))
20	19	oveq1d 7369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
21	1, 3, 18, 6, 8	ringlidmd 20194	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
22	20, 21	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = 𝑌)
23	22	oveq2d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑌) · (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌)) = ((𝐼‘𝑌) · 𝑌))
24	23	eqcomd 2739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑌) · 𝑌) = ((𝐼‘𝑌) · (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌)))
25	1, 2, 3, 18, 5, 4, 8, 11	drnginvrld 20677	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑌) · 𝑌) = (1r‘𝑅))
26	1, 3, 6, 16, 7, 8	ringassd 20179	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)))
27	26	oveq2d 7370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑌) · (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌)) = ((𝐼‘𝑌) · ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌))))
28	24, 25, 27	3eqtr3d 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = ((𝐼‘𝑌) · ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌))))
29	1, 2, 3, 18, 5, 4, 9, 13	drnginvrld 20677	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑋 · 𝑌)) · (𝑋 · 𝑌)) = (1r‘𝑅))
30	1, 3, 6, 15, 16, 9	ringassd 20179	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑌) · (𝐼‘𝑋)) · (𝑋 · 𝑌)) = ((𝐼‘𝑌) · ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌))))
31	28, 29, 30	3eqtr4d 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑋 · 𝑌)) · (𝑋 · 𝑌)) = (((𝐼‘𝑌) · (𝐼‘𝑋)) · (𝑋 · 𝑌)))
32	1, 2, 3, 4, 14, 17, 9, 13, 31	drngmulrcan 42647	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐼‘𝑌) · (𝐼‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  Basecbs 17124  ._rcmulr 17166  0_gc0g 17347  1_rcur 20103  inv_rcinvr 20309  DivRingcdr 20648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-tpos 8164  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-0g 17349  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20063  df-rng 20075  df-ur 20104  df-ring 20157  df-oppr 20259  df-dvdsr 20279  df-unit 20280  df-invr 20310  df-nzr 20432  df-rlreg 20613  df-domn 20614  df-drng 20650

This theorem is referenced by:  prjspner1  42747