Theorem drnginvmuld 40254

Description: Inverse of a nonzero product. (Contributed by SN, 14-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
drnginvmuld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drnginvmuld.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drnginvmuld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
drnginvmuld.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
drnginvmuld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
drnginvmuld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
drnginvmuld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
drnginvmuld.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
drnginvmuld.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
drnginvmuld	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐼‘𝑌) · (𝐼‘𝑋)))

Proof of Theorem drnginvmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drnginvmuld.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		drnginvmuld.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		drnginvmuld.t	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		drnginvmuld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
5		drnginvmuld.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
6	4	drngringd 40246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		drnginvmuld.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		drnginvmuld.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	1, 3, 6, 7, 8	ringcld 40240	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
10		drnginvmuld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
11		drnginvmuld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
12	1, 2, 3, 4, 7, 8	drngmulne0 20013	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ↔ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ 0 )))
13	10, 11, 12	mpbir2and 710	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )
14	1, 2, 5, 4, 9, 13	drnginvrcld 40248	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
15	1, 2, 5, 4, 8, 11	drnginvrcld 40248	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵)
16	1, 2, 5, 4, 7, 10	drnginvrcld 40248	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
17	1, 3, 6, 15, 16	ringcld 40240	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑌) · (𝐼‘𝑋)) ∈ 𝐵)
18		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
19	1, 2, 3, 18, 5, 4, 7, 10	drnginvrld 40250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅))
20	19	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
21	1, 3, 18, 6, 8	ringlidmd 40242	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
22	20, 21	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = 𝑌)
23	22	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑌) · (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌)) = ((𝐼‘𝑌) · 𝑌))
24	23	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑌) · 𝑌) = ((𝐼‘𝑌) · (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌)))
25	1, 2, 3, 18, 5, 4, 8, 11	drnginvrld 40250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑌) · 𝑌) = (1r‘𝑅))
26	1, 3, 6, 16, 7, 8	ringassd 40241	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)))
27	26	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑌) · (((𝐼‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌)) = ((𝐼‘𝑌) · ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌))))
28	24, 25, 27	3eqtr3d 2786	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = ((𝐼‘𝑌) · ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌))))
29	1, 2, 3, 18, 5, 4, 9, 13	drnginvrld 40250	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑋 · 𝑌)) · (𝑋 · 𝑌)) = (1r‘𝑅))
30	1, 3, 6, 15, 16, 9	ringassd 40241	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑌) · (𝐼‘𝑋)) · (𝑋 · 𝑌)) = ((𝐼‘𝑌) · ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌))))
31	28, 29, 30	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑋 · 𝑌)) · (𝑋 · 𝑌)) = (((𝐼‘𝑌) · (𝐼‘𝑋)) · (𝑋 · 𝑌)))
32	1, 2, 3, 4, 14, 17, 9, 13, 31	drngmulcan2ad 40253	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐼‘𝑌) · (𝐼‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  0_gc0g 17150  1_rcur 19737  inv_rcinvr 19913  DivRingcdr 19991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-drng 19993

This theorem is referenced by:  prjspner1  40463